電磁場與電磁波課件[1].

1、Nanjing University of Information Science & Technology第一章第一章 矢量分析矢量分析第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容梯度、散度、旋度、梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1.11.1矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算一一. .矢量與矢量表示矢量與矢量表示1.1.物理量的分類物理量的分類物理量物理量與位置無關(guān)：時間、長度、質(zhì)量與位置無關(guān)：時間、長度、質(zhì)量與位置有關(guān)與位置有關(guān)（場量）（場量）標量

2、場（只有大?。簻囟?、濕度、電標量場（只有大?。簻囟?、濕度、電位位矢量場（大小矢量場（大小+ +方向）：速度、電場、磁方向）：速度、電場、磁場場第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & TechnologyAAeA/AAeAAA單位矢量：模等于單位矢量：模等于1 1的矢量。與矢量同方向的單位矢量表示為：的矢量。與矢量同方向的單位矢量表示為：2.2.矢量與單位矢量矢量與單位矢量任一個矢量任一個矢量 可以用其模（代表大?。┖蛦挝皇噶浚ù硎噶糠娇梢杂闷淠＃ù泶笮。┖蛦挝皇噶浚ù硎噶糠较颍﹣肀硎荆合颍﹣?/p>

3、表示：3.3.矢量表示法矢量表示法三維空間中，矢量三維空間中，矢量 可表示為一根有方向的線段。線段的長度代表可表示為一根有方向的線段。線段的長度代表矢量的模，線段的方向代表矢量的方向。矢量的模，線段的方向代表矢量的方向。第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology 直角坐標系下矢量表示：直角坐標系下矢量表示：zzyyxxeAeAeAA大?。捍笮。?AAeAAeAAeAAezzyyxxA方向（單位矢量）：方向（單位矢量）： 222zyxAAAAA4. 4. 位置矢量和距離矢量位置矢量和距

4、離矢量位置矢量（矢徑）：從原點指向空間某一點的矢量位置矢量（矢徑）：從原點指向空間某一點的矢量。zeyexerzyx距離矢量距離矢量從空間某一點（源點）指向另一點（場點）的矢量從空間某一點（源點）指向另一點（場點）的矢量rrRzzeyyexxezyx222zzyyxxRRRxyzxxyyxzReeeeRRRR大?。捍笮。悍较蚍较? (單位矢量單位矢量) )：xyzOxeyezeyAxAzAA 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology矢量的方向余弦 矢量與三個坐標軸之間的夾角。 ,

5、第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology例：在直角坐標系中有一個矢量例：在直角坐標系中有一個矢量 矢量的大小矢量的大小: 矢量的方向矢量的方向: 與三個坐標軸的夾角與三個坐標軸的夾角: 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology二矢量的代數(shù)運算：二矢量的代數(shù)運算：用公式用公式( (代數(shù)方法代數(shù)方法) )和圖形和圖形( (幾何方法幾何方法) )1.1.矢量相等判定矢量相等判

6、定xyzOA B 能使用兩種方法判定矢量 是否相等嗎？AB 、第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology 幾何方法：讓兩個矢量平移至它們的始點重合，此時，若它們的終幾何方法：讓兩個矢量平移至它們的始點重合，此時，若它們的終 點也重合，則表明它們是相等的。即點也重合，則表明它們是相等的。即 。 代學方法：若代學方法：若 兩矢量的對應(yīng)分量相等，則兩矢量的對應(yīng)分量相等，則 。 例如：在直角坐標系中，若例如：在直角坐標系中，若 ，則，則 。 AB xyzO A B AB 、AB AB ,xx

7、yyzzA = BA = BA = BxyzO( )A B ()yyA B()xxA B()zzA B第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology2.2.矢量與標量的乘積矢量與標量的乘積 幾何方法：幾何方法： 為實數(shù)，為實數(shù)， 放大，放大， 縮小，縮小， 方向不變，方向不變， 方向相反。方向相反。 代數(shù)方法：（標量與矢量的各個分量相乘），即代數(shù)方法：（標量與矢量的各個分量相乘），即 k1k 1k 0k 0k zzyyxxkAekAekAeAk第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nan

