第三節(jié)共形映射

1、第三節(jié) 共形映射 解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 共形映射的概念及若干基本定理共形映射的概念及若干基本定理義義解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意一一、復(fù)平面曲線的交角復(fù)平面曲線的交角01.,.).()(,:,)1 . 3(:),()()(,增大的方向增大的方向因此曲線的方向是沿著因此曲線的方向是沿著約定約定下面為方便計下面為方便計有向曲線有向曲線規(guī)定了方向的曲線就是規(guī)定了方向的曲線就是到到向是從向是從這樣就規(guī)定了曲線的方這樣就規(guī)定了曲線的方對應(yīng)于參數(shù)對應(yīng)于參數(shù)終點終點數(shù)數(shù)表示曲線始點對應(yīng)于參表示曲線始點對應(yīng)于參其中其中來表示來表示用連續(xù)函數(shù)用連續(xù)函數(shù)平面上有向連續(xù)曲線可平面

2、上有向連續(xù)曲線可我們知道我們知道tzztttiytxtzz ),()()(,)(),(tiytxtztytx 為為在復(fù)平面上相應(yīng)地表示在復(fù)平面上相應(yīng)地表示平面曲線的切向量為平面曲線的切向量為 ,)()(,)(argtzietztz 另一方面另一方面).77()()()(arg 如圖如圖軸正向之間的夾角軸正向之間的夾角與與量量處的切向處的切向刻劃了在點刻劃了在點xtztztz圖圖7-7)3 . 3(:),()()(:)2 . 3(:),()()(:22221111 ttiytxtzzCttiytxtzzCz平面的兩條有向曲線平面的兩條有向曲線今設(shè)有今設(shè)有的切線的切線在在向轉(zhuǎn)到向轉(zhuǎn)到的切線方向沿逆

3、時針方的切線方向沿逆時針方在在如圖如圖軸正向的夾角為軸正向的夾角為線與線與處的切處的切在在夾角為夾角為軸的軸的與與正向正向處的切線處的切線在在則則交于一點交于一點它們它們020122220211110122110);87)(arg)();(arg)()(),()(zCzCtzoxtzzCtzoxtzzCtztzz 圖圖7-8.0.0)4 . 3()(arg)(arg,0211122的交角的交角在在與與也說成曲線也說成曲線今后把今后把度度是依順時針方向轉(zhuǎn)過角是依順時針方向轉(zhuǎn)過角表示轉(zhuǎn)過的角度實際上表示轉(zhuǎn)過的角度實際上是依逆時針方向的是依逆時針方向的表示轉(zhuǎn)過的角度實際上表示轉(zhuǎn)過的角度實際上轉(zhuǎn)過的角

4、度為轉(zhuǎn)過的角度為方向方向zCCtztz 幾何意義幾何意義解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幅角的解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幅角的02 :),()(:)(),(),(.)1 . 3(, 0)(,)(0000000ttzftwwwCzfwzfwtzzzzCzfDzDzfw條有向光滑曲線條有向光滑曲線平面的一平面的一映射為映射為將曲線將曲線設(shè)設(shè)表示表示它由方程它由方程的有向光滑曲線的有向光滑曲線面內(nèi)一條過面內(nèi)一條過平平為為又設(shè)又設(shè)解析解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè))()()(,000tzzftwt 有有根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則增大的方向增大的方向正向?qū)?yīng)于參數(shù)正向?qū)?yīng)于參數(shù))5 . 3()2)(mod(arg)(arg)(a

5、rg)(00000 tzzftwoutww 軸正向的夾角為軸正向的夾角為處切線與處切線與在在因此曲線因此曲線000)5 . 3()2)(mod(arg)(arg)(arg2)2(mod zftztw 的整數(shù)倍的整數(shù)倍表示等式兩端允許相差表示等式兩端允許相差這里這里圖圖7-9,)(,97000的轉(zhuǎn)動角的轉(zhuǎn)動角映射后在映射后在經(jīng)經(jīng)之間的夾角理解為之間的夾角理解為的切線正向的切線正向在對應(yīng)點在對應(yīng)點射后曲線射后曲線的切線正向與映的切線正向與映在在線線而且將原來的曲而且將原來的曲都相同都相同軸的正向軸的正向軸與軸與軸軸與與軸軸中的中的如果假定圖如果假定圖zzfwCwzCv、yux .,)2(;)()(

