電路的拉普拉斯變換分析法.

1、第第7章章 電路的拉普拉斯變換分析法電路的拉普拉斯變換分析法7.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義7.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 7.3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 7.4 復(fù)頻域電路復(fù)頻域電路 7.5 電路的拉普拉斯變換分析法電路的拉普拉斯變換分析法 7.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）是求解拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）是求解常系數(shù)線性常系數(shù)線性微分方程微分方程的的工具工具。設(shè)一個(gè)變量設(shè)一個(gè)變量t的函數(shù)的函數(shù)f(t)，在任意區(qū)間能夠滿足狄利赫利條，在任意區(qū)間能夠滿足狄利赫利條件（一般電子技術(shù)中處理的函數(shù)都滿足這一條件）件（一般

2、電子技術(shù)中處理的函數(shù)都滿足這一條件） 拉氏拉氏正變換正變換 Sj f(t)：原函數(shù)原函數(shù)；F(S)：f(t)的的象函數(shù)象函數(shù)。 00 0。 )()(tetfat解解 lim1 1)()()()(0)(0)(00tasttastasstatsteasasedtedteedtetfsF-根據(jù)拉氏變換的定義根據(jù)拉氏變換的定義 js因?yàn)閠jtatee-)(lim=00lim)(-taste)(aas -1)(aa稱為稱為收斂域收斂域 拉氏反拉氏反變換變換 -jjstdsesFjtf)(21)()()()()(1sFLtftfLsF-拉氏正變換拉氏正變換拉氏反變換拉氏反變換 拉氏變換對(duì)拉氏變換對(duì)由由F(

3、s)到到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，簡(jiǎn)稱拉氏反變換的變換稱為拉普拉斯反變換，簡(jiǎn)稱拉氏反變換 下面來討論一些常見函數(shù)的拉普拉斯變換下面來討論一些常見函數(shù)的拉普拉斯變換 工程中常見的函數(shù)工程中常見的函數(shù)(除少數(shù)例外除少數(shù)例外)有下列兩類有下列兩類:(1) t的指數(shù)函的指數(shù)函數(shù)；數(shù)；(2) t的正整冪函數(shù)。許多常用的函數(shù)如階躍函數(shù)、正的正整冪函數(shù)。許多常用的函數(shù)如階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、衰減正弦函數(shù)等，都可由這兩類函數(shù)導(dǎo)出。弦函數(shù)、衰減正弦函數(shù)等，都可由這兩類函數(shù)導(dǎo)出。 7.1.1 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) tet( 為常數(shù)為常數(shù))由定義可得由定義可得 的拉普拉斯變換為的拉普拉斯變換為 1( )F ss-

4、由此可導(dǎo)出一些常用函數(shù)的變換由此可導(dǎo)出一些常用函數(shù)的變換 ：1、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù) t tet0001)(ttt1( )F ss-0 0 1Lts2、正弦函數(shù)、正弦函數(shù) sin t t jtjt1sin2jtee-故有故有 22sinsttL 22tjtjj1j1j21j21sin-sssteeLttL3、余弦函數(shù)、余弦函數(shù) cos t t jtjt1cos2tee- 22cosssttL故有故有 22tjtjj1j12121cos-ssssteeLttL4、衰減正弦函數(shù)、衰減正弦函數(shù) tsine t- -jj1sin2jtttetee-)(1)(121sinjasjasjteLat-

5、22)(as故有故有22)(sin-asteLat5、衰減余弦函數(shù)、衰減余弦函數(shù) tcose t- -與衰減正與衰減正弦函數(shù)相弦函數(shù)相類似可得類似可得 22costsL etts -6、雙曲線正弦函數(shù)、雙曲線正弦函數(shù) sh b bt t 1sh2ttteebbb- 22shLttsbb b-故有故有7、雙曲線余弦函數(shù)、雙曲線余弦函數(shù) ch b bt t 與雙曲線正弦函數(shù)相類似可得與雙曲線正弦函數(shù)相類似可得 22chsLttsb b- 7.1.2 t的正冪函數(shù)的正冪函數(shù) (n為正整數(shù)為正整數(shù) ntt由定義可得由定義可得 的拉普拉斯變換為的拉普拉斯變換為 ntt 0nnstL ttt edt-設(shè)設(shè)

6、,ddnstutvet-則則 000101000nstnstnstnstt edtudvuvudvtnetedtssntedts- -亦即亦即 1nnnL ttL tts-依次類推，則得依次類推，則得 1211122 1 1!nnnnnn nL ttL ttL ttsssn nnnssss s ss-當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，有時(shí)，有 21)(sttL 1nnnL ttL tts-7.1.3 沖激函數(shù)沖激函數(shù) A d d（t）沖激函數(shù)的定義沖激函數(shù)的定義 d0t f ttfd-可得可得 00dstL AtAt etAeAdd-對(duì)于對(duì)于單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)來說，可令上式來說，可令上式 A=1，即得：，即