8、jing University of Information Science & Technology3.3.矢量的加減矢量的加減 AB ？第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & TechnologyA B ABCD CDA B ABCD CDA B AB AB 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & TechnologyA B AB A B AB A AB B AB 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波

9、理論 Nanjing University of Information Science & Technology注意（三點）：注意（三點）： 1矢量的加法滿足交換律和結(jié)合律：矢量的加法滿足交換律和結(jié)合律：2矢量減法不滿足交換律：矢量減法不滿足交換律：3只有矢量之間才能相加減只有矢量之間才能相加減第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology 4.4.矢量的標量積與矢量積矢量的標量積與矢量積 sinnCA Be A B A B C OcosaA BA B 標量積（標量積（The

10、Dot Product）矢量積（矢量積（The Cross Product）第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & TechnologysinnCA Be A B cosaA BA B 標量積標量積矢量積矢量積0 xyyzzxe ee ee e1xxyyzze ee ee e0 xxyyzzeeeeee,xyzyzxzxyeee eee eeexxyyzzA BA BA BA B xzxyzxyyzeeA BAAABBeB 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University o

11、f Information Science & Technology注意（兩點）：注意（兩點）： 1標量積滿足交換律和分配律標量積滿足交換律和分配律: 2矢量積只滿足分配律，不滿足交換律矢量積只滿足分配律，不滿足交換律第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology1.2 1.2 標量場的方向?qū)?shù)與梯度標量場的方向?qū)?shù)與梯度一一. 標量場的方向?qū)?shù)標量場的方向?qū)?shù) 場場 ：空間中的每一個點都對應(yīng)著某個物理量的一：空間中的每一個點都對應(yīng)著某個物理量的一 個確定值，個確定值， 稱為該空

12、間中定義了這個物理量稱為該空間中定義了這個物理量 的場或者函數(shù)的場或者函數(shù) 標量場標量場：描述場的物理量是標量的場（教室里溫度；濕度等）：描述場的物理量是標量的場（教室里溫度；濕度等） 矢量場矢量場：描述場的物理量是矢量的場（河流內(nèi)水流速度分布；區(qū)域內(nèi)場強分布）：描述場的物理量是矢量的場（河流內(nèi)水流速度分布；區(qū)域內(nèi)場強分布） 靜態(tài)場：描述場的物理量不隨時間變化的場靜態(tài)場：描述場的物理量不隨時間變化的場 時變場：描述場的物理量隨時間變化的場時變場：描述場的物理量隨時間變化的場1.1. 標量場和矢量場標量場和矢量場第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of I

13、nformation Science & Technology2.2. 標量場的等值面和方向?qū)?shù)標量場的等值面和方向?qū)?shù) 等值面等值面: :由描述標量由描述標量場的物理量數(shù)值相同的點構(gòu)成的曲面。即場場的物理量數(shù)值相同的點構(gòu)成的曲面。即場 函數(shù)函數(shù) ，它表示一空間曲面，它表示一空間曲面0( , , )u x y zu 等值面特點等值面特點: :互不相交互不相交1( , , )u x y zuPPnNe 等值面2( , , )u x y zu第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technolo

14、gy 例如標量場例如標量場 在在 點沿點沿 方向上的方向?qū)?shù)方向上的方向?qū)?shù) 定義為定義為方向?qū)?shù)方向?qū)?shù): :標量場在某點的方向?qū)?shù)表示標量場自該點沿某一方向標量場在某點的方向?qū)?shù)表示標量場自該點沿某一方向 上的變化率。上的變化率。 P( , , )u x y zPluPl0(,)( , , )limcoscoscoslPPPPuu xx yy zzu x y zlluuuxyz 式中，式中， 為為 點處沿點處沿 方向的方向余弦，即方向的方向余弦，即 單位單位 向量向量 在坐標軸上的投影在坐標軸上的投影。則則cos ,cos,cosPllecoscoscoslxyzeeee第一章 矢量分析

