高等數(shù)學-第7章-(第7次課)

1、高等數(shù)學 課程相關 教材及相關輔導用書 高等數(shù)學第一版，肖筱南主編,林建華等編著, 北京大學出版社2010.8. 高等數(shù)學精品課程下冊第一版，林建華等編著,廈門大學出版社,2006.7.高等數(shù)學第七版,同濟大學數(shù)學教研室主編，高等教育出版社,2014.7.高等數(shù)學學習輔導與習題選解（同濟第七版上下合訂本）同濟大學應用數(shù)學系編 高等教育出版社,2014.8. 第七章 微分方程 7.1 微分方程的基本概念 7.2 可分離變量的微分方程 7.3 一階線性微分方程 7.4 可降階的高階微分方程 7.5 二階線性微分方程 7.6 二階常系數(shù)線性齊次微分方程 7.7 二階常系數(shù)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

2、線性非齊次微分方程 7.8 綜合例題7.5二階線性微分方程求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：一、二階線性一、二階線性齊次齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)微分方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)0)()( yxQyxPy的兩個解,也是該方程的解.（解的疊加原理）)()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.是二階線性微分方程二二、二階線性非、二階線性非齊次齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)微分方程解的結(jié)構(gòu)7.6二階常系數(shù)線性齊次微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化 第七章 小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xr

3、xreCeCy212121,:rr特征根特征根21rr 實根實根 rrr21xrexCCy)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解注：以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根特征根:21, rr(1) 當當時時, 通解為通解為xrxreCeCy212121rr (2) 當當時時, 通解為通解為xrexCCy1)(2121rr (3) 當當時時, 通解為通解為)sincos(21xCxCeyxir2, 12、若特征方程含 k 重復根,ir1、若特征方程含 k 重實根 r , 則其通解中必含對應項xrkke

4、xCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk則其通解中必含對應項)(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC推廣推廣:9二階常二階常系數(shù)線性系數(shù)線性非齊次非齊次微分方程微分方程一般式是一般式是 (1) xfqypyy其中其中p、q是常數(shù)。是常數(shù)。一一 、 型型 xmexpxf )()( 是是x 的一個的一個m 次多項式：次多項式： xPm其中其中為常數(shù)，為常數(shù)， .1110mmmmmaxaxaxaxP 對對 f(x) 的下面兩種最常見形式，的下面兩種最常見形式，采用采

5、用待定系數(shù)法待定系數(shù)法來求出來求出 y*。由定理由定理3，只要求出，只要求出(1)的一個特解的一個特解 y*及及(1)對應的齊次方對應的齊次方程程0 qypyy的通解的通解Y，.*yYy 即可求得即可求得(1)的通解的通解 :10 可能是方程可能是方程(1)的特解的特解(其中其中Q(x)是某個多項式是某個多項式).xexQy )(* )3()()()()( ) 2()(2xPxQqpxQpxQm 要使要使(3)成立，成立，Q(x)應是一應是一 個個m 次多項式，次多項式， ,exQ*yx 代入方程代入方程(1)并消去并消去,xe 為了確定為了確定Q(x)，將，將 xQxQe*yx xQxQxQ

6、eyx 2*2得得（i）如果如果, 02 qp 即即不是特不是特 征根。征根。 mmmmmbxbxbxbxQxQ 1110)(不妨設不妨設代入代入(3)式，比較兩端同次冪的系數(shù)即可確定式，比較兩端同次冪的系數(shù)即可確定,m,ibi210 進而得進而得(1)的特解的特解.)(* xexQy xxxxexQxQexQexQexQ )(0011, 02 qp , 0 2 p （ii）如果如果且且即即是特征方程的單根。是特征方程的單根。)()(xxQxQm 同樣可以定出同樣可以定出 的系數(shù)的系數(shù))(xQm,m,ibi210 令令（iii）如果如果 且且 ，02 qp 0 2 p 即即是特征方程的重根。是