7、得： t1Ld書中表書中表7 - -1給出了一給出了一些常見函數(shù)的拉普拉斯變換些常見函數(shù)的拉普拉斯變換 拉氏變換法的實(shí)質(zhì)就是將微分方程經(jīng)數(shù)學(xué)變換轉(zhuǎn)變成代數(shù)拉氏變換法的實(shí)質(zhì)就是將微分方程經(jīng)數(shù)學(xué)變換轉(zhuǎn)變成代數(shù)方程，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，再將所得的結(jié)果變換回去。它方程，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，再將所得的結(jié)果變換回去。它和應(yīng)用對(duì)數(shù)計(jì)算數(shù)的乘除相類似。不同的只是在對(duì)數(shù)運(yùn)算和應(yīng)用對(duì)數(shù)計(jì)算數(shù)的乘除相類似。不同的只是在對(duì)數(shù)運(yùn)算中變換的對(duì)象是數(shù)，而在拉氏變換中變換的對(duì)象是函數(shù)。中變換的對(duì)象是數(shù)，而在拉氏變換中變換的對(duì)象是函數(shù)。（2）對(duì)于常用的階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及一些超對(duì)于常用的階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及一些

8、超越函數(shù)等經(jīng)變換以后，可轉(zhuǎn)換成為簡(jiǎn)單的初等函數(shù)。越函數(shù)等經(jīng)變換以后，可轉(zhuǎn)換成為簡(jiǎn)單的初等函數(shù)。拉氏變換法的拉氏變換法的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：（1）求解過程得以簡(jiǎn)化，又同時(shí)給出微分方程的特解及齊求解過程得以簡(jiǎn)化，又同時(shí)給出微分方程的特解及齊次方程的通解，而且初始條件能自動(dòng)包含在變換式中，對(duì)次方程的通解，而且初始條件能自動(dòng)包含在變換式中，對(duì)于換路起始時(shí)有突變現(xiàn)象的問題處理更方便；于換路起始時(shí)有突變現(xiàn)象的問題處理更方便；7.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 拉普拉斯變換拉普拉斯變換有許多重要性質(zhì)。利用這些基本性質(zhì)可以方便有許多重要性質(zhì)。利用這些基本性質(zhì)可以方便地求出一些較為復(fù)雜函數(shù)的象函數(shù)，同時(shí)

9、通過這些基本性質(zhì)地求出一些較為復(fù)雜函數(shù)的象函數(shù)，同時(shí)通過這些基本性質(zhì)可以將電路在時(shí)域內(nèi)的線性常微分方程變換為復(fù)頻域內(nèi)的線可以將電路在時(shí)域內(nèi)的線性常微分方程變換為復(fù)頻域內(nèi)的線性代數(shù)方程。從而得到復(fù)頻域中的等效電路。性代數(shù)方程。從而得到復(fù)頻域中的等效電路。 7.2.1 線性特性線性特性若若 f1(t) F1(s)Lf2(t)LF2(s)則則)()(2211tfatfa L)()(2211sFasFa a1，a2為任意常數(shù)為任意常數(shù) 證明證明 求函數(shù)的象函數(shù)求函數(shù)的象函數(shù) 11221122000( )( )( )( )stststa f ta f tedta f t edta f t edt-)()

10、(2211sFasFa例例 tatabeetf21)(解解 211)(21asbasbeeLtfLtata-7.2.2 尺度變換尺度變換若若 f (t) F (s)L則則 f1(at) L)(1asFaa為大于零的實(shí)數(shù)為大于零的實(shí)數(shù) 證明證明 -00)()()(adateatfdteatfatfLatasst令令x= =at )(1)(1)(0asFadxexfaatfLxas-7.2.3 時(shí)間變換時(shí)間變換若若 f (t) F (s)L)(0ttf-L0)(stesF-)(0ttf-0tf(t)0tt0f(t-t0)()(00ttttf-證明證明 -0)()()(0000tststdtettf

11、dtettfttfL令令0ttx-0txtdxdt t0 為常數(shù)為常數(shù) 則則00)()()(00ststsxesFdxeexfttfL-例例 解解 求圖求圖中中所示的鋸齒波的拉普拉斯變換所示的鋸齒波的拉普拉斯變換 0tf(t)ETt0tfa (t)0tTfc (t)0-ETfb(t)= + + abcf tftftft aEftttT bftEtT - cEfttTtTT - 22asTbsTcEL ftTsEL ftesEL fteTs- - -由線性性質(zhì)由線性性質(zhì) 22211abcsTsTstL f tL ftL ftL ftEEEeeTssTsETseTs-時(shí)間平移特性還可以時(shí)間平移特性