6、arg)1(,0)()5 . 3()5 . 3(000轉(zhuǎn)動角的不變性轉(zhuǎn)動角的不變性有有這時我們說這種映射具這時我們說這種映射具的形狀及方向無關(guān)的形狀及方向無關(guān)曲線曲線轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟轉(zhuǎn)動角轉(zhuǎn)動角映射后在映射后在經(jīng)經(jīng)是曲線是曲線時時表明當(dāng)表明當(dāng)或或那么那么CzzfwCzfzf 圖圖7-9圖圖7-10平面的平面的分別映射為分別映射為和和把把又設(shè)又設(shè)點點它們交于一它們交于一和和分別為分別為的方程的方程與與現(xiàn)在假定曲線現(xiàn)在假定曲線wCCzfwtttztzzCC21212211021)(.,),()(),3 . 3()2 . 3( )()(:)()()(:)(:,22221111

7、21twtzfwCftwtzfwCf 即即和和曲線曲線 :t)2(mod)(arg)(arg)(arg)2(mod)(arg)(arg)(arg)5 . 3(0222201111 zftztwzftztw 知知由由)6 . 3()2(mod)(arg)(arg)(arg)(arg11221122 tztztwtw 所以所以方向不方向不兩曲線間夾角的大小和兩曲線間夾角的大小和所以這種映射具有保持所以這種映射具有保持的夾角的夾角之間在之間在和和映射后對應(yīng)的曲線映射后對應(yīng)的曲線經(jīng)過經(jīng)過其大小和方向都等同于其大小和方向都等同于之間的夾角之間的夾角和和曲線曲線的任何兩條的任何兩條相交于相交于表明表明因此

8、因此處的夾角處的夾角在在和和右端是曲線右端是曲線處的夾角處的夾角在在和和上式左端是上式左端是.)()(,:)6 . 3(.,)(00212100210021zfwzfwCCzzCCzfw .,這種性質(zhì)稱為保角性這種性質(zhì)稱為保角性變的性質(zhì)變的性質(zhì)何意義何意義解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的模的幾解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的模的幾03因此因此也是等價無窮小也是等價無窮小與與是等價無窮小是等價無窮小與與時時從而從而所以當(dāng)所以當(dāng)都是光滑的都是光滑的和和因曲線因曲線段弧兩端點之間的弦長段弧兩端點之間的弦長是這是這之間的弧長之間的弧長與與上對應(yīng)點上對應(yīng)點表示曲線表示曲線長長弦弦是這段弧兩端點之間的是這段弧兩端點之間的之間的弧長之間的弧長

9、與與上上曲線曲線表示表示用用的點的點上鄰近上鄰近是在是在下的像下的像它在映射它在映射的點的點上鄰近上鄰近是曲線是曲線又設(shè)又設(shè)即即曲線曲線的的映射為過映射為過的曲線的曲線把過把過映射為映射為把把設(shè)設(shè).,.,)(,).(),(,)(0000000000000000 wwszzwwzzCwwwwzzzzCswwzfwzCzCfzfwwCzwzzfw)7 . 3(limlimlim)(00000000szzwwzzwwzfzzzzzz .)(.,)()(:)7 . 3.(0000在處具有伸縮不變性在處具有伸縮不變性我們把這種性質(zhì)說成我們把這種性質(zhì)說成的形狀及方向無關(guān)的形狀及方向無關(guān)它與曲線它與曲線的伸

10、縮率的伸縮率在在的任何光滑曲線的任何光滑曲線映射后通過映射后通過經(jīng)經(jīng)是是表明表明的伸縮率的伸縮率在在這個極限值稱為曲線這個極限值稱為曲線zfwCzCzzfwzfzC :,有下面的定理有下面的定理綜上所述綜上所述.,)()(arg)()1(:)(, 0)(,)(1000000形狀及方向無關(guān)形狀及方向無關(guān)的的它與曲線它與曲線處的轉(zhuǎn)動角處的轉(zhuǎn)動角映射后在映射后在經(jīng)過經(jīng)過曲線曲線的任意光滑的任意光滑平面過平面過是是轉(zhuǎn)動角的不變性轉(zhuǎn)動角的不變性具有下述性質(zhì)具有下述性質(zhì)在在射射則映則映解析解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定理定理CzzfwCzzzfzzfwzfDzDzf ., )()()()3(.)()()(