15、電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology TO BE CONTINUED第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology二二. 標量場的梯度標量場的梯度 因因 點是場中任意點，則可略去上述方向?qū)?shù)中的下標點是場中任意點，則可略去上述方向?qū)?shù)中的下標 ，則，則PPcoscoscoscoscoscosxyzxyzlluuuulxyzuuueeeeeexyzN eN N第一章 矢量分析 電磁場與電磁波

16、理論 Nanjing University of Information Science & Technology 矢量矢量 的特點：的特點： 1）垂直于考察點處的等值面的切平面；）垂直于考察點處的等值面的切平面； 2）總是指向函數(shù)增大的方向，也就是曲面正法線方向；總是指向函數(shù)增大的方向，也就是曲面正法線方向； 3）大小反映場值變化快慢。大小反映場值變化快慢。N第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology梯度梯度: :標量場在某點標量場在某點最大最大方向?qū)?shù)、連同相應(yīng)的方向稱為

17、標量場在該方向?qū)?shù)、連同相應(yīng)的方向稱為標量場在該 點的梯度。顯然，點的梯度。顯然，梯度是一個梯度是一個矢量矢量。在直角坐標系中，標量場在直角坐標系中，標量場 的梯度可表示為的梯度可表示為gradxyzuuuueeexyz式中式中g(shù)rad 是英文字母是英文字母 gradient 的縮寫。的縮寫。 引入哈密頓算子的矢量符號引入哈密頓算子的矢量符號，在直角坐標系中可表示為在直角坐標系中可表示為xyzeeexyz 則梯度可表示為則梯度可表示為grad uu u第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Techn

18、ology基本公式基本公式0a aua u uvuv uvu vv u 21uv uu vvv a為常數(shù)：矢量微分算子：矢量微分算子第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology例：例：設(shè)設(shè) 和和 分別表示空間點分別表示空間點P(x,y,z)P(x,y,z)和點和點P(x,y,z)P(x,y,z)的矢徑，的矢徑，R R表示這兩點之間的距離。試證明表示這兩點之間的距離。試證明（1 1）（2 2）式中，式中， 分別表示對坐標變量分別表示對坐標變量 (x,y,z) (x,y,z)和和(x,y,

19、z)(x,y,z)的哈密頓算子的哈密頓算子ReRR 211ReRRRrrxyzeeexyz R = r-r.R 證明：證明：（1）（2）21uv uu vvv 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology1.3 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 通量線通量線：在場中畫一些曲線，曲線上的每一點的切線方向代表該點：在場中畫一些曲線，曲線上的每一點的切線方向代表該點 矢量場方向，而橫向的通量線密度代表該點矢量場大小。矢量場方向，而橫向的通量線密度代表該點矢量場大小。一一. 矢量場的通量矢

20、量場的通量 通通 量量：矢量場：矢量場 穿過曲面穿過曲面 的通量線的總數(shù)。用公式表示如下的通量線的總數(shù)。用公式表示如下ASA dS 式中，矢量面積元式中，矢量面積元 ， 而而 為為 的的法向單位矢。法向單位矢。ndSe dSnedSA線AnedS第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology1、開口曲面的正法線方向需要事先設(shè)定。通量的正、負與面積元、開口曲面的正法線方向需要事先設(shè)定。通量的正、負與面積元 矢量的方向選取有關(guān)；矢量的方向選取有關(guān)；正、負僅僅反映通量線從那一側(cè)穿過正、負僅僅反