12、還可以用來求取有始周期函數(shù)用來求取有始周期函數(shù)( (t t0 0時(shí)呈現(xiàn)時(shí)呈現(xiàn)周期性的函數(shù)周期性的函數(shù) , ,在在t t0 0范圍函數(shù)值為零范圍函數(shù)值為零) )的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換 f (t)為有始周期函數(shù)，其周期為為有始周期函數(shù)，其周期為T， f 1(t)、 f 2(t) 分別表分別表示函數(shù)的第一周期，第二周期，示函數(shù)的第一周期，第二周期，的函數(shù)的函數(shù) ， 123f tftftft由于是周期函數(shù)，因此由于是周期函數(shù)，因此 f 2(t)可看成是可看成是 f 1(t)延時(shí)一個(gè)周期延時(shí)一個(gè)周期構(gòu)成的，構(gòu)成的， f 3(t)可看成是可看成是 f 1(t)延時(shí)二個(gè)周期構(gòu)成的，依此延時(shí)二個(gè)周期構(gòu)成

13、的，依此類推則有類推則有 -TtfTtftftf2111根據(jù)平移特性，若根據(jù)平移特性，若 11L ftF s則則 211121111sTsTsTsTsTL f tF sF s eF s eF sF seee-f (t)為有始周期函數(shù)，其周期為為有始周期函數(shù)，其周期為T，拉普拉斯變換等拉普拉斯變換等于第一周期單個(gè)函數(shù)的拉普拉斯變換乘以周期因子于第一周期單個(gè)函數(shù)的拉普拉斯變換乘以周期因子 11sTe-例例 求圖中半波正弦函數(shù)的拉普拉斯變換求圖中半波正弦函數(shù)的拉普拉斯變換 0tET23T25T2T2Tf (t)解解 先求第一個(gè)半波先求第一個(gè)半波f 1(t)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換 0tEf 1(

14、t)3T2T2T0tET2f 1b(t)|3T2T2T0tET2f 1a(t)+ 111sinsin22abftftftTTEttEtt - 有始正弦函數(shù)的拉普拉斯變換為有始正弦函數(shù)的拉普拉斯變換為 22sinLtts 故根據(jù)時(shí)間平移特性可得故根據(jù)時(shí)間平移特性可得 111222222221absTsTL ftL ftL ftEEEeesss-半波正弦周期函數(shù)的拉普拉斯變換為半波正弦周期函數(shù)的拉普拉斯變換為 2222221111sTsTsTEeEL f tsese-7.2.4 頻率平移特性頻率平移特性若若 f (t) F (s)L則則 )()(00ssFetfLts-證明證明 )()()()(0

15、0)(0000ssFdtetfdteetfetfLtsssttsts-7.2.5 時(shí)域微分特性時(shí)域微分特性)( tfL若若 f (t) F (s)L)0()(- fssF則則 證明證明 -0)()()( dtedttdfdttdfLtfLst由上式應(yīng)用分部積分法，有由上式應(yīng)用分部積分法，有 -0)()()( dtedttdfdttdfLtfLst)()()()()(000ssFetfdtetfsetfdttdfLststst-式中式中 0)(-tstetf于是可得于是可得)0()()( -fssFtfL應(yīng)用上式的結(jié)果可得應(yīng)用上式的結(jié)果可得)0()0()()0()()()(2- fsfsFsft

16、fsLtfdtdLtfL依此類推，可得依此類推，可得 )0()0()0()()()1(21)(-nnnnnffsfssFstfL如果如果f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初值為零。則上式變?yōu)榧捌涓麟A導(dǎo)數(shù)的初值為零。則上式變?yōu)?)()( ssFtfL)()(2sFstfL )()()(sFstfLnn例例 解解 若電容元件若電容元件C的端電壓的端電壓uC(t)的拉氏變換式為的拉氏變換式為UC(s)求電容求電容C中電流的象函數(shù)中電流的象函數(shù)IC(s)。 應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)用微分性質(zhì) IC(s)=LiC(t)=LC =CsUC(s)- - uC(0-)= CsUC(s)- - CuC(0-)dttduC)(如果如果

