數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)(含附中案例)

1、1數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)l 所謂所謂“問題問題”，就意味著要去尋找適當(dāng)?shù)男袆?，以達(dá)到一個，就意味著要去尋找適當(dāng)?shù)男袆?，以達(dá)到一個可見而可見而不立即可及不立即可及的目標(biāo)。的目標(biāo)。 波利亞（美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家）波利亞（美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家）l 問題是對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算問題是對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待解決問題情境。法的待解決問題情境。 第六屆國際數(shù)學(xué)教育大會（第六屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-6ICME-6）問題的特征問題的特征l 不穩(wěn)定性（問題性）不穩(wěn)定性（問題性） 系統(tǒng)（系統(tǒng)（S, R）

2、即問題，若構(gòu)成）即問題，若構(gòu)成R的諸要素中至少有一個是的諸要素中至少有一個是S不知道的。不知道的。 其中，其中，S表示人，表示人，R表示集合或系統(tǒng)。表示集合或系統(tǒng)。l 障礙性障礙性 不能順利實(shí)現(xiàn)解決問題的過程。不能順利實(shí)現(xiàn)解決問題的過程。 問題的障礙性構(gòu)成了對學(xué)生認(rèn)識或思維的挑戰(zhàn)。問題的障礙性構(gòu)成了對學(xué)生認(rèn)識或思維的挑戰(zhàn)。 對小學(xué)生而言，它是一個問題。對小學(xué)生而言，它是一個問題。 對于一個高中生來說，它并非如此。對于一個高中生來說，它并非如此。 對于未學(xué)過二次函數(shù)知識、或從未解決對于未學(xué)過二次函數(shù)知識、或從未解決 過類似問題的學(xué)生而言，會感到困難；過類似問題的學(xué)生而言，會感到困難； 有過類似解

3、題經(jīng)驗(yàn)，或?qū)W習(xí)了二次函數(shù)的有過類似解題經(jīng)驗(yàn)，或?qū)W習(xí)了二次函數(shù)的 知識的學(xué)生，稍作分析即可解決問題。知識的學(xué)生，稍作分析即可解決問題。問題的特征問題的特征l 相對性相對性 x2=2求求“拋出去的鉛球在到達(dá)拋出去的鉛球在到達(dá)其其最高點(diǎn)時距離地面的高度最高點(diǎn)時距離地面的高度”結(jié)構(gòu)良好的問題結(jié)構(gòu)良好的問題 構(gòu)成問題的各種成分對于學(xué)生來說都是確定的。構(gòu)成問題的各種成分對于學(xué)生來說都是確定的。如對一名高三學(xué)生來說，解方程如對一名高三學(xué)生來說，解方程 2x2+3x-7=0，是一個結(jié)構(gòu)良好的問題。是一個結(jié)構(gòu)良好的問題。結(jié)構(gòu)不良問題結(jié)構(gòu)不良問題 構(gòu)成問題的各種成分對學(xué)生來說不都是完全確定的。構(gòu)成問題的各種成分對

4、學(xué)生來說不都是完全確定的。張、王、李三人分別擲張、王、李三人分別擲5個石子，結(jié)構(gòu)如下圖所示，規(guī)定所投石子個石子，結(jié)構(gòu)如下圖所示，規(guī)定所投石子“散度散度”（分散程度）最小者為優(yōu)勝。請選出優(yōu)勝者。（分散程度）最小者為優(yōu)勝。請選出優(yōu)勝者。問題的類型問題的類型l 按問題的結(jié)構(gòu)分按問題的結(jié)構(gòu)分 張張王王李李 數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)問題解決即數(shù)學(xué)地解決一個初次遇到的新問題的過程。即數(shù)學(xué)地解決一個初次遇到的新問題的過程。數(shù)學(xué)問題解決的含義數(shù)學(xué)問題解決的含義l 數(shù)學(xué)問題解決的概念數(shù)學(xué)問題解決的概念 l 數(shù)學(xué)問題解決與解題數(shù)學(xué)問題解決與解題 解題：通常指解答習(xí)題。解題：通常指解答習(xí)題。 解題的實(shí)質(zhì)解題的實(shí)質(zhì) 解題指的

