曲面及其方程二次曲面學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1曲面曲面(qmin)及其方程二次曲面及其方程二次曲面(qmin)第一頁，共55頁。水桶的表面、臺(tái)燈(tidng)的罩子面等曲面(qmin)在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面方程(fngchng)的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都不不滿滿足足方方程程；曲面的實(shí)例：2第1頁/共54頁第二頁，共55頁。以下給出幾例常見(chn jin)的曲面.解設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，RMM |0根據(jù)

2、(gnj)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程(fngchng)為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222Rzyx 3第2頁/共54頁第三頁，共55頁。例例 2 2 求與原點(diǎn)求與原點(diǎn)O及及)4 , 3 , 2(0M的距離之比為的距離之比為2:1的的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程點(diǎn)的全體所組成的曲面方程.解設(shè)設(shè)),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，,21|0 MMMO根據(jù)(gnj)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程(fngchng)為4第3頁/共54頁第四頁，共55頁。設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面

3、上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，根據(jù)(gnj)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程(fngchng). 07262 zyx解5第4頁/共54頁第五頁，共55頁。zxyo例4 方程(fngchng) 的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)(gnj)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂(fn dn)，下封底解c6第5頁/共54頁第六頁，共

4、55頁。以上幾例表明研究空間(kngjin)曲面有兩個(gè)基本問題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面(qmin)形狀（討論旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程7第6頁/共54頁第七頁，共55頁。8二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義(dngy)：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線分別稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第7頁/共54頁第八頁，共55頁。9二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義：以一條平面曲線(qxin)繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線(qxin)和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)

5、曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第8頁/共54頁第九頁，共55頁。10二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義(dngy)：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第9頁/共54頁第十頁，共55頁。11二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)(xunzhun)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)(xunzhun)軸。第10頁/共54頁第十一頁，共55頁。12二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周

6、(y zhu)所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第11頁/共54頁第十二頁，共55頁。13二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面(qmin)稱為旋轉(zhuǎn)曲面(qmin)。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面(qmin)的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第12頁/共54頁第十三頁，共55頁。14二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義：以一條(y tio)平面曲線繞其平面上的一條(y tio)直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第13頁/共54頁第十四頁，共55頁。15二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun

7、)曲面定義：以一條平面(pngmin)曲線繞其平面(pngmin)上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第14頁/共54頁第十五頁，共55頁。16二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義(dngy)：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第15頁/共54頁第十六頁，共55頁。17二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線(zhxin)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線(zhxin)一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第16頁/共54頁

8、第十七頁，共55頁。18二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義：以一條平面曲線(qxin)繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線(qxin)和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第17頁/共54頁第十八頁，共55頁。19二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義：以一條平面(pngmin)曲線繞其平面(pngmin)上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第18頁/共54頁第十九頁，共55頁。20二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面定義：以一條平面曲線(qxin)繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線(qxin)和

9、定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第19頁/共54頁第二十頁，共55頁。21例5 證明(zhngmng)以oz軸為旋轉(zhuǎn)軸，yoz坐標(biāo)面上的已知曲線( , )0C:0f y zx 為母線所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面(qmin)S的方程為：22(, )0fxyzxozy證明(zhngmng)：旋轉(zhuǎn)曲面如圖設(shè)M(x, y, z)為旋轉(zhuǎn)曲面S上任意一點(diǎn)，顯然，M一定是由母線C上某點(diǎn)M1(0, y1, z1)旋轉(zhuǎn)得到，1(1),zz 221(2)|yxy (0, 0, z)代入母線方程即得證明。( , , )M x y z),0(111zyM即( , )00f y zx 第20頁/共54頁第二十一頁，共55頁。

10、2222( ,)0f yxz 注意(zh y)：( , )0C:0f y zx 1. yoz平面(pngmin)上的母線 繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面22(, )0fxyz( , )0C:0f y zx 2. yoz平面上的母線(mxin) 繞oy軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面( , )0C:0f x yz 3. xoy平面上的母線 繞ox軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面22( ,)0f xyz第21頁/共54頁第二十二頁，共55頁。例6 將下列各曲線(qxin)繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx23這兩種曲面都叫做(jiozu)旋轉(zhuǎn)雙曲

11、面.第22頁/共54頁第二十三頁，共55頁。繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)(xunzhun)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)(xunzhun)拋物面24第23頁/共54頁第二十四頁，共55頁。特點(diǎn)(tdin)：曲面方程 中若除一個(gè)變量外，另外兩個(gè)變量能寫成平方和的形式，則該曲面是旋轉(zhuǎn)曲面( , , )0F x y z 例： 2221499xyz222214901490 xyxzxzxy 由由橢橢圓圓曲曲線線繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得的的橢橢球球面面或或由由橢橢圓圓曲曲線線繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得的的橢橢球球面面2221xyz呢呢？25第24頁/

12、共54頁第二十五頁，共55頁。xozy解 yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐(yunzhu)面方程 cot22yxz oxzy 26第25頁/共54頁第二十六頁，共55頁。27播放(b fn)定義(dngy)三、柱面觀察柱面的形成(xngchng)過程:沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。第26頁/共54頁第二十七頁，共55頁。28定義(dngy)三、柱面沿定曲線(qxin)C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線(zhn xin)，動(dòng)直線L叫柱面