11、)2(000000關(guān)關(guān)與曲線的形狀及方向無與曲線的形狀及方向無的伸縮率均為的伸縮率均為在在映射后映射后的任一條曲線經(jīng)的任一條曲線經(jīng)過過伸縮率不變性伸縮率不變性向上保持不變向上保持不變的夾角在大小及方的夾角在大小及方間在間在映射后所得兩條曲線之映射后所得兩條曲線之跟經(jīng)過跟經(jīng)過的兩條曲線之間的夾角的兩條曲線之間的夾角過過保角性保角性zfzzfwzzfwzfwz 基本定理基本定理共形映射的概念及若干共形映射的概念及若干二二、共形映射的概念共形映射的概念01.)(,)(.)(,)(,)(0000內(nèi)的共形映射內(nèi)的共形映射是區(qū)域是區(qū)域則說則說點都是共形映射點都是共形映射的每一的每一在區(qū)域在區(qū)域如果如果是共

12、形映射是共形映射在在稱稱或或是共形的是共形的在在則稱映射則稱映射性和伸縮率不變性性和伸縮率不變性具有保角具有保角且在且在的鄰域內(nèi)有定義的鄰域內(nèi)有定義在在設(shè)設(shè)定義定義DzfwDzfwzzfwzzfwzzzfw .形映照或保角映射形映照或保角映射共形映射有時又稱為共共形映射有時又稱為共.)(, 0)()(.)(,)(arg,)(, 0)(,)(200000000共形映射共形映射內(nèi)的內(nèi)的是是則映射則映射解析且處處有解析且處處有在在如果如果的伸縮率的伸縮率表示這個映射在表示這個映射在轉(zhuǎn)動角轉(zhuǎn)動角的的表示這個映射在表示這個映射在是共形的是共形的在在則映射則映射且且解析解析在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定理定理Dzfw

13、zfDzfwzzfzzfzzfwzfzzfw 的幾何意義的幾何意義下面闡述定理下面闡述定理1)()(,)()()(, 0)(),(,)(221120210122110210000zfwzfwzzCzzCzfwCfCfzzCCzfzfwDzDzfw 和和則則取一點取一點鄰近鄰近在在一點一點取取鄰近鄰近在在映射后的像映射后的像分別是它們經(jīng)分別是它們經(jīng)和和的兩條光滑曲線的兩條光滑曲線平面過平面過是是與與內(nèi)解析內(nèi)解析在在設(shè)設(shè)., )(,)(,)(,0002102102102121021三角形是近似地相似的三角形是近似地相似的所以這兩個小曲邊所以這兩個小曲邊等于等于對應(yīng)邊長度之比近似地對應(yīng)邊長度之比近似

14、地夾這兩個頂角的夾這兩個頂角的處的頂角相等處的頂角相等處的頂角與在處的頂角與在形在形在這兩個曲邊三角這兩個曲邊三角邊三角形邊三角形為頂點的小曲為頂點的小曲和和以以映射后得到映射后得到經(jīng)經(jīng)似似它與三角形近它與三角形近非常接近時非常接近時和和當(dāng)當(dāng)小曲邊三角形小曲邊三角形為頂點的為頂點的和和平面有一個以平面有一個以在在這樣這樣光滑曲線段光滑曲線段的的和和平面上連接平面上連接映射下的像是映射下的像是它在它在和和連接連接用直線段或光滑曲線段用直線段或光滑曲線段且鄰近且鄰近和和分別在分別在zfwzwwwzfwzzzzzzzwwwzfwzzw 圖圖7-11.),127(,是共形映射是共形映射所以它不所以它不

15、圖圖但方向卻變相反了但方向卻變相反了角的大小不變角的大小不變它雖然保持兩曲線間夾它雖然保持兩曲線間夾是關(guān)于實軸的對稱映射是關(guān)于實軸的對稱映射例如例如映射映射是共形是共形二者有一項不滿足就不二者有一項不滿足就不也不變也不變而且方向而且方向不變不變保持兩曲線間夾角大小保持兩曲線間夾角大小僅要求映射要僅要求映射要以上定義的共形映射不以上定義的共形映射不 zw圖圖7-12本定理本定理關(guān)于共形映射的若干基關(guān)于共形映射的若干基02.)(,)()(3也是一區(qū)域也是一區(qū)域的像的像則則為常數(shù)為常數(shù)內(nèi)解析且不恒內(nèi)解析且不恒在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè)保域性定理保域性定理定理定理DfGDDzfw .)()(arg),(,)(,