5、是找到一種一般的數(shù)學(xué)原理（定義、公理、定理、法則、定解題指的是找到一種一般的數(shù)學(xué)原理（定義、公理、定理、法則、定律、公式）或條件的推論（中間結(jié)果），通過一定的程序得到習(xí)題所要律、公式）或條件的推論（中間結(jié)果），通過一定的程序得到習(xí)題所要求的答案。求的答案。 問題解決與解題的相互關(guān)系問題解決與解題的相互關(guān)系 解題是一種基本的數(shù)學(xué)活動，但解題是一種基本的數(shù)學(xué)活動，但解題解題不能與不能與問題解決問題解決劃等號。劃等號。數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)活動模式數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)活動模式創(chuàng)設(shè)情境，創(chuàng)設(shè)情境，提出問題提出問題弄清問題弄清問題制定計(jì)劃制定計(jì)劃執(zhí)行計(jì)劃執(zhí)行計(jì)劃總結(jié)回顧總結(jié)回顧思考與交流思考與交流教材分析教材分析

6、1 人教舊版教材：人教舊版教材：全日制普通高級中學(xué)教科書全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)（必修）（必修） 第一冊第一冊(上上) 。 全日制普通高級中學(xué)教科書全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)（必修）（必修） 第一冊第一冊( (上上) ) 人教舊版人教舊版特殊特殊函數(shù)函數(shù)全日制普通高級中學(xué)教科書全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)（必修）（必修） 第一冊第一冊( (上上) ) 人教舊版人教舊版特殊特殊函數(shù)函數(shù)全日制普通高級中學(xué)教科書全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)（必修）（必修） 第一冊第一冊( (上上) ) 人教舊版人教舊版特殊特殊函數(shù)函數(shù)歸納歸納概括概括全日制普通高級中學(xué)教科書全日制普通高級中學(xué)教

7、科書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)（必修）（必修） 第一冊第一冊( (上上) ) 人教舊版人教舊版特殊特殊函數(shù)函數(shù)歸納歸納概括概括對于單調(diào)區(qū)間，對于單調(diào)區(qū)間，學(xué)生的認(rèn)識是否學(xué)生的認(rèn)識是否有困難？有困難？全日制普通高級中學(xué)教科書全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)（必修）（必修） 第一冊第一冊( (上上) ) 人教舊版人教舊版教材分析教材分析2 人教新版教材：人教新版教材：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) （必修（必修1 ）案例：案例：“一元一次不等式（組）、方程與函數(shù)的應(yīng)用一元一次不等式（組）、方程與函數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)H. 弗賴登塔爾弗賴登塔爾（1905-1991）l以手機(jī)卡消費(fèi)的

8、問題為素材創(chuàng)設(shè)問題情境以手機(jī)卡消費(fèi)的問題為素材創(chuàng)設(shè)問題情境（該問題情境的解題條件和解題目標(biāo)均不明確（該問題情境的解題條件和解題目標(biāo)均不明確結(jié)構(gòu)不良的問題情境）結(jié)構(gòu)不良的問題情境）l要求學(xué)生根據(jù)情境信息，從已有知識、經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過獨(dú)立思考與合要求學(xué)生根據(jù)情境信息，從已有知識、經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過獨(dú)立思考與合作交流相結(jié)合的方式提出問題，進(jìn)而師生合作，提供解決問題。最后作交流相結(jié)合的方式提出問題，進(jìn)而師生合作，提供解決問題。最后拓展問題。拓展問題。l固定通話時間，哪種卡合算固定通話時間，哪種卡合算/l固定月話費(fèi)，哪種卡合算？固定月話費(fèi)，哪種卡合算？l各種卡分別在何種情況下使用才是合算的？各種卡分別在何種情

