數(shù)值分析講義.(優(yōu)選)

1、。常用一計算。X*X相對誤差限丘是相對誤差的最大限度,片因即| ,常用占計算相對誤差限。第1章數(shù)值分析中的誤差、重點內(nèi)容誤差設(shè)精確值X*的近似值x，差e= X X*稱為近似值 x的誤差(絕對誤差)。誤差限 近似值x的誤差限 是誤差e的一個上界，即|e|= |x x*|<£相對誤差 & 是誤差e與精確值X*的比值，-絕對誤差的運算:£ Xi ±X2)=eXi) +£*1X2)|xi|%( + |X2| 次(我們就說X準(zhǔn)確到該位。從有效數(shù)字如果近似值X的誤差限£是它某一個數(shù)位的半個單位, 這一位起到前面第一個非0數(shù)字為止的所有數(shù)字稱為

2、x的有效數(shù)字。關(guān)于有效數(shù)字：(1) 設(shè)精確值X*的近似值X,x= ±0.aia2an X10 mai, a2,，an是09之中的自然數(shù)，且aiz0,|xx*|<£= 0.5X 10m 1 , 1< lw n則x有I位有效數(shù)字.(2) 設(shè)近似值 x=± 0.a1a2anX 10m有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限 ' ,1 1 '上空1設(shè)近似值x=±山anX 10m的相對誤差限不大于宀則它至少有 n位有效數(shù)字。(4)要求精確到10-3,取該數(shù)的近似值應(yīng)保留4位小數(shù)。一個近似值的相對誤差是與準(zhǔn)確數(shù)字有關(guān)系的，準(zhǔn)確數(shù)字是從一個數(shù)的第一位

3、有效數(shù)字一直數(shù)到它 的絕對誤差的第一位有效數(shù)字的前一位，例如具有絕對誤差e= 0.0926的數(shù)x= 20.7426只有三位準(zhǔn)確數(shù)字2, 0, 7。一般粗略地說，具有一位準(zhǔn)確數(shù)字，相對于其相對誤差為10%的量級；有二位準(zhǔn)確數(shù)字，相對于其相對誤差為1%的量級；有三位準(zhǔn)確數(shù)字，相對于其相對誤差為0.1%的量級。二、實例例 1 設(shè) x*= = 3.1415926 近似值x= 3.14 = 0.314X 101，即m= 1，它的誤差是 0.001526，有|x x*|= 0.001526 w 0.5X 10仃3即1= 3，故x= 3.14有3位有效數(shù)字。x= 3.14準(zhǔn)確到小數(shù)點后第 2位。又近似值 x

4、= 3.1416，它的誤差是 0.0000074，有x x*|= 0.0000074w 0.5 X 101 5即m= 1, l = 5, x= 3.1416有5位有效數(shù)字。而近似值 x= 3.1415，它的誤差是 0.0000926，有x x*|= 0.0000926w 0.5 X 101 4即m= 1, l = 4, x= 3.1415有4位有效數(shù)字。這就是說某數(shù)有 s位數(shù)，若末位數(shù)字是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位有效數(shù)字；若末位數(shù)字不是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位或s 1位有效數(shù)字。例2指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字，及其絕對誤差限和相對誤差限：2.000 4 0.002 009 000

5、9 000.00解 因為 x1 = 2.000 4 = 0.200 04 X 101，它的誤差限 0.000 05 = 0.5X 10 15, 即卩 m= 1 , l = 5，故 *=2.000 4有5位有效數(shù)字。相對誤差限a二-：二-、。X2= 0.002 00,誤差限 0.000 005，因為 m= 2, I = 3, X2= 0.002 00 有 3 位有效數(shù)字。相對 誤差限 r = 0.000 005/0.002 00 = 0.25%。X3= 9 000,絕對誤差限為 0.5，因為 m= 4, l = 4, X3= 9 000有4位有效數(shù)字，相對誤差限r(nóng)=0.5/9 000 = 0.0

6、05 6%。X4= 9 000.00，絕對誤差限 0.005，因為 m= 4, 1 = 6, X4= 9 000.00有6位有效數(shù)字，相對誤差限 為 r = 0.005/9 000.00 = 0.000 056%。由X3與X4可以看到小數(shù)點之后的0,不是可有可無的，它是有實際意義的。例3 In2 = 0.69314718，精確到103的近似值是多少？解 精確到103= 0.001，即絕對誤差限是=0.05%，故至少要保留小數(shù)點后三位才可以。In2 0.693。三、練習(xí)題1. 設(shè)某數(shù)X*，它的保留三位有效數(shù)字的近似值的絕對誤差是 。2. 設(shè)某數(shù)X*，它的精確到104的近似值應(yīng)取小數(shù)點后 位。3.