17、C C的端電壓初始值的端電壓初始值uC(0-)=0IC(s) = CsUC(s)0()0()0()()()1(21)(-nnnnnffsfssFstfL則有則有7.2.6 時(shí)域微分特性時(shí)域微分特性L若若 f (t) F (s)則則 ssFdfLt)()(0證明證明 -000)()(dtedfdfLsttt對(duì)上式進(jìn)行分部積分，得對(duì)上式進(jìn)行分部積分，得 -00000)(10)()()(dtetfsdfsedtedfdfLsttststttssFdfLt)()(0=0 =0 則則 如函數(shù)的積分區(qū)間不由如函數(shù)的積分區(qū)間不由0開始而是由開始而是由-開始開始 00dddttfff-則因?yàn)閯t因?yàn)?故有故有將

18、積分性質(zhì)廣到多重積分將積分性質(zhì)廣到多重積分 0ddtfF sLfss-同前面同前面樣，樣，此處的此處的0 0意味著意味著0-0- 200ddtF sLfs 書中表書中表7 2列出了拉普拉斯變換的基本性質(zhì)。列出了拉普拉斯變換的基本性質(zhì)。 則有則有7.3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換利用拉普拉斯變換法對(duì)電路進(jìn)行暫態(tài)分析，最終結(jié)果必利用拉普拉斯變換法對(duì)電路進(jìn)行暫態(tài)分析，最終結(jié)果必須返回時(shí)域，就是說還要進(jìn)行拉普拉斯反變換。須返回時(shí)域，就是說還要進(jìn)行拉普拉斯反變換。 求拉氏反變換最簡(jiǎn)單的方法是查拉氏變換表求拉氏反變換最簡(jiǎn)單的方法是查拉氏變換表 因?yàn)樽儞Q表中只列出了常用的一些函數(shù)，它不可能將一切因?yàn)樽儞Q表

19、中只列出了常用的一些函數(shù)，它不可能將一切函數(shù)都包括在內(nèi)。因此，下面介紹一種基本的方法，函數(shù)都包括在內(nèi)。因此，下面介紹一種基本的方法，部分部分分式法分式法。利用拉普拉斯變換分析電路的暫態(tài)過程時(shí)所遇到的象函數(shù)一般利用拉普拉斯變換分析電路的暫態(tài)過程時(shí)所遇到的象函數(shù)一般都是都是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，它的結(jié)果可表示成兩個(gè)多項(xiàng)式之比，的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，它的結(jié)果可表示成兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即即 0122110111)()()(asasasasbsbsbsbsDsNsFnnnnnmmmm-式中的諸系數(shù)式中的諸系數(shù)an , bn 都是實(shí)數(shù)，都是實(shí)數(shù)，m、n都是正整數(shù)。都是正整數(shù)。 如如mn時(shí)，可以將假分式可分解為多項(xiàng)

20、式與真分式之和。時(shí)，可以將假分式可分解為多項(xiàng)式與真分式之和。 N(S)=0的根被稱為的根被稱為F(S)的的零點(diǎn)零點(diǎn)； D( (S)=0)=0的根被稱為的根被稱為F( (S) )的的極點(diǎn)極點(diǎn)。 為了分解為了分解F(s)為部分分式，只需討論為部分分式，只需討論D(s)=0的根。的根。7.3.1 D(s)=0均為單根，即無重根的情況（設(shè)均為單根，即無重根的情況（設(shè)mn） 因因D(s)是是s的的n次多項(xiàng)式，故可分解因式如下次多項(xiàng)式，故可分解因式如下 由于由于D(s)無重根，故無重根，故sn都不相等，都不相等， F(S)寫成部分分式的形式為寫成部分分式的形式為)()()()(21nksssssssssD

21、-nnkkssAssAssAssAsF-2211)(A1，A2，. Ak. An為待定系數(shù)，稱為為待定系數(shù)，稱為F(s)在各極點(diǎn)處的在各極點(diǎn)處的留數(shù)留數(shù)。 Ak 如何確定？如何確定？nnkkkknnkkkkkkkssAssAssAssssAssssAssssAssssAssssAsssFss-)()()()()()()()()(22112211ksskksssDsNA-)()()(令令 kss 將等式的兩邊將等式的兩邊乘以乘以(s-sk)nnkkssAssAssAssAsF-2211)(在求出了部分分式的在求出了部分分式的 Ak各值之后，就可以逐項(xiàng)對(duì)部分分式各值之后，就可以逐項(xiàng)對(duì)部分分式求拉氏