13、的母線。觀察柱面的形成過程:第27頁/共54頁第二十八頁，共55頁。29定義(dngy)三、柱面沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面(qmin)稱為柱面。這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線(zhxin)L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:第28頁/共54頁第二十九頁，共55頁。30定義(dngy)三、柱面沿定曲線C 移動(dòng)(ydng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線(qxin)C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:第29頁/共54頁第三十頁，共55頁。31定義(dngy)三、柱面沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成(xngchng)的曲面稱為柱面。這條定曲線(

14、qxin)C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:第30頁/共54頁第三十一頁，共55頁。32定義(dngy)三、柱面沿定曲線(qxin)C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線(qxin)C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:第31頁/共54頁第三十二頁，共55頁。33定義(dngy)三、柱面沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線(zhxin)L 所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線(qxin)C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:第32頁/共54頁第三十三頁，共55頁。34定義(dngy)三、柱面沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的

15、曲面(qmin)稱為柱面。這條定曲線(qxin)C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:第33頁/共54頁第三十四頁，共55頁。35定義(dngy)三、柱面沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線(zhxin)L 所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線(zhn xin)，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:第34頁/共54頁第三十五頁，共55頁。36定義(dngy)三、柱面沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線(zhxin)L 所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線(zhn xin)，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:第35頁/共54頁第三十六頁，共55頁。37定義(d

16、ngy)三、柱面沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線(zhxin)L 所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線(zhxin)L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:第36頁/共54頁第三十七頁，共55頁。38定義(dngy)三、柱面沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成(xngchng)的曲面稱為柱面。這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線(zhn xin)，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:第37頁/共54頁第三十八頁，共55頁。39柱面舉例(j l)xozyxozy220yxz 拋物柱面0yxz 平面(pngmin)第38頁/共54頁第三十九頁，共55頁。40( , )0C:0f x yz 母線平

17、行(pngxng)于 z 軸的柱面方程為：( , )0f x y 一般地，已知準(zhǔn)線方程( , )0f x y 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母線平行于z軸的柱面。( ,)0f x y 一般(ybn)地，在空間直角坐標(biāo)下( , )0f x y （缺z），表示母線(mxin)？，準(zhǔn)線為？的柱面。( , )0f x z （缺y），表示母線？，準(zhǔn)線為？的柱面。( , )0f y z （缺x），表示母線？，準(zhǔn)線為？的柱面。第39頁/共54頁第四十頁，共55頁。41問：12222 czby（1） 表示什么(shn me)曲面？22221xzac（2） 表示(biosh)什么曲面？回顧

18、(hug)1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面S。2. 表示一張球面。2220AxAyAzBxCyDzE AxByCzD0 3. 表示空間的一張平面。( , )0C:0f y zx 4. yoz平面上的母線 繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面第40頁/共54頁第四十一頁，共55頁。42四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面(qmin)稱為二次曲面(qmin)。目的：利用(lyng)截痕法討論二次曲面的形狀。即：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解(lioji)曲面的全貌。22(, )0fxyz5. xoy平面上的準(zhǔn)線方程 母線平行于 z

19、 軸的( , )0C:0f x yz 柱面方程為：( , )0f x y 其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面第41頁/共54頁第四十二頁，共55頁。43（一）橢球面1222222 czbyax橢球面與三個(gè)坐標(biāo)(zubio)面的交線：22221,0 xyabz 橢球面與平面(pngmin) 的交線為橢圓1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccax同理與平面(pngmin)x=x1和y=y1 的交線也是橢圓22221,0 xzacy 22221,0yzbcx 第42頁/共54頁第四十三頁，共55頁。44橢球面的幾種特殊(tsh)情況：,)1(ba 222221xyz

20、ac 旋轉(zhuǎn)(xunzhun)橢球面222210 xzacy 由橢圓(tuyun) 或 繞z軸旋轉(zhuǎn)而成。222210yzbcx ,)2(cba 1222222 azayax球面2222xyza 方程可寫為第43頁/共54頁第四十四頁，共55頁。45（二）拋物面zqypx 2222（p與q同號(tn ho)）（1）橢圓(tuyun)拋物面用截痕法討論(toln)：（1）用坐標(biāo)面 xoy (z=0) 去截；設(shè)p與q都大于零。（2）用平面 去截；11(0)zz z （3）用坐標(biāo)面 xoz 或 yoz 去截；（4）用平面 去截；11xxyy或或yoxz第44頁/共54頁第四十五頁，共55頁。46zxyo

21、橢圓拋物面的圖形(txng)如下：0, 0 qpxyzo0, 0 qp特殊(tsh)地：當(dāng)p=q時(shí)，方程變?yōu)閦pypx 2222旋轉(zhuǎn)(xunzhun)拋物面第45頁/共54頁第四十六頁，共55頁。47（2）雙曲拋物面（馬鞍(m n)面）zqypx 2222( p與q同號(tn ho) )用截痕法討論(toln)：設(shè)0, 0 qpxzyo第46頁/共54頁第四十七頁，共55頁。48（三）雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax xyoz（1）zoxy.第47頁/共54頁第四十八頁，共55頁。by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓(tuyun).時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸

22、平行(pngxng)于x 軸；虛軸平行(pngxng)于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: 第48頁/共54頁第四十九頁，共55頁。虛軸平行(pngxng)于x 軸）by 1)2時(shí), 截痕為0czax)(bby或by 1) 3時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行(pngxng)于z 軸;1yy zxyzxy相交(xingjio)直線: 雙曲線: 0第49頁/共54頁第五十頁，共55頁。51雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyo（2）xoyz222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面注意(zh y)第50頁/共54頁第五十一頁，共55頁。),(22222為正數(shù)baz