7、 ()的3位有效數(shù)字是 0.236X 102。(A) 235.54 X 10 1(B) 235.418(C) 2354.82 X 102(D) 0.0023549 X 1034. 設(shè)a* = 2.718181828，取 a= 2.718，則有()，稱a有四位有效數(shù)字。(A) |a a*|w 0.5X 104(B) |a a*|w 0.5X 10廠4(C) |a a |< 10 4(D) |a a |< 0.00035. 設(shè)某數(shù)x*，對其進行四舍五入的近似值是()，則它有3位有效數(shù)字，絕對誤差限是0.5X 10 4。(A) 0.315(B) 0.03150(C) 0.0315(D)

8、0.003156. 以下近似值中，保留四位有效數(shù)字，相對誤差限為0.25X 103。(A) 0.01234(B) -2.34(C) 220(D) 0.22007. 將下列各數(shù)舍入成三位有效數(shù)字，并確定近似值的絕對誤差和相對誤差。(1) 2.1514(2) 392.85(3) 0.0039228. 已知各近似值的相對誤差，試確定其絕對誤差:(1) 13267 er = 0.1%(2) 0.896 e r = 10%9. 已知各近似值及其絕對誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。(1) 0.3941e= 0.25 X 102293.481e= 0.1(3) 0.00381 e = 0.1 X 10 410.

9、 已知各近似值及其相對誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。(1) 1.8921e r = 0.1 X 102(2) 22.351 e r = 0.15(3) 48361 e r= 1%四、練習(xí)題答案1 .該數(shù)有效數(shù)字第四位的一半。2 .五 3. (A)4. (B)5. (C)6. (D)7. (1)2.15, e=- 0.14 X02, e r= 0.65 X03； (2) 393,e= 0.15, e r = 0.38 103; (3)0.00392 , e= 0.2 >105, e r =0.51 1038. (1) e= 0.13 102； (2) 0.9 1019. (1) 2 ; (2

10、)3; (3)210. (1) 3 ; (2)1 ; (3)2第15章線性方程組的數(shù)值解法、重點內(nèi)容1. 高斯順序消去法解線性方程組 AX= b,對增廣矩陣順序作初等行變換，使矩陣 A化為上三角形矩陣，再回代，從而得到線性方程組的解。要求作初等行變換消元過程中，匚-H。注意：本章討論線性方程組的解的方法，不討論解的存在性。2. 高斯列主元消去法在高斯順序消去法中，每次消元之前，要確定主元址嚴(yán)=g腎”( k= 1, 2, 3，n- 1)把第r行作為主方程，做第 k次消元。把系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣，從而得到線性方程組的解。3. 雅可比迭代法（簡單迭代法）解線性方程組AX = b的雅可比迭代法公式

11、為(k= 0,1, 2,)4. 高斯一一賽德爾迭代法解線性方程組 AX =b的高斯一一賽德爾迭代法公式為1J-1*-二y 二1 （i = 1, 2，n； k= 0, 1, 2，）aii>1j-J+15 .解的收斂性定理【定理1】高斯消去法消元過程能進行到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為0; AX= b能用高斯消去法求解的充分必要條件是A的各階順序主子式不為0?！径ɡ?】（迭代法基本定理）設(shè)線性方程組X= BX+ f對于任意初始向量 X（0）及任意f，對應(yīng)此方程組的迭代公式X（k+ 1）= B（k）X+ f收斂的充分必要條件是,其中入匚（i = 1, 2,，n）為迭代矩陣B

12、的特征根。當(dāng) 入i為1 C *hi ''復(fù)數(shù)時，I入il表示入i的模。【定理6】(迭代法收斂的充分條件)設(shè)線性方程組 AX= b,(1) 若A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法收斂;(2) 若A為對稱正定矩陣，則高斯一一賽德爾迭代法收斂。注：設(shè)矩陣A = aj n,若則稱矩陣A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。二、實例例1用順序消去法解線性方程組2a1 + 4xs 二-1t 3耐+2心+巧=4X + 2x3 +4 巧=-1解順序消元20014-L0.5 -55.5017-17于是有同解方程組十畫空十出Xg = -1O.5r2 - 5x3 - 5.517 為=-17回代得