22、反變換，得求拉氏反變換，得 tskkkkeAssAL-1F(s)的原函數(shù)為的原函數(shù)為0 )()()()()()(1111-tesDsNssssALsDsNLtfnktsssknkkkkk由此可見，象函數(shù)的拉氏反變換，可表示為若干指數(shù)函數(shù)項(xiàng)之和由此可見，象函數(shù)的拉氏反變換，可表示為若干指數(shù)函數(shù)項(xiàng)之和 例例1 解解 求求 的原函數(shù)。的原函數(shù)。 35210114)(22sssssF首先將首先將F(s)化為真分式化為真分式 2222411104142253253253222ssssF sssssss將分母進(jìn)行因式分解將分母進(jìn)行因式分解 25331222D sssss將將F(s)中的真分式寫成部分分式中

23、的真分式寫成部分分式 122413253212AAsssss求真分式中各部分分式的系數(shù)求真分式中各部分分式的系數(shù) 111112324416331223453212s ssssN sssAsssD sssssAsss- -于是于是F(s )可展開為可展開為 1615232122F sss-其原函數(shù)為其原函數(shù)為 211112325411103223253125232ttssLLLLssssteetd-0t注意：在對(duì)假分式進(jìn)行反變換時(shí)，應(yīng)首先將假分式變?yōu)檎孀⒁猓涸趯?duì)假分式進(jìn)行反變換時(shí)，應(yīng)首先將假分式變?yōu)檎娣质剑缓笤龠M(jìn)行部分分式分解。分式，然后再進(jìn)行部分分式分解。例例 解解 求求 的原函數(shù)。的原函數(shù)

24、。 52)(2ssssF先將分母分解因式先將分母分解因式052)(2sssD得得21) )204(2(212, 1js-是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)是一對(duì)共軛復(fù)數(shù) )2(41)21()21)(21(211jjsjsjssAjs-)2(41)21()21)(21(212jjsjsjssAjs-方法一方法一由由由于由于 為一對(duì)共軛值，為一對(duì)共軛值， A1，A2則也必為共軛值，則也必為共軛值， 所以所以A2可由可由A1直接求得。直接求得。*21ss 于是于是 21) 12(4121) 12(41)(jsjjsjsF-對(duì)上式逐項(xiàng)求反變換，并加以整理得對(duì)上式逐項(xiàng)求反變換，并加以整理得1112( 12)( 12)11(

25、21)(21)442512121 (21)(21)41 (2cos2sin2 ) 02jtjttjjsLLLsssjsjj ej eettt- - - - - -方方法法二二當(dāng)當(dāng)D(s)為二次三項(xiàng)式，且為二次三項(xiàng)式，且D(s)=0的根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)時(shí)，的根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)時(shí)，還可以使用更簡(jiǎn)便的方法求原函數(shù)。即將分母配成二項(xiàng)還可以使用更簡(jiǎn)便的方法求原函數(shù)。即將分母配成二項(xiàng)式的平方，將一對(duì)共軛復(fù)根作為一個(gè)整體來考慮。式的平方，將一對(duì)共軛復(fù)根作為一個(gè)整體來考慮。 F(s)可配可配方為方為 22222222) 1(12) 1(1 4) 1(4) 12(52)(-ssssssssssssF直接查閱拉普拉斯

26、變換表可得直接查閱拉普拉斯變換表可得0 )2sin2cos2(21 2sin212cos 2) 1(12) 1(1)(222211-tttetetesssLsFLttt計(jì)算步驟大為簡(jiǎn)化計(jì)算步驟大為簡(jiǎn)化 例例 解解 求求 的原函數(shù)。的原函數(shù)。 象函數(shù)象函數(shù)F(s)不是有理函數(shù)，部分分式分解的方法無不是有理函數(shù)，部分分式分解的方法無法直接應(yīng)用，這時(shí)可先將法直接應(yīng)用，這時(shí)可先將F(s)改寫成改寫成ssesFsFssessssF221222)()(65365)(-其中其中653)(65)(2221sssFssssF分別都是有理函數(shù)，可用部分分式法分解分別都是有理函數(shù)，可用部分分式法分解 653)(22

27、-ssessFs根據(jù)時(shí)間平移性質(zhì)可知根據(jù)時(shí)間平移性質(zhì)可知 的原函數(shù)，就等于的原函數(shù)，就等于F2(s)的的原函數(shù)再平移原函數(shù)再平移2個(gè)時(shí)間單位的結(jié)果。個(gè)時(shí)間單位的結(jié)果。 sesF22)(-分別求分別求F1(s)，F(xiàn)2(s)的原函數(shù)的原函數(shù) )()32(3322)(3111teessLsFLt-)()33(3323)(32121teessLsFLtt-11212232(2)3(2)( ) ( )( )( ) ( 23) ( )(33) (2) 0sttttf tLF sLF sF s eeeteett- -于是可得于是可得7.3.2 D(s)=0的根有重根的情況（設(shè)的根有重根的情況（設(shè)mn） 設(shè)設(shè)