9、況下使用才是合算的？ 教學(xué)策略與方法：對于較為復(fù)雜的問題，師生一起分析、探求解決。注重教學(xué)策略與方法：對于較為復(fù)雜的問題，師生一起分析、探求解決。注重方法多樣性，尋求最佳解法。方法多樣性，尋求最佳解法。 學(xué)生情況分析：學(xué)生情況分析：l考慮到學(xué)生的能力水平，給出的情境信息力求清晰，簡明。解決問題考慮到學(xué)生的能力水平，給出的情境信息力求清晰，簡明。解決問題需考慮的因素不宜太多。需考慮的因素不宜太多。l學(xué)生最初的問題表達(dá)可能不是標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)問題，在解決問題時要讓學(xué)學(xué)生最初的問題表達(dá)可能不是標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)問題，在解決問題時要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言清晰表達(dá)，并體會其意義。生用數(shù)學(xué)語言清晰表達(dá)，并體會其意義。l在具體

10、背景中理解一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式的意義，并能在具體背景中理解一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式的意義，并能有選擇地應(yīng)用它們來解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題；有選擇地應(yīng)用它們來解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題；l提高用函數(shù)、方程、不等式（組）表示、處理實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系和變化提高用函數(shù)、方程、不等式（組）表示、處理實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的能力；規(guī)律的能力；l提高分析和解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)生活問題的能力，掌握解決問題的一般思維方法。提高分析和解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)生活問題的能力，掌握解決問題的一般思維方法。 過程與方法過程與方法l經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系、建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。通過模型求經(jīng)歷從實(shí)

11、際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系、建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。通過模型求解來求得實(shí)際問題的解的過程；解來求得實(shí)際問題的解的過程；l經(jīng)歷將復(fù)雜問題分解、轉(zhuǎn)化成簡單問題、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的過程。經(jīng)歷將復(fù)雜問題分解、轉(zhuǎn)化成簡單問題、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的過程。 過程與方法過程與方法l體會方程、不等式、函數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系，以及它們在解決實(shí)際問題中的作用。體會方程、不等式、函數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系，以及它們在解決實(shí)際問題中的作用。l體會數(shù)學(xué)語言的精確性、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。體會數(shù)學(xué)語言的精確性、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。l一元一次不等式（組）、一元一次方程與一次函數(shù)的應(yīng)用。一元一次不等式（組）、一元一次方程與一次函數(shù)的應(yīng)用。 難點(diǎn)難

12、點(diǎn)l體會一元一次不等式（組）、一元一次方程與一次函數(shù)三者的聯(lián)系。體會一元一次不等式（組）、一元一次方程與一次函數(shù)三者的聯(lián)系。l問題情境的設(shè)計(jì)是關(guān)系本節(jié)課教學(xué)的成敗的重要因素問題情境的設(shè)計(jì)是關(guān)系本節(jié)課教學(xué)的成敗的重要因素l對貴陽市的初中學(xué)生而言，手機(jī)付費(fèi)問題貼近生活，能激發(fā)興趣，調(diào)動他們對貴陽市的初中學(xué)生而言，手機(jī)付費(fèi)問題貼近生活，能激發(fā)興趣，調(diào)動他們決絕問題的愿望。決絕問題的愿望。 課堂上，使用學(xué)生提出的問題。課堂上，使用學(xué)生提出的問題。 課后，設(shè)計(jì)必做題和選擇題。課后，設(shè)計(jì)必做題和選擇題。l獨(dú)立思考與合作交流相結(jié)合。獨(dú)立思考與合作交流相結(jié)合。l必做題：總結(jié)當(dāng)天學(xué)習(xí)內(nèi)容，寫一篇數(shù)學(xué)周記；必做題

13、：總結(jié)當(dāng)天學(xué)習(xí)內(nèi)容，寫一篇數(shù)學(xué)周記； 以其他生活問題為素材創(chuàng)設(shè)情境，問題結(jié)構(gòu)與課堂類似，以其他生活問題為素材創(chuàng)設(shè)情境，問題結(jié)構(gòu)與課堂類似，l選做題：對課堂問題作深化，給學(xué)有余力的同學(xué)做。選做題：對課堂問題作深化，給學(xué)有余力的同學(xué)做。 多媒體材料多媒體材料lPPT1：情境資料（展示信息）：情境資料（展示信息）lPPT2：拓展問題（展示信息）：拓展問題（展示信息）lPPT3：家庭作業(yè)必做題：家庭作業(yè)必做題lFlash課件：圖像法解問題課件：圖像法解問題2（提供示范）（提供示范） 板書（展示事實(shí)、呈現(xiàn)過程、解釋原理）板書（展示事實(shí)、呈現(xiàn)過程、解釋原理）（一）復(fù)習(xí)（一）復(fù)習(xí)l一元一次不等式（組）、一元