13、解X3= 1 , X2= 1 , X1= 1，原線性方程組的解為X= (1 , 1 ,1)T。例2取初始向量X（0） = （0, 0, 0）T，用雅可比迭代法求解線性方程組$+ % + 也二了2齊+ 2x2 += 5解建立迭代格式嚴(yán)=（2 君）+ 2習(xí)）412, 3，)闢網(wǎng)"（申+世）+3 （k = 1, x嚴(yán)二2（申十昭少十乍第1次迭代，k= 0X（0）= 0，得到 X=（1 , 3, 5）t第2次迭代，k= 1xj3) = (-2x3 + 2x5)-hl = 5 « 劇=-(1+5)+3 = -3衛(wèi)嚴(yán)二2(1十習(xí)十5 = -3X(2) = (5, - 3, 3)T第3次

14、迭代，k= 2= (-2x(-3)+ 2x(-3)-bl = 1；= -(5 + (-3)+3 = 1審=2(5-3) + 5 = lx=(1, 1, 1)T第4次迭代，k= 3Lf° = (-2xl + 2xl)+ l= 1農(nóng))=-(1 + 1)+ 3 = 144) = -2(l + C+5 = l-X=(1 , 1 , 1)T1. 用高斯列主元消去法解線性方程組場 +5=0；2xl + 2x3 + 3x3 = 3-xl-3xi = 2作第1次消元后的第2, 3個方程分別為解 選a2i= 2為主元，作行互換，第 1個方程變?yōu)椋?xi + 2X2 + 3x3= 3,消元得到ra -

15、0.5j3 = -1 5 -2心 +1= 3.5是應(yīng)填寫的內(nèi)容。2. 用選主元的方法解線性方程組 AX = b,是為了()(A)提高計算速度(B)減少舍入誤差(C)減少相對誤差(D)方便計算答案：選擇(B)3. 用高斯一一賽德爾迭代法解線性方程組的迭代格式中r=(k= 0, 1, 2,)解答：高斯一一賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求X2的值時應(yīng)該用X1的新值。lOzj - x3 - 3x? 7.24當(dāng)a ()時，線性方程組* -町+7抵+ 3心=3 3的迭代解一定收斂。2zj - 4z3 +ax3 = 9.2(A) > 6(B) = 6(C) < 6(D) > 6

16、或 v 6答案：（D）10章定理6，迭代解一解答：當(dāng)ai>6時，線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，由教材第 定收斂。二、練習(xí)題1. 用高斯列主元消去法解線性方程組2. 用高斯一一賽德爾迭代法求解線性方程組6町_ % _兀冥l + 6兀2 -11 3373 = 32一忑-巧+ 6也二4 £取初始值（4.67, 7.62, 9.05）T,求二次迭代值。3. 證明線性方程組的迭代解收斂。4. 用高斯順序消去法解線性方程組，消元能進行到底的充分必要條件是_? Aj 齊冬+ 4齊占15.用列主元消去法解線性方程組:-習(xí)+ 2x3 - 9x3 = 0 ,第1次消元，選擇主元為（）(A

17、) 3(B) 4(C) 4(D) 9四、練習(xí)題答案1. X = ( 4, 1 , 2)t2. (4.666 19, 7.618 98, 9.047 53)T3. 提示：系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。4. 線性方程組的系數(shù)矩陣的各階順序主子式均不為0。5. (C)第2章函數(shù)插值與最小二乘擬合、重點內(nèi)容1. 函數(shù)插值已知函數(shù)f(x)的n個函數(shù)值yk= f(xk), k= 0, 1, 2，n。構(gòu)造一個多項式P(x),使得P(xk)= yk。P(x)就是插值多項式，f(x )就是被插函數(shù)，xk就是插值節(jié)點。誤差R(x) = f(x) P(x)。2. 拉格朗日多項式稱n次多項式Pn (x)= yolo+

18、yili + ynln為拉格朗日插值多項式，其中基函數(shù)(工-鬲)(囂一耳)& 一碼“)(囂一再寂)O 碼)(碼-奄)(兀-為)E -孔一J(列-丙GE -忑)(i = 0, 1, 2,，n)當(dāng) n = 1 時，線性插值P1(x)= yklk(x) + yk+1|k+1(x)其中基函數(shù)當(dāng)n= 2時，得到二次多項式，就是二次插值。拉格朗日插值多項式的余項為:，其中(a, b)(»+注意：過n+ 1個互異點，所得的多項式應(yīng)該是次數(shù)不超過n的多項式。3均差與牛頓插值多項式函數(shù)值與自變量的差商就是均差,一階均差'（或記作 fX0, X1）;二階均差(或記作fxo, XI, X2