28、D(s)=0在在s=s1處有處有p階重根，這時(shí)可將階重根，這時(shí)可將F(s)寫成下面的形式寫成下面的形式 )()()()(1sQsssNsFp-把把F(s)展開成部分分式展開成部分分式pnpnppppssAssAssAssAssAssAssAsF-33221121131112111)()()()()(A2，A3，. An-p 各留數(shù)仍可照無重根的情況求取各留數(shù)仍可照無重根的情況求取pnpnppppssAssAssAssAssAssAssAsF-33221121131112111)()()()()(1)()()(111sssDsNssA-A12、A13、. A1p各留數(shù)各留數(shù)，不能再采用這種方法。

29、因?yàn)檫@樣將使，不能再采用這種方法。因?yàn)檫@樣將使導(dǎo)數(shù)分母中出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)分母中出現(xiàn)“0”值，而得不出結(jié)果。值，而得不出結(jié)果。留數(shù)留數(shù)A11的求取的求取，可將等式的兩邊乘以，可將等式的兩邊乘以 令令s=s1 pss)(1-)()()(11sFsssFp-于是于是-1112113112111)()()()(ppssAssAssAAsF為此，引入輔助函數(shù)為此，引入輔助函數(shù)-1112113112111)()()()(ppssAssAssAAsF對(duì)對(duì)s微分得微分得 .)(1(.)(2)(211113121-ppsspAssAAssF1)(112ssssFA1)(! 2112213sssFdsdA1)()!1(1

30、1111sskkksFdsdkA-顯然顯然同理同理依此類推，得一般形式為依此類推，得一般形式為)()!1()(111111tetkAssALtskkkk-pnitsitsptsptsptspteAteAtteAtetpAtetpAsFLi21)1(12121111)()()( )()!2()()!1()(1111確定了系數(shù)，就可根據(jù)拉普拉斯變換直接，求取原函數(shù)。確定了系數(shù)，就可根據(jù)拉普拉斯變換直接，求取原函數(shù)。所以所以F(s)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)槔?解解 求求 的原函數(shù)。的原函數(shù)。 2) 1)(3(2)(sssssFD(s)=0有四個(gè)根，一有四個(gè)根，一個(gè)二重根個(gè)二重根s1= -

31、-1和和s2=0，s3= - -3 兩個(gè)兩個(gè)單根單根31) 1() 1)(2(2)(32122112sAsAsAsAsssssF431|)3()32)(2()3( )3(2) 1)(211| )3(2) 1)(22112121211-ssssssssssdsdssFdsdAssssssFAsss其中各待定系數(shù)分別確定如下其中各待定系數(shù)分別確定如下故部分分式故部分分式可表示為可表示為121) 1(2)3)(32) 1)(3(2)(32330202-sssssssssFAsssssFA312132143) 1(21)(2-sssssF131321 ( ) 024312tttLF steeet- -

32、故得故得取反變換得取反變換得以上介紹了用部分分式法求拉氏反變換的基本方法。在分析具以上介紹了用部分分式法求拉氏反變換的基本方法。在分析具體問題時(shí)，可根據(jù)體問題時(shí)，可根據(jù)F(s)的分母有無重根分別用前述兩種方法求的分母有無重根分別用前述兩種方法求各極點(diǎn)的留數(shù)，只要這些留數(shù)一經(jīng)求得，就能得出反變換。各極點(diǎn)的留數(shù)，只要這些留數(shù)一經(jīng)求得，就能得出反變換。7.4 復(fù)頻域電路復(fù)頻域電路用拉氏變換分析電路暫態(tài)時(shí)可不必寫出微分方程再進(jìn)行變用拉氏變換分析電路暫態(tài)時(shí)可不必寫出微分方程再進(jìn)行變換，可換，可先將時(shí)域電路變成復(fù)頻域電路模型先將時(shí)域電路變成復(fù)頻域電路模型，再根據(jù)復(fù)頻域電再根據(jù)復(fù)頻域電路直接寫出運(yùn)算形式的電

33、路方程路直接寫出運(yùn)算形式的電路方程，使計(jì)算過程更為簡(jiǎn)化。，使計(jì)算過程更為簡(jiǎn)化。根據(jù)元件電壓、電流的時(shí)域關(guān)系，可以推導(dǎo)出各元件電根據(jù)元件電壓、電流的時(shí)域關(guān)系，可以推導(dǎo)出各元件電壓電流關(guān)系的運(yùn)算形式。壓電流關(guān)系的運(yùn)算形式。7.4.1 電阻元件電阻元件Ri(t)u (t)在時(shí)域中，有在時(shí)域中，有)()(tRituRI(s)U(s)Ri(t)u (t)()(sUtuL)()(sItiL)()(sRIsU設(shè)設(shè) ， 等式兩邊取拉氏變換，得等式兩邊取拉氏變換，得 )()(tRitu 時(shí)域形式時(shí)域形式復(fù)頻域形式復(fù)頻域形式7.4.2 電容元件電容元件Ci(t)u(t)在時(shí)域中，有在時(shí)域中，有)0(1111)(0