7、特征方程的重根。要使要使(3)成立，成立， )( xQ應是一個應是一個m 次多項式次多項式,令令要使要使(3)式成立，式成立，)()(2xQxxQm 仍是比較仍是比較(3)式兩端的系數(shù)來確定式兩端的系數(shù)來確定 的系數(shù)。的系數(shù)。)(xQm)( xQ應是應是m次多項式次多項式. 若若是特征方程的是特征方程的 s 重根，重根，k = s.上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到 n 階常系數(shù)非齊次線性微分方程，階常系數(shù)非齊次線性微分方程，但但 k 是特征方程含根是特征方程含根的重復次數(shù)，即的重復次數(shù)，即若若不是特征方程的根，不是特征方程的根，k =0；2 是特征方程的重根是特征方程的重根k =0 不是特征根

8、不是特征根1 是特征方程的單根是特征方程的單根其中其中總之，總之，當當 時，方程時，方程(1)具有形如具有形如xmkexQxy )(* 的特解，的特解，)(xQm)(xPm其中其中 是與是與 同次同次(m次次)的多項式，的多項式， xmexpxf )()( (1) xfqypyy13)(1xf)(2xfsin)(cos)()(xxpxxpexfnlx 二二 、sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx 型型由歐拉公式：由歐拉公式：,2sin2cos ieexeexixixixix變?yōu)椋鹤優(yōu)椋?xf把把xixiexPexP)()()()( ieePeePexixinxixilx22 xin

9、lxinleiPPeiPP 2222 xfxfqyypy21 14*1y*2y xxRxxRexymmxk sincos*21由第一種情形及由第一種情形及 定理定理 4 的結(jié)論，對于此種類型，特解可設為：的結(jié)論，對于此種類型，特解可設為： ximkximkexQxexQxy)()(* 改寫為如下形式：改寫為如下形式： m=max l , n 。 iPPxPnl22其中其中 iPPxPnl22與與都是都是 m 次多項式，次多項式，其中其中 xR,xRmm21都是都是 m 次多項式，次多項式，0 i不是特征根不是特征根k =1 i是特征根是特征根m = max l , n ，且，且qyypy xi

10、xiexPexP)()()()( sin)(cos)(xxpxxpeqyypynlx 15代入所給方程，得代入所給方程，得xxxadcxxcbax2cos2sin)433(2cos)433( 所求通解為所求通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 解解對應齊次方程的特征方程為對應齊次方程的特征方程為012 rir 2, 1xCxCYsincos21于是齊次方程的通解為于是齊次方程的通解為)10)(,)(, 2, 0( ,2cos)(mxPxxPxxxfnl即即 由于由于94, 0, 0,31 dcba所以所以xxxy2sin942cos31* 于是得原方程的一個特解為于

11、是得原方程的一個特解為xdcxxbaxy2sin)(2cos)(* 故原方程特解設為：故原方程特解設為：i=2i不是特征方程的根，取不是特征方程的根，取, 0 k例例 3 求方程求方程xxyy2cos 的通解。的通解。sin)(cos)(xxpxxpeqyypynlx xxRxxRexymmxk sincos*2116代入所給方程，得代入所給方程，得0 ,41 BA所求通解為所求通解為 xxexCxCeyxx2cos412sin2cos21 解解齊次方程的特征方程為齊次方程的特征方程為0522 rrir212, 1 xCxCeYx2sin2cos21 于是齊次方程的通解為于是齊次方程的通解為)

12、0, 1)(, 0)(, 2, 1( ,2sin)(mxPxPxexfnlx 由于由于 xBxAxeyx2sin2cos* 故原方程特解設為：故原方程特解設為：i=12i 是特征方程的根，取是特征方程的根，取, 1 k例例 4 求方程求方程xeyyyx2sin52 的通解。的通解。于是得原方程的一個特解為于是得原方程的一個特解為xxeyx2cos41* 17例例 5 求方程求方程 的通解。的通解。 xeyyxcos 由此求得由此求得0,21,21 BCA齊次方程的通解為齊次方程的通解為xCxCYsincos21 應有應有 形式的特解；形式的特解；xeyy xAe因為因為有有 形式的特解，形式的特解，xyycos )sincos(xCxBx 應應代入所給方程，得代入所給方程，得xexBxCAexxcossin