14、一次方程與一次函數(shù)的概念及其聯(lián)系。一元一次不等式（組）、一元一次方程與一次函數(shù)的概念及其聯(lián)系。 （二）引入情境（二）引入情境為為迎接迎接5.17電信日的到來電信日的到來,某電信公司推出三種手機(jī)卡供用戶某電信公司推出三種手機(jī)卡供用戶選擇選擇,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:經(jīng)濟(jì)卡經(jīng)濟(jì)卡:月租費(fèi)月租費(fèi)30元元,通話費(fèi)通話費(fèi)0.2元元/分鐘分鐘親情卡親情卡:月租費(fèi)月租費(fèi)12元元,通話費(fèi)通話費(fèi)0.4元元/分鐘分鐘如意通如意通:沒有月租費(fèi)沒有月租費(fèi),通話費(fèi)通話費(fèi)0.6元元/分鐘分鐘作為一名手機(jī)消費(fèi)者作為一名手機(jī)消費(fèi)者,你想了解哪些信息呢你想了解哪些信息呢?歡迎廣大手機(jī)用戶選擇使用！歡迎廣大手機(jī)用戶選擇使用?。?/p>

15、二）提出要求（二）提出要求對這則廣告，同學(xué)們肯定有很多想法和疑問，請大家積極思考對這則廣告，同學(xué)們肯定有很多想法和疑問，請大家積極思考, ,大膽發(fā)大膽發(fā)言。如果你是顧客，你將怎樣做出選擇？言。如果你是顧客，你將怎樣做出選擇？ 思考與交流思考與交流 形成問題的總框架形成問題的總框架 l問題性質(zhì)：手機(jī)消費(fèi)卡的最優(yōu)決策問題問題性質(zhì)：手機(jī)消費(fèi)卡的最優(yōu)決策問題l已知信息：三種手機(jī)卡及其收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，顧客根據(jù)自己的情況加以選已知信息：三種手機(jī)卡及其收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，顧客根據(jù)自己的情況加以選擇。擇。l所求問題：找出最合算的手機(jī)卡。（學(xué)生獨(dú)立思考，再全班交流，所求問題：找出最合算的手機(jī)卡。（學(xué)生獨(dú)立思考，再全班交流，教師

16、板書）教師板書） 表征情境信息表征情境信息l將三種卡的收費(fèi)情況用數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)出來，列出三種卡的通話費(fèi)將三種卡的收費(fèi)情況用數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)出來，列出三種卡的通話費(fèi)用用y(y(元元) )與通話時間與通話時間x(x(分鐘分鐘) )的函數(shù)關(guān)系式：的函數(shù)關(guān)系式：經(jīng)濟(jì)卡經(jīng)濟(jì)卡:y=0.2x+30 :y=0.2x+30 （1 1）親情卡親情卡:y=0.4x+12 :y=0.4x+12 （2 2）如意通如意通:y=0.6x :y=0.6x （3 3）l顧客情況：他每個月的通話時間、他每個月能花多少錢在手機(jī)的消顧客情況：他每個月的通話時間、他每個月能花多少錢在手機(jī)的消費(fèi)上等等。費(fèi)上等等。l合算：省錢（話費(fèi)少）、可多

17、打電話（通話時間長）合算：省錢（話費(fèi)少）、可多打電話（通話時間長） 將要解決的問題轉(zhuǎn)化為具體較易解決的問題將要解決的問題轉(zhuǎn)化為具體較易解決的問題 （學(xué)生可能用自然語言或數(shù)學(xué)語言表達(dá)他們的問題）（學(xué)生可能用自然語言或數(shù)學(xué)語言表達(dá)他們的問題）l 每月通話每月通話100100分鐘時，使用哪種卡合算？分鐘時，使用哪種卡合算？l 什么情況下，使用經(jīng)濟(jì)卡合算？什么情況下，使用親情卡合算？什么情什么情況下，使用經(jīng)濟(jì)卡合算？什么情況下，使用親情卡合算？什么情況下，使用如意通合算？況下，使用如意通合算？l 每月付費(fèi)每月付費(fèi)200200元時，使用哪種卡使自己能多打幾分鐘電話？元時，使用哪種卡使自己能多打幾分鐘電話