34、00-CtttCuidCidCidCidCtu)()(sUtuLCC)()(sItiLsusIsCsUCC)0()(1)(-令令對(duì)等式取拉氏變換并應(yīng)用積分性質(zhì)得對(duì)等式取拉氏變換并應(yīng)用積分性質(zhì)得I(s)U(s)1sCuC(0-)ssusIsCsUCC)0()(1)(-容端電壓的象函數(shù)（稱容端電壓的象函數(shù)（稱象電壓象電壓）由兩部分組成：）由兩部分組成：第一部分第一部分是電流的象函數(shù)（稱是電流的象函數(shù)（稱象電流象電流）與運(yùn)算形式的容抗（簡(jiǎn)言）與運(yùn)算形式的容抗（簡(jiǎn)言容容抗抗）的）的積積；第二部分第二部分相當(dāng)于某階躍電壓的象函數(shù)，稱為相當(dāng)于某階躍電壓的象函數(shù)，稱為內(nèi)內(nèi)運(yùn)算電壓源運(yùn)算電壓源。 電容電容C在

35、復(fù)頻域中串聯(lián)形式的電路模型在復(fù)頻域中串聯(lián)形式的電路模型 I(s)U(s)sCCuC(0-)susIsCsUCC)0()(1)(-)0()()(-CCCUssCUsI象電流象電流也由兩部分組成：也由兩部分組成：第一部分第一部分是是sC（稱（稱容納容納）和）和象電壓象電壓UC(s)的的乘積乘積；第二部分第二部分相當(dāng)于某電流源的象函相當(dāng)于某電流源的象函數(shù)，稱數(shù)，稱內(nèi)運(yùn)算電流源內(nèi)運(yùn)算電流源 。電容電容C在復(fù)頻域中并聯(lián)形式的電路模型在復(fù)頻域中并聯(lián)形式的電路模型 7.4.3 電感元件電感元件在時(shí)域中，有在時(shí)域中，有Li(t)u(t)dtdiLtu)()0()()(-LissLIsUsisUsLsI)0()

36、(1)(-令令Lu (t)=U (s),Li(t)=I(s)，對(duì)上式取拉氏變換，對(duì)上式取拉氏變換或或I(s)U(s)Li(0-)sL1sLI(s)U(s)i(0-)ssL)0(-LisiL)0(-感抗感抗內(nèi)運(yùn)算電壓源內(nèi)運(yùn)算電壓源 內(nèi)運(yùn)算電流源內(nèi)運(yùn)算電流源 串聯(lián)形式的電路模型串聯(lián)形式的電路模型并聯(lián)形式的電路模型并聯(lián)形式的電路模型7.4.4 互感元件互感元件在時(shí)域中，有在時(shí)域中，有L1i2(t)L2Mi1(t)u1(t)u2(t)sL1I2(s)sL2sMI1(s)U1(s)U 2(s)L 1i1(0-)M i2(0-)L2i2(0-)M i1(0-)dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu1

37、2222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111-MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU對(duì)等式兩邊取拉氏變換有對(duì)等式兩邊取拉氏變換有sM)0(1-Mi)0(2-Mi互感運(yùn)算阻抗互感運(yùn)算阻抗附加電壓源的方向與電流附加電壓源的方向與電流i1、i2的參考方向有關(guān)。的參考方向有關(guān)。 附加的電壓源附加的電壓源耦合電感元件耦合電感元件 復(fù)復(fù)頻頻域域形形式式 7.4.5 受控源受控源線性受控源電路，在時(shí)域電線性受控源電路，在時(shí)域電路中滿足路中滿足 U1(s)= I1(s)R，U2(s)= U1(s)u1=i1R，u2=u1對(duì)等式兩邊取拉氏變換有對(duì)等

38、式兩邊取拉氏變換有R1i1u1 u2u1 U2(s)U1(s)R1U1(s)I1(s) 線性受控源線性受控源受控源的復(fù)頻域形式受控源的復(fù)頻域形式 把時(shí)域電路變換成它的等效運(yùn)算電路（復(fù)頻域電路）把時(shí)域電路變換成它的等效運(yùn)算電路（復(fù)頻域電路） 以以RLC串聯(lián)電路為串聯(lián)電路為例例 RSu(t)(t 00uCCi(t)LRSU(s)(t 00I(s)Li(0-)sL1sCuC(0-)s RLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路 等效運(yùn)算電路等效運(yùn)算電路 由等效運(yùn)算電路可直接寫出電路的運(yùn)算形式的代數(shù)方程由等效運(yùn)算電路可直接寫出電路的運(yùn)算形式的代數(shù)方程)()0()(1)0()()(sUsusIsCLissLIsRIC-su