21、映通量線從那一側(cè)穿過 曲面曲面。2、非閉合曲面非閉合曲面，其法線方向需事先規(guī)定；，其法線方向需事先規(guī)定；閉合曲面的閉合曲面的正法線方向正法線方向 規(guī)定為由的內(nèi)部指向外部，即外法線方向。規(guī)定為由的內(nèi)部指向外部，即外法線方向。 3、通量可以用來描述矢量場在空間的分布。借助于通量的概念，、通量可以用來描述矢量場在空間的分布。借助于通量的概念， 矢量又稱為矢量又稱為通量密度通量密度。例如，電位移也常常稱為電通量密度。例如，電位移也常常稱為電通量密度。 4、發(fā)出通量線發(fā)出通量線的點稱為的點稱為“源源”，吸收通量線吸收通量線的點稱為的點稱為“溝溝”。例。例如，如， 靜電場中的正電荷是發(fā)出電力線的靜電場中的

22、正電荷是發(fā)出電力線的“源源”，負電荷是吸收電，負電荷是吸收電力力 線的線的“溝溝”。 5、穿過整個閉合曲面的、穿過整個閉合曲面的總通量等于總通量等于“源源”發(fā)出的通量線減去發(fā)出的通量線減去“溝溝”吸吸 收的通量線。收的通量線。 五點說明五點說明 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology二二. 矢量場散度矢量場散度散度：散度：當閉合面當閉合面 S 向某點無限收縮時，矢量向某點無限收縮時，矢量 通過該閉合面通過該閉合面S 的的 通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場通量與該閉合面

23、包圍的體積之比的極限稱為矢量場 在該在該 點的散度，以點的散度，以 div 表示，即表示，即 0 ddivlimSVASAV式中式中div 是英文字母是英文字母 divergence 的縮寫，的縮寫， V 為閉合面為閉合面 S 包圍的體包圍的體積。上式表明，積。上式表明，散度是一個標量，它可理解為通過包圍單位體積散度是一個標量，它可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量。閉合面的通量。 AAA第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology形狀隨意第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanj

24、ing University of Information Science & Technology三種典型三種典型div A值的情況值的情況對靜電場而言，在有電荷存在的點上，散度不為零。并且散度大于零處具有正電荷，對靜電場而言，在有電荷存在的點上，散度不為零。并且散度大于零處具有正電荷，散度小于零處具有負電荷。而對恒定磁場而言，因為不存在磁荷，散度必處處為零。散度小于零處具有負電荷。而對恒定磁場而言，因為不存在磁荷，散度必處處為零。 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technolog

25、y可以證明，在直角坐標系中散度可表示為可以證明，在直角坐標系中散度可表示為 divyxzAAAAxyz結(jié)合前面的哈密頓算子，則有結(jié)合前面的哈密頓算子，則有 divyxzAAAAAxyz式中，式中， 為在直角坐標系中為在直角坐標系中 的三個分量，即的三個分量，即 ,xyzA A AAxxyyzzAe Ae Ae A第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology基本公式基本公式0 )()() CCaAaAaABABuAuAAuu 為常矢為常數(shù)為標量函數(shù)( 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論

26、 Nanjing University of Information Science & Technology例：例：設(shè)設(shè)R R表示空間點表示空間點P(x,y,z)P(x,y,z)和點和點P(xyz)P(xyz)之間的之間的 距離，試求：距離，試求：1R解：解：31RRR R = r-r.R 提示：提示：divyxzAAAAAxyz第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度環(huán)量：環(huán)量：矢量場矢量場 沿一條有向曲線沿一條有向曲線 的線

27、積分稱為矢量場的線積分稱為矢量場 沿該曲沿該曲 線的環(huán)量，以線的環(huán)量，以 表示，即表示，即 lA dl一一. 矢量場的環(huán)量矢量場的環(huán)量AlA 說明說明：1 1）環(huán)量是一個）環(huán)量是一個標量標量，可以為正數(shù)、負數(shù)或零，此處，正、，可以為正數(shù)、負數(shù)或零，此處，正、 負反映矢量場在閉合曲線上的環(huán)繞方向；負反映矢量場在閉合曲線上的環(huán)繞方向； 2 2）環(huán)量大小反映矢量場沿閉合曲線的分布強度情況。準確）環(huán)量大小反映矢量場沿閉合曲線的分布強度情況。準確 地，反映圍線上的場矢量與圍線所圍場源間的關(guān)系（如穩(wěn)恒地，反映圍線上的場矢量與圍線所圍場源間的關(guān)系（如穩(wěn)恒 磁場中，有磁場中，有 ）。）。 可見，環(huán)量可以用來描