19、)% -心均差有兩條常用性質(zhì)：(1)均差用函數(shù)值的線性組合表示；(2)均差與插值節(jié)點順序無關(guān)。用均差為系數(shù)構(gòu)造多項式，就是牛頓插值多項式Nn(X)= f(X0)+ fX0, X1(X X0)+ fX0, X1 , X2(X X0)(X X1)+fX0, X1, X2, ， Xn(X XO)(X X1)(X X2) (X Xn-1)牛頓插值多項式的余項為：R n(X) = f(X) Nn(X)=fX,X0,X1,X2,，Xn(X X0)(X X1)(X X2)(XXn l)(X Xn)4. 分段線性插值已知n + 1個互異節(jié)點X0, xi,，Xn構(gòu)造一個分段一次的多項式P(x)，且滿足：(1)P

20、(x)在a, b上連續(xù)；(2) P(Xk) = yk (k= 0, 1, 2,，n); (3)P(x)在Xk, Xk+1上是線性函數(shù)。w分段線性插值函數(shù)二二I 二j-1其中l(wèi)k(x)(k= 0, 1, 2,，n)是分段線性插值基函數(shù)。工一尢1 厶 g = z0 -0（i = 1, 2，n 1）xo5. 三次樣條插值函數(shù)w 、 (工_工躲0 - hl x-xA+1 妊% + 叫 1 -(y-叫):+ Cn _ =幡,(k = 0, 1, 2，n 1) (xk<xwxk+1)其中 S(xk)=mk (k= 0, 1,2,，n),hk = xk+i xk (k= 0, 1, 2,，n1), m

21、o,mi,mn滿足的方程組是1兒/Vi+2朋鼻+冷4二(*)兀毘聊衛(wèi)衛(wèi) 4 2鋼A】+典“叫=厶叫.1+2叫T其中:6 嚴(yán)1一幾_九-九1) 血+聞 枕燉(k= 1, 2，n 1)(1)當(dāng)已知 S(X0)= y 0, S(Xn)= y n 時，(*)式中 0 = 1 , n= 1 ,(2)當(dāng)已知 S (x0)= y 0= mo, S (xn) = y n= mn 時，(*)式化為乂1他 十2再十護佗 =ci id: B boB » m H : i A i *叫+冷叫H二5« * « « ' « + 4- » * a- Am他j

22、 +2-i + Hz叫=Li - PB-iX6. 最小二乘法用(X)擬合數(shù)據(jù)(Xk, yk) (k= 1, 2,，n)，使得誤差的平方和二 d匸1為最小，求(x)的方法，稱為最小二乘法。(1) 直線擬合若.，.亠-，a0，ai滿足法方程組"3?N毘宓斗O的=2>丄A-1：-1RRN(E陀加十(Z朮M = S耳.ZZJU1(2) 二次多項式擬合若.；+-'，ao，ai，a2滿足法方程組MNWi十* 另 7工Jui1+% 朮y *PS:ZM- -3 ft 斗尼X X2a+2 A.叫斗務(wù)工X+勺工竝= 2>t%二、實例例1已知函數(shù)y= f(x)的觀察數(shù)據(jù)為Xk-2045

23、yk51-31試構(gòu)造拉格朗日多項式Pn(x),并計算P(- 1)。只給4對數(shù)據(jù)，求得的多項式不超過3次解先構(gòu)造基函數(shù)= 如4心一曲一4)_勺(-2-0)(-2-4)(-2-5)840 + 2)-4)次一5)(0-(-2)®-4)(07)5 + 2)0-4亦-5)402金誌耗(開+2)(x- 5)240+2)孟(萃-4)t5+2)(5-0X5-Cx + 2)j(jt-4)35衛(wèi)P3(X)= Z 叢=-5所求三次多項式為x-4Xx-5)CxXr-1)(x-58440A(?r+ 2)(瓷-5)24+1421P3(- 1)=5I55 , 24 14- I 4214217例2已知函數(shù)y= f(

24、x)的數(shù)據(jù)如表中第1, 2列。計算它的各階均差。解 依據(jù)均差計算公式，結(jié)果列表中。kXkf(Xk)一階均差二階均差三階均差四階均差00.400.410 7510.550.578 151.116 0020.650.696 751.168 000.280 0030.800.888 111.275 730.358 930.197 3340.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34計算公式為一階均差(k= 0, 1, 2, 3)私-g二階均差£1/I心心+ 一 /工血工Hjt+空(k= 0,1, 2) g -入加三階均差打十*”T1/【兀社兀后“工

25、總乜/【工只“尢陽刀X后了c八(k= 0, 1) 和一忑43四階均差打* 丁 *耳陽屁勺，心，a4 1 % f例3設(shè)xo, xi, X2,，xn是n + 1個互異的插值節(jié)點，lk(x) (k= 0, 1, 2,，n)是拉格朗日插值基 函數(shù)，證明：(1)二二L>01 ; (2)二宀書：(m= 0, 1, 2，n)證明(1) Pn(x)= yolo+ yill + ynln =當(dāng)f(x)三1時,1=+0*1)/ 鬥由于_-，故有Jt-0(2)對于 f(x) = xm, m= 0, 1, 2,n,對固定xm(ow mw n),作拉格朗日插值多項式，有當(dāng) n>m 1 時，f(n+1)(x)