39、LisUsIsCsLRC)0()0()()()1(-suLisUsIsZC)0()0()()()(-即即)()0()(1)0()()(sUsusIsCLissLIsRIC-sCsLRsZ1)(sCsLRsZsY11)(1)(RLC串聯(lián)電路的串聯(lián)電路的運(yùn)算阻抗運(yùn)算阻抗 RLC串聯(lián)電路的串聯(lián)電路的運(yùn)算導(dǎo)納運(yùn)算導(dǎo)納 式中式中 )()()(sUsIsZ)()()(sIsUsY或者或者運(yùn)算形式的歐姆定律運(yùn)算形式的歐姆定律在零值初始條件下，在零值初始條件下，i(0-)=0，uC(0-)=0，則有，則有 在畫復(fù)頻域電路時(shí)，應(yīng)注意電路中的在畫復(fù)頻域電路時(shí)，應(yīng)注意電路中的電壓、電流電壓、電流均用均用象象函數(shù)函數(shù)

40、表示，同時(shí)表示，同時(shí)元件元件用用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納表示，且表示，且電電容電壓和電感電流初始值容電壓和電感電流初始值用用附加電源附加電源表示。表示。 例例E E (t)i1RRLCLi2I1(s)RRLsLI2(s)1sCEs 時(shí)域電路時(shí)域電路復(fù)頻域電路復(fù)頻域電路7.5 電路的拉普拉斯變換分析法電路的拉普拉斯變換分析法 0)(sI 0)(sU)()()(sIsZsU)()()(sZsYsI拉普拉斯變換法把時(shí)間函數(shù)變換為對(duì)應(yīng)的象函數(shù)，把線性電拉普拉斯變換法把時(shí)間函數(shù)變換為對(duì)應(yīng)的象函數(shù)，把線性電路的求解歸結(jié)為求解以象函數(shù)為變量的線性代數(shù)方程。路的求解歸結(jié)為求解以象函數(shù)為變量的線性代

41、數(shù)方程。對(duì)任一回路對(duì)任一回路對(duì)任一節(jié)點(diǎn)對(duì)任一節(jié)點(diǎn)對(duì)于復(fù)頻域電路對(duì)于復(fù)頻域電路 ，兩類約束關(guān)系為，兩類約束關(guān)系為應(yīng)用拉氏變換分析線性電路的應(yīng)用拉氏變換分析線性電路的步驟步驟：（4）通過拉氏反變換得出時(shí)域中響應(yīng)電壓和電流。通過拉氏反變換得出時(shí)域中響應(yīng)電壓和電流。（2）畫出換路后的等值運(yùn)算電路；畫出換路后的等值運(yùn)算電路；（3）應(yīng)用電路分析方法求出響應(yīng)電壓、電流的象函數(shù)；應(yīng)用電路分析方法求出響應(yīng)電壓、電流的象函數(shù)；（1）求出換路前電路中所有電容元件上的初始電壓求出換路前電路中所有電容元件上的初始電壓uc (0-) 和所有電感元件上的初始電流和所有電感元件上的初始電流iL (0-)；例例1解解電路如圖所

42、示，電路如圖所示， ，開關(guān)，開關(guān)s閉合前電路處閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)，在于穩(wěn)態(tài)，在t = 0時(shí)開關(guān)時(shí)開關(guān)S閉合，求電路中閉合，求電路中iL及及uC V100)0(-Cu1000 F0.1HuC200ViLS10103030開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以 (0 )5ALi- V100)0(-Cu已知已知 可得運(yùn)算電路可得運(yùn)算電路 0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)I1(s)I2(s)5 . 0200)(10)1 . 040)(21-ssIssIssIssI100)()100010()(10-21設(shè)回路電流為設(shè)回路電流為I1(s)、I2(s), 應(yīng)用回應(yīng)用回路電流法，可列出方程為路電流法，可列出方程為解得解得221)200()40000700(5)(sssssI22222111)200(15005)200(200)(sssKsKsKsI求其反變換得原函數(shù)為求其反變換得原函數(shù)為AttetititL)()15005()()(2001-Attetit)()15005()(2001-電容上的電壓為電容上的電壓為21)200(300002001505 . 0)()(-ssssLIsUC