18、？l 如果一天打如果一天打1010分鐘，一個月以三十天計(jì)，那么使用哪種卡合算？分鐘，一個月以三十天計(jì)，那么使用哪種卡合算？l 什么情況下，三種卡收費(fèi)相同？什么情況下，三種卡收費(fèi)相同？l 一個人在某月中沒有通話，應(yīng)選哪種卡？一個人在某月中沒有通話，應(yīng)選哪種卡？l 當(dāng)每月通話時間大于當(dāng)每月通話時間大于250250分鐘時，使用哪種卡合算？分鐘時，使用哪種卡合算？l 每月話費(fèi)每月話費(fèi)150150元，使用哪種卡合算？元，使用哪種卡合算？ 進(jìn)一步表征問題進(jìn)一步表征問題 每月通話每月通話100100分鐘時，使用哪種卡合算？分鐘時，使用哪種卡合算？ 通話時間為多少分鐘時，經(jīng)濟(jì)卡的花費(fèi)最少？通話時間為多少分鐘時

19、，通話時間為多少分鐘時，經(jīng)濟(jì)卡的花費(fèi)最少？通話時間為多少分鐘時，親情卡的花費(fèi)最少？通話時間為多少分鐘時，如意通的花費(fèi)最少？親情卡的花費(fèi)最少？通話時間為多少分鐘時，如意通的花費(fèi)最少？ 若每月付費(fèi)若每月付費(fèi)200200元時，使用哪種卡通話時間最長？元時，使用哪種卡通話時間最長？ 如果一天打如果一天打1010分鐘，一個月以三十天計(jì)，那么使用哪種卡花費(fèi)最少？分鐘，一個月以三十天計(jì)，那么使用哪種卡花費(fèi)最少？ 每月通話時間為多少時，三種卡的通話費(fèi)用相同？每月通話時間為多少時，三種卡的通話費(fèi)用相同？ 某人因特殊情況在一個月不需用手機(jī)通話，那么他在該月應(yīng)該選擇買哪某人因特殊情況在一個月不需用手機(jī)通話，那么他在

20、該月應(yīng)該選擇買哪種手機(jī)卡？種手機(jī)卡？ 探索問題解法，并對問題按方法進(jìn)行歸類探索問題解法，并對問題按方法進(jìn)行歸類 問題問題1,4,61,4,6自變量一定，比較不同函數(shù)函數(shù)值的大小自變量一定，比較不同函數(shù)函數(shù)值的大小解一元一次方程解一元一次方程問題問題3,83,8函數(shù)值一定，比較不同函數(shù)自變量的取值大小函數(shù)值一定，比較不同函數(shù)自變量的取值大小問題問題2 2根據(jù)不同函數(shù)值之間的關(guān)根據(jù)不同函數(shù)值之間的關(guān)系，求自變量的取值范圍。系，求自變量的取值范圍。不等不等解一元一次不等式組解一元一次不等式組問題問題5 5相等相等解一元一次方程解一元一次方程問題問題7 7在自變量的某變化范圍內(nèi)比較不同函數(shù)函數(shù)值在自變量的某變化范圍內(nèi)比較不同函數(shù)函數(shù)值的大小。的大小。 試誤法試誤法 確定問題解決的順序確定問題解決的順序 按照學(xué)生對解題方法熟悉的程度，可確定如下問題解決順序：按照學(xué)生對解題方法熟悉的程度，可確定如下問題解決順序： 問題問題1,4,61,4,6問題問題3,83,8問題問題22問題問題55問題問題7 7 資源配置資源配置 學(xué)生非常熟悉問題學(xué)生非常熟悉問題1,4,61,4,6和問題和問題3,83,8的解法，由學(xué)生獨(dú)立完成，每人從中的解法，