26、= 0, Rn(x)= 0,所以注意：對于次數(shù)不超過n的多項式 '二 _ - < ,利用上結(jié)果，有=二：' r:' -< 二；1+匕二I： - -.1：-L-0Jt-0Jt-0Jb=二:-工；：-V - 工: - -：. Jl-0Jt-0可見，Qn(x)的拉格朗日插值多項式就是它自身，即次數(shù)不超過n的多項式在n+ 1個互異節(jié)點處的拉格朗日插值多項式就是它自身。例4已知函數(shù)e x的下列數(shù)據(jù)，用分段線性插值法求x= 0.2的近似值。-0.15* (工) 0.05=3-20x0.10 <<0.150.15x030x-0 10(k05=20x- 2a-0

27、.25-0 io-= 0 io<7 <0.150.15< <0,250 25x0 30x0.100.150.250.30e x0.904 8370.860 7080.778 8010.740 818解 用分段線性插值，先求基函數(shù)。孟一 CH50.10-0.30二 0 050.10<j<0.150.15<<0.250 25 <x<030ro0.10 <x <0,25W = “ jy-025J 0 05= 20x-50.25 <x <0 30所求分段線性插值函數(shù)為r-0.882 58j+0 993095 0.10&

28、lt;7<0.155= Za4W= -°-81907+0-983569 0 15< <0.25 al_-075966+0.968 716 0 25 <z <030所以,e°.2= P(0.2) = - 0.819 07 X 0.2+ 0.983 569= 0.819 755例5已知數(shù)據(jù)如表的第 2, 3列，試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。解計算列入表中。kXkykXkyk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5n= 5。ao, ai滿足的法方程組是Sa0 +15 站=3115+5%=105 5解得ao

29、= 2.45, ai= 1.25。所求擬合直線方程為y= 2.45+ 1.25x例6選擇填空題1. 設(shè)y = f(x)，只要x0, x1, X2是互不相同的3個值，那么滿足 P(xk)= yk (k= 0, 1, 2)的f(x)的插值多項式P(X)是(就唯一性回答問題)答案：唯一的解答：因為過3個互異節(jié)點，插值多項式是不超過2次的。設(shè)P(x) = a2x2 + aix+ ao,其中a2, ai,ao是待定數(shù)。P(xk)= yk,即幻痔+円心+% =0理璋+兔+%二X處応十卬無=>2這是關(guān)于a2, ai, ao的線性方程組，它的解唯一，因為系數(shù)行列式% 1 云 1 二丘-工。)心 一)&#

30、163; 一站H0恐1所以，不超過2次的多項式是唯一的。2. 通過四個互異節(jié)點的插值多項式P(x),只要滿足(),則P(x)是不超過一次多項式。(A)初始值yo = 0(B) 一階均差為0(C)二階均差為0(D)三階均差為0答案：(C)解答：因為二階均差為 0,那么牛頓插值多項式為N(x) = f(X0)+ fx0, xi(x X0)它是不超過一次的多項式。3. 拉格朗日插值多項式的余項是()，牛頓插值多項式的余項是 ()(A)'(«+!)!(B) fx, X。，xi, x2, , Xn(X xi)(x x2)(X Xn-i)(X Xn)(C)= /«-/；

31、1; =(祥+1)!(D) fx, X0, xi, X2，Xn(X X0)(X X1)(X X2)(X Xn l)(X Xn)答案：（A） , （D）。見教材有關(guān)公式。4. 數(shù)據(jù)擬合的直線方程為y = ao+ aix,如果記那么系數(shù)ao，ai滿足的方程組是（）丹叫十S陽二Q答案：（B）解答：因為法方程組為JUlZ（i>Jt閩報）曲1壬砂£.JULblU11 " 1 » - _由第1個方程得到2個方程得到", 二、 二*/. ，將其代入第A-1JU1応。-a） +另叭=另2彳Jc-lk-1整理得：故（B）正確。二、練習(xí)題1. 已知函數(shù)y = f(x)

32、,過點(2, 5), (5, 9)，那么f(x)的線性插值多項式的基函數(shù)為 。2. 過6個插值節(jié)點的拉格朗日插值多項式的基函數(shù)l4(x)=。3. 已知多項式 P(x)，過點(0, 0), (2, 8), (4, 64), (11, 1331), (15, 3375)，它的 3 階均差為常數(shù)1，一階，二階均差均不為0,那么P(x)是()(A)二次多項式(B)不超過二次的多項式 (C)三次多項式 (D)四次多項式4已知 y= f(x)的均差1 ,，_.一.，“.；1；,汀二門二那么 fx4, x2, xo=()(A) 5(B) 9(C)14(D) 85. 求數(shù)據(jù)擬合的直線方程y = a0+ a1x