28、述漩渦場矢量與旋渦源的總體關(guān)系?？梢姡h(huán)量可以用來描述漩渦場矢量與旋渦源的總體關(guān)系。 lH dlI第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology 旋度引入分析旋度引入分析：如圖，如圖， 為曲線為曲線 所圍面積，其法線方向所圍面積，其法線方向 與圍線與圍線 的環(huán)繞方向成右手螺旋關(guān)系。的環(huán)繞方向成右手螺旋關(guān)系。二二. 矢量場旋度矢量場旋度lSnel lA dl描述描述 上旋渦源與圍線上旋上旋渦源與圍線上旋渦場的總體關(guān)系渦場的總體關(guān)系S lA dlS描述描述 上旋渦源與圍線上旋上旋渦源與圍線上

29、旋渦場的平均關(guān)系旋渦渦場的平均關(guān)系旋渦S 0 limlSA dlS 描述描述 點在方向點在方向 上，旋渦源與旋渦場的關(guān)系。上，旋渦源與旋渦場的關(guān)系。或稱矢量場在或稱矢量場在 點沿點沿 方向的環(huán)量密度方向的環(huán)量密度PnePne可見，要準確描述場中任意點的旋渦源與旋渦場間的關(guān)系，這個可見，要準確描述場中任意點的旋渦源與旋渦場間的關(guān)系，這個量應(yīng)該是一個既有大小又有方向的量，即它是一個量應(yīng)該是一個既有大小又有方向的量，即它是一個矢量矢量。AneSlPdl第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technolo

30、gy旋度：旋度：已給已給矢量場矢量場 ，若在空間某給定點，若在空間某給定點 處存在這樣一個矢量，它處存在這樣一個矢量，它 的大小等于該點最大的環(huán)流密度，它的方向為取得最大環(huán)流密的大小等于該點最大的環(huán)流密度，它的方向為取得最大環(huán)流密 度的那塊小面積度的那塊小面積 的法線方向，則這個矢量稱為矢量的法線方向，則這個矢量稱為矢量 在在 點的點的 旋度旋度(rotation或或curl)，記為記為 (或記為或記為 )。APSAProt Acurl A綜上，場點綜上，場點 在在 方向的環(huán)流密度是旋度矢量在該方向上的投影，即方向的環(huán)流密度是旋度矢量在該方向上的投影，即P 0 rot= rotlimlnnSA

31、 dlAAeS ne第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology不同閉合路徑位置情況下的環(huán)量不同閉合路徑位置情況下的環(huán)量第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology容易證明，旋度也可用哈密頓算子表示，于是有容易證明，旋度也可用哈密頓算子表示，于是有rotxyzxyzeeeAAxyzAAA（按第一行展開）（按第一行展開）rotyyxxzzxyzAAAAAAAeeeyzzxxy旋度

32、公式推導思路旋度公式推導思路：在直角坐標系中，分別求出場點在直角坐標系中，分別求出場點 處沿處沿 軸方向、軸方向、 軸方向和軸方向和 軸方向的環(huán)流密度，然后由這三個分量構(gòu)成的矢量軸方向的環(huán)流密度，然后由這三個分量構(gòu)成的矢量 就是所要求的場點就是所要求的場點 處的旋度處的旋度。經(jīng)詳細數(shù)學推導，可得經(jīng)詳細數(shù)學推導，可得PxyzPxzxyzxyyzeeA BAAABBeB 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology基本公式基本公式0 ()()() CCABABaAaAaAAA 為常矢為常數(shù)