33、的系數(shù)a。, a1是使最小。6. 求過這三個點(0, 1), (1, 2), (2 , 3)的拉格朗日插值多項式。7. 構(gòu)造例2的函數(shù)f(x)的牛頓插值多項式，并求f(0.596)的近似值。8. 設(shè)l0(x)是以n+ 1個互異點X0 , X1 , X2 ,xn為節(jié)點的格朗日插值基函數(shù)!(衛(wèi) 0-碼)(乂-冋卜伝-召)° (吃-禺)(心-也)咼-心)試證明:(尺-心、|0氏)(并一町)(巧-和(町一也)(坯-乃)(兩-心島-花)(心-心9. 已知插值條件如表所示，試求三次樣條插值函數(shù)。x123y2412y1-110. 已知數(shù)據(jù)對(7, 3.1), (8, 4.9), (9, 5.3),

34、 (10, 5.8), (11, 6.1),(12, 6.4), (13, 5.9)。試用二次多項式擬合這組數(shù)據(jù)。四、練習(xí)題答案3. C4. B5. L1-1fc-16. x+ 1(至一盹)(X-也)0巧)(心-咼)(可-i3)(x4 -Jj)7.給定五對點，牛頓多項式是不超過 4次的多項式。N4(x) = 0.41075 + 1.11600(x- 0.40) + 0.28000(x 0.40)(x 0.55)+ 0.19733(x 0.40)(x 0.55)(x 0.65)+ 0.03134(x 0.40)(x 0.55)(x 0.65)(x 0.80)將 x= 0.596 代入牛頓多項式N

35、4(x)中，得到：f(0.596)N(0.596) = 0.631 928.提示：求lo(x)的牛頓插值多項式。943x3+x-71,2IQ997x5 + 67x2-x+W5 x e23I 2210. y = 0.145x2+ 3.324x 12.794第4章數(shù)值積分與微分、重點內(nèi)容1. m次代數(shù)精度求積公式 j :aJUO對于任意不超過 m次的代數(shù)多項式都準(zhǔn)確成立，而對某一個m+1次代數(shù)多項式不成立。2. 牛頓科茨求積公式：亍(X)砥対他一 S疙噱'了(口十頃)aJU)f j yC141J (f)"截斷誤差'(科+l)! to(1) 科茨系數(shù)：門 | | |. -(

36、k= 0, 1, 2,，n),有兩條性質(zhì)。(2) 牛頓一一科茨求積公式的求積系數(shù)：Ak =“；'("0, 1, 2,，n)(3) 常見牛頓一一科茨求積公式梯形公式 |一截斷誤差：Ri f =' :“匚復(fù)化梯形公式f/町張彳找町)十玄了佃)十充勺)十十代7 )十)】截斷誤差： U 、"匸i ., M2=:字拋物線公式J1 6 2復(fù)化拋物線公式打嗣"£曲 +LV1 Vs 十-十打n-l>+町T+人 +/2p-2)+A1截斷誤差：科茨公式" 如劉 - 【£/ E）+紗 E）+軒g3. 高斯一一勒讓德求積公式-'

37、''ak-o節(jié)點為的零點（高斯點）2 dx其余項：12嚴(yán)叫T込（誡0 + 2）!扎4微分公式（1）等距節(jié)點 兩點求導(dǎo)公式：L1J（k= 0, 1, 2，n-1）陶廬寸間-和）（2）等距節(jié)點三點求導(dǎo)公式：廣和J噲-仏+映-艱了氐溝士卜畑+畑）（k= 1，2,，n- 1）WA為如-4兒+如）、實例例1試確定求積公式対 /(-的代數(shù)精度。依定義，對xk （k = 0, 1, 2, 3，），找公式精確成立的k數(shù)值解 當(dāng)f(x)取1, X, x2,計算求積公式何時精確成立。取f(x) = 1,有左邊=|"卜二 | '-：7 二-,右邊=一)=1十1二2(2)取 f(x)

38、= x,有左邊=右邊=+ = 0(3) 取 f(x)= x2,有左邊= - i? J1':,右邊=/',(3"3v3(4) 取 f(x)= x3,有左邊= 一 - 1 .< 1 ,右邊=J _=0=(5) 取 f(x)= x4, 有左邊= j1' ' -,右邊=丿-(-3次代數(shù)精度。當(dāng)kw 3時求積公式精確成立，而 x4公式不成立，可見該求積公式具有例2試用梯形公式、拋物線公式和科茨公式計算定積分I (計算結(jié)果取5位有效數(shù)字)(1)用梯形公式計算U y(J03) + /(l) - 0.23 xU .70711 +1 = 0 血據(jù)2 (2)用拋物線

39、公式J dx r# 1-0 5+ 4 X7(0.5 +1)/2 +D-36X 0 70711 + 斗 x 0.866034 1 = 0.430473212327用科茨公式系數(shù)為:C1 &血：=孚丄卩弱JU3+M2 ：西亦十12弱J5厲十32弱、呵$+?=90X 4.34375 + 25J9S22 +1039230 +25,33 32(5 + 7 = U.43 叩&130如果要求精確到105,用復(fù)化拋物線公式，截斷誤差為®嵋畑，見盤，一16M. - max /C4Vx) = max* 皿曲和l 出注* 6b-a .h2SS0；一-汀一 ，“2只需把0.5, 1 4 等分

40、，分點為 0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1匚曲"彳/(0.滬2赦方)+ 4了(0血5)打(0.沁)+ /(!)=丄出卩同RL十力Q戲呦25十4x(J.7?05?+ 0.9341)+1=山煩光例3用三點高斯一勒讓德求積公式計算積分: r高斯型求積公式只能計算i, 1上的定積分解做變量替換sin (t +1)di查表得節(jié)點土 0.774 596 669 和 0;系數(shù)分別為 0.555 555 5556 和 0.888 888 8889sin (t +D2sin -(-0.774 5P6 <569十 1)-1-038863888sin. + )0.555 555

41、5556x 一一= Q，¥刃5,拓常嚴(yán)心d+1sm 1(0 77455+1)U.774596669十0另邛邛兀 吝=0.9460豁1241.77459（5«?2注：該積分準(zhǔn)確到小數(shù)點后七位是0.9460831，可見高斯型求積公式的精度是很高的。教材的第12章12.2節(jié)，用多種方法計算過該積分，它們的精度請讀者自行比較。例4用三點公式計算'_ 在x= 1.0, 1.1, 1.2處的導(dǎo)數(shù)值。已知函數(shù)值 41）f(1.0) = 0.250000, f(1.1) = 0.226757, f(1.2) = 0.206612解三點導(dǎo)數(shù)公式為k = 1, 2, 3，n 1本例取

42、xo=1.0,xi=1.1,X2=1.2 ,yo = 0.250000,yi= 0.226757,y2= 0.206612,h = 0.1。于是有計算/VI fsr-3 xO .250000 十206613) = -0.247922 n j.l 'f (1“ 期亍幣Q.2SXMI+0,2066123 =7,21694fV1.2) (0.250000 -4xCi.22d7J7 十3x0.206旳存i= -0.1EJ962yj.l '例5選擇填空題1. 牛頓一一科茨求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點是 。解答：牛頓一一科茨求積公式的節(jié)點和求積系數(shù)確定后，再估計其精度；高斯型求積公

43、式是由精度 確定其節(jié)點和求積系數(shù)。n2如果用復(fù)化梯形公式計算定積分' - 1 -,要求截斷誤差的絕對值不超過0.5 X 10 4,試問( )(A) 41(B) 42(C) 43(D) 40答案:(A)解答；復(fù)化的梯形公式的截斷誤差中,n = 40.8，取 n41。故選擇(A)。3.已知n= 3時，科茨系數(shù)8? ；，那么：高。解答：由科茨系數(shù)的歸一性質(zhì),二、練習(xí)題1試確定求積公式的待定參數(shù),U畀二評繆二13使求積公式注Aof(O) + Aif(1) + A2f(2)的代數(shù)精度盡可能的2. 用復(fù)化拋物線公式計算定積分'。取n=4,保留4位有效數(shù)字。打宀43試用四點(n=3)高斯一一

44、勒讓德求積公式計算積分1十14.已知條件見例4。用兩點求導(dǎo)公式計算f (1.0), f (1.1)。5.若用復(fù)化拋物線公式計算積分( )要求截斷誤差的絕對值不超過0.5 X 10_ 4,試問 n>(A) 1(B) 2(C) 4(D) 36 當(dāng) n= 6 時，=()41S4027S407.用三點高斯一一勒讓德求積公式計算積分*3：:卄，具有代數(shù)精度的。四、練習(xí)題答案4. 0.23243; 0.201457. 5次1. Ao= A2= 1/3, A1 = 4/32. 0.11093. 3.1416245. (B)6. (D)、重點內(nèi)容1. 二分法：設(shè)方程f(x) = 0在區(qū)間a, b內(nèi)有根，