33、為標量函數(shù) 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology例：例：試證明試證明 （C C為常矢量，為常矢量，r r為矢經(jīng)）。為矢經(jīng)）。 2(C) rC證明證明 ()()()xxyyzzxyzxyzyzxzxye Ce Ce Cre xe ye ze C zC ye C xC ze C yC xCCr()()()() ()() ()()() xyzxxyzxyyyzzxzxxxyyyzzzC yC xC xC zeyzC zC yC yC xezxC zC yC xC zexye CCeC

34、Ce CC(Cr) 2CxyzxyzeeeAxyzAAA第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology梯度：描述了空間各點標量位的最大變化率及其方向梯度：描述了空間各點標量位的最大變化率及其方向 一個標量函數(shù)的梯度是一個一個標量函數(shù)的梯度是一個矢量函數(shù)矢量函數(shù)三三. 梯度、散度、旋度的比較梯度、散度、旋度的比較有源場有源場：存在通量源的場存在通量源的場有旋場有旋場：存在旋渦源的場存在旋渦源的場散度：描述了空間各點場矢量與通量源之間的關(guān)系散度：描述了空間各點場矢量與通量源之間的關(guān)系 一個矢

35、量函數(shù)的散度是一個一個矢量函數(shù)的散度是一個標量函數(shù)標量函數(shù)旋度：描述了空間各點場矢量與旋渦源之間的關(guān)系旋度：描述了空間各點場矢量與旋渦源之間的關(guān)系 一個矢量函數(shù)的旋度是一個一個矢量函數(shù)的旋度是一個矢量函數(shù)矢量函數(shù)一個非零的矢量場不可能既是無源場又是無旋場一個非零的矢量場不可能既是無源場又是無旋場第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technolo

36、gy1.5 矢量的恒等式和基本定理矢量的恒等式和基本定理三個重要的恒等式三個重要的恒等式()0u 0)(A2()AAA 任何一個標量函數(shù)的梯度的旋度必等于零。由此可見，任何任何一個標量函數(shù)的梯度的旋度必等于零。由此可見，任何一個梯度場必然為無旋場，而任何一個無旋場也必為有位場。一個梯度場必然為無旋場，而任何一個無旋場也必為有位場。任何一個矢量函數(shù)的旋度的散度必等于零。由此可見，旋度場必任何一個矢量函數(shù)的旋度的散度必等于零。由此可見，旋度場必為無源場，而任何一個無源場必為有旋場。為無源場，而任何一個無源場必為有旋場。稱為拉普拉斯算子。稱為拉普拉斯算子。2 第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 N

37、anjing University of Information Science & Technology高斯定理：高斯定理：矢量場矢量場 穿過空間任一閉合曲面穿過空間任一閉合曲面 的通量等于該矢量的散的通量等于該矢量的散 度在曲面度在曲面 所包圍體積所包圍體積 內(nèi)的體積分。即內(nèi)的體積分。即 從數(shù)學角度看，高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系；從從數(shù)學角度看，高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系；從物理角度看，高斯定理建立了區(qū)域物理角度看，高斯定理建立了區(qū)域 V 中的源和包圍區(qū)域中的源和包圍區(qū)域 V 的閉合的閉合面面 S 上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知

38、區(qū)域 V 中的源，在一些中的源，在一些特殊情況下，可求出邊界特殊情況下，可求出邊界 S 上的場；反之，由場可求出源。上的場；反之，由場可求出源。ASSV dSVASA dV第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology斯托克斯定理：斯托克斯定理：矢量場矢量場 沿空間任一閉合曲線沿空間任一閉合曲線 的環(huán)量等于該矢量場的旋度穿過以的環(huán)量等于該矢量場的旋度穿過以 作為作為 邊界曲線的任一開放曲面邊界曲線的任一開放曲面 的通量。即的通量。即 同高斯定理類似，從數(shù)學角度看，同高斯定理類似，從數(shù)學角

39、度看，斯托克斯斯托克斯定理建立了線積分和定理建立了線積分和面積分的關(guān)系；從物理角度看，面積分的關(guān)系；從物理角度看，斯托克斯斯托克斯定理建立了區(qū)域定理建立了區(qū)域 S 中的源中的源和包圍區(qū)域和包圍區(qū)域 S 的閉合曲線的閉合曲線 l 上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域 S 中的源，在特殊條件下，可求出邊界中的源，在特殊條件下，可求出邊界 l 上的場；反之，由場可求出上的場；反之，由場可求出源。源。 lSA dlAdSAllS第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Tec

40、hnology格林定理格林定理 設(shè)任意兩個標量場設(shè)任意兩個標量場 及及，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，如下圖示。中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，如下圖示。 那么，可以證明該兩個標量場那么，可以證明該兩個標量場 及及 滿足下列等式滿足下列等式SVSnV 2dd)(式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面，的閉合曲面， 為標量為標量場場 在在 S 表面的外法線表面的外法線 en 方向上的偏方向上的偏導數(shù)。導數(shù)。nSV,ne根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成SVV 2d)(d)(S上兩式稱為上兩式稱為格林第一定理格林第一定理。第一章 矢量分析 電磁場

41、與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology基于上式還可獲得下列兩式：基于上式還可獲得下列兩式：SVV 22d d)(SSVSnnV 22dd)(上兩式稱為上兩式稱為標量第二格林定理標量第二格林定理。 格林定理，說明格林定理，說明區(qū)域區(qū)域 V 中的場與中的場與邊界邊界 S 上的場之間的關(guān)系。因此，上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing Univers

42、ity of Information Science & Technology矢量場的唯一性定理矢量場的唯一性定理：位于某一區(qū)域中的矢量場，當其：位于某一區(qū)域中的矢量場，當其散度散度、旋旋 度度以及邊界上場量的以及邊界上場量的切向切向分量（或分量（或法向法向分量）給定后，則分量）給定后，則 該區(qū)域中的矢量場被唯一地確定。該區(qū)域中的矢量場被唯一地確定。 已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見唯一性定已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見唯一性定理表明，矢量場被其理表明，矢量場被其源源及及邊界條件邊界條件共同決定的。共同決定的。第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing Univ

43、ersity of Information Science & Technology亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：空間有限區(qū)域：空間有限區(qū)域 內(nèi)的任一矢量場內(nèi)的任一矢量場 均可以表示為一均可以表示為一 個無源場個無源場 ( (即即 或或 ) )和一個無旋場和一個無旋場 ( (即即 或或 ) )之和，即之和，即 VF1F10F1FA2F20F2F 12FFFA式中式中, , , ,44VSF x y zF x y zA x y zdVdSRR , , , ,44VSF x y zF x y zx y zdVdSRR 這里，這里， 和和 分別表示源點和場點的坐標，分別表示源點和場點的坐標， 是

44、區(qū)是區(qū)域域 的邊界閉合曲面，的邊界閉合曲面，, x y z, ,x y zSV222Rxxyyzz第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理( (特例情況，即場區(qū)特例情況，即場區(qū) ，源區(qū)源區(qū) 有限有限) )：V 12FFFA式中式中, , ,4VF x y zA x y zdVR , , ,4VF x y zx y zdVR 可見可見: :在無限大空間中，只要知道矢量場的散度和旋度，就能將空間在無限大空間中，只要知道矢量場的散度和旋度，就能將空間中的這個矢量場

45、定量地確定下來。中的這個矢量場定量地確定下來。V第一章 矢量分析 電磁場與電磁波理論 Nanjing University of Information Science & Technology1.6 正交曲面坐標系正交曲面坐標系 zxyz = z 0 x = x 0y = y 0P0zexeyeOxyzOdxdydz 一一. .三種常用的正交坐標系三種常用的正交坐標系 1.1.直角坐標系直角坐標系 變量范圍：變量范圍：, ,x y z 單位方向：單位方向： 成右旋關(guān)系，且成右旋關(guān)系，且,xyze e e zxyeee長度微元長度微元：,xyzdldxdldydldz體積微元體積微元：dV = dxdy