45、用二分有根區(qū)間的方法，得到有根區(qū)間序列:X* Xn=X Xn <1, 2,ln2(ao a, bo b), n 0, 1, 2,有誤差估計式:二分區(qū)間次數(shù)：2. 簡單迭代法：若方程f( x) = 0表成x= (x),于是有迭代格式:Xn = (xn l)(n= 1 , 2，)Hm = x =平(lim K帕)=響(x ) 皿 Wo.M若存在0v v 1,|(x)|,在區(qū)間a,b內(nèi)任一點為初始值進行迭代，迭代數(shù)列收斂。3. 牛頓法：用切線與x軸的交點，逼近曲線f(x)與x軸的交點。迭代公式為(n=1, 2，)選初始值xo滿足f(xo)f (xo) >0，迭代解數(shù)列一定收斂。4. 弦截

46、法：用兩點連線與x軸交點逼近曲線f(x)與x軸的交點。迭代公式為(n = 1, 2,)4的根、實例例1 證明方程1 x sinx= 0在區(qū)間0 , 1內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不超過0.5X 10要迭代多少次？f(0) = 1>0, f(1) = sin 1 v 0f(x)= 1 x sinx= 0在0 , 1內(nèi)有根。又f (x) = 1 cosxv 0 (x 0 , 1),故 f(x) = 0 在區(qū)間0 , 1內(nèi)有唯一實根。給定誤差限=0.5 X 10 4,有l(wèi)n(- ir)- In £ .:1In 2-ln0.5 + 41nl(In 213,257 7只要取n = 14。

47、例2用迭代法求方程x5 4x 2 = 0的最小正根。計算過程保留4位小數(shù)。分析容易判斷1 , 2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式T3 -2忑,44m- (x (1 , 2)，此時迭代發(fā)散。建立迭代格式：；r 匚- h -,A4(x (1 , 2)，此時迭代收斂。瑜5解建立迭代格式x = !，4x+ 2,護(并)二 V4x+ 244卩呦 =i=r U匚 (x (1, 2)，取初始值X0= 1対(4H)5巧=/4r0 + 2 =5t1.431O 工廠細心+ 2 =詢7西±1 5051r4+2 =1.5132心+2 = 8.0728 sl.5185心胡4心亠2 =r<fe.0740

48、s 1.5185取 j： mm例3試建立計算的牛頓迭代格式，并求：1的近似值，要求迭代誤差不超過106分析首先建立迭代格式。確定取幾位小數(shù)，求到兩個近似解之差的絕對值不超過106。解 令 二：上，f(x)= X3 a = 0,求x的值。牛頓迭代格式為尤：一 a2a-<'g0“ )迭代誤差不超過106,計算結(jié)果應(yīng)保留小數(shù)點后6位。當(dāng) x= 7 或 8 時，x3= 343 或 512,，而.匸'.； ，取 x°= 8,有畫=- + -=-xS+ 41L7 7.47gO7S33#33x83x 皆 0.038122|X2 X3|= 0.0001963 珂 33x743?

49、956211兀=+ - = -x 7.39760 +一pj7.4397602 說 3ji)c74397fiOa于是， 取 =;了二1廠匸例4用弦截法求方程x3 X2 1 = 0在x= 1.5附近的根。計算中保留 4位小數(shù)點。分析先確定有根區(qū)間。再代公式。解 設(shè) f(x)= X3 X2 1,因為 f(1) = 1V 0, f(2) = 3>0，所以1 , 2為 f(x) = 0 的有根區(qū)間。取 X0= 1 , X1 = 2。迭代格式:列表計算如下:nXnXn- 1f(xn)f(Xn- 1)Xn+ 1f(Xn+ 1)121311.250.609421.2520.609431.37660.28

50、6331.376620.286331.43090.117741.430920.117731.45240.045751.452420.045731.46060.017461.460620.017431.46370.006671.463720.006631.46490.002481.464920.002431.46530.001091.465320.001031.46550.0003101.465520.000331.46560.0001111.46561.46550.0001 0.00031.4656由于 |X12 xn|v 0.0001，故 xX12= 1.4656例4選擇填空題1. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，若滿足 ，則方程f(x) = 0在區(qū)間a, b一定有實根。答案：f(a) f(b) v 0解答：因為f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，在兩端點函數(shù)值異號，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必存在c,使得f(c)= 0，故f(x)= 0 一定有根。2用簡單迭代法求方程f(x) = 0的實根，把方程f(x)= 0表成x= (x),貝U f(x)= 0的根是()(A) y= x與y = (x)的交點(B) y= x與y= (x)交點的橫坐標(biāo)(