16、)(400000GDzfwzfzfwGwDzGDzfwwzGDRiemann雙方單值共形映射的為雙方單值共形映射的為把把的共形映射的共形映射則唯一存在滿足條件則唯一存在滿足條件和一實數(shù)和一實數(shù)又若給定又若給定映成映成把把射射存在雙方單值的共形映存在雙方單值的共形映則則一點的單連通區(qū)域一點的單連通區(qū)域平面的兩個邊界均不止平面的兩個邊界均不止和擴充和擴充平面平面分別是擴充分別是擴充和和設(shè)設(shè)映照定理映照定理定理定理 .,000在在這種映射便可能不再存這種映射便可能不再存條件條件而如果希望附加更多的而如果希望附加更多的存在的了存在的了這種共形映射便是唯一這種共形映射便是唯一點的轉(zhuǎn)動角時點的轉(zhuǎn)動角時映射

17、在映射在并規(guī)定并規(guī)定和和對對應(yīng)點對對應(yīng)點不過當(dāng)我們要求給定一不過當(dāng)我們要求給定一但不唯一但不唯一的共形映射是存在的的共形映射是存在的映成映成把把止一點的單連通區(qū)域時止一點的單連通區(qū)域時都是邊界不都是邊界不和和映照定理告訴我們當(dāng)映照定理告訴我們當(dāng)注記注記zwzGDGDRiemann.,的映射的映射圓到圓到再實現(xiàn)上半平面或單位再實現(xiàn)上半平面或單位的映射的映射到上半平面或單位圓到上半平面或單位圓只需實現(xiàn)只需實現(xiàn)的映射的映射到到要實現(xiàn)要實現(xiàn)為標準區(qū)域為標準區(qū)域把上半平面或單位圓作把上半平面或單位圓作在共形映射中在共形映射中GDGD.)(,)(,)(,)(5DDzfwDwDDzDDDzfwD一一共形地映

18、成一一共形地映成把把則則的正向移動的正向移動關(guān)于關(guān)于沿沿時時的左邊的左邊落在落在即移動過程中即移動過程中的正向移動的正向移動關(guān)于關(guān)于沿沿當(dāng)當(dāng)圍成區(qū)域圍成區(qū)域一一地映成一一地映成把把解析解析在在區(qū)域區(qū)域圍成圍成設(shè)簡單可求長封閉曲線設(shè)簡單可求長封閉曲線邊界對應(yīng)原理邊界對應(yīng)原理定理定理 圖圖7-13,137根據(jù)邊界對應(yīng)原理根據(jù)邊界對應(yīng)原理與所圍區(qū)域的配合與所圍區(qū)域的配合注意邊界方向注意邊界方向說明討論共形映射時要說明討論共形映射時要它它圖圖是邊界對應(yīng)原理的示意是邊界對應(yīng)原理的示意圖圖 .,)(),(,)(關(guān)系一致即是所求的關(guān)系一致即是所求的與與方向配合上跟方向配合上跟并在并在所圍區(qū)域所圍區(qū)域由由再由

19、邊界對應(yīng)原理可知再由邊界對應(yīng)原理可知及其方向及其方向映射下的像映射下的像在在只要先求出邊界只要先求出邊界要想求像區(qū)域要想求像區(qū)域給定時給定時解析的函數(shù)解析的函數(shù)及在及在當(dāng)區(qū)域當(dāng)區(qū)域DDDDDzfwDDfDDfDD ?,212)(:12哪一部分縮小哪一部分縮小平面的哪一部分放大平面的哪一部分放大并說明它在并說明它在轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角處的旋處的旋在點在點試求映射試求映射例例zizzzzfw ,4)21(, 22)(iifzzf 解解2)4arg()21(arg)( iifzfw在處的旋轉(zhuǎn)角為在處的旋轉(zhuǎn)角為故故,211, 11212)()(映射是縮小的映射是縮小的時時即即當(dāng)當(dāng)處的伸縮率為處的伸縮率為在在又又

20、zzzzfzzfw.,211, 112映射是放大的映射是放大的時時即即當(dāng)當(dāng) zz.,21122外部放大外部放大內(nèi)部縮小內(nèi)部縮小把圓周把圓周 zzzw.),(),(, 0)(),(),()(:221互相正交互相正交和曲線族和曲線族證明曲線族證明曲線族在全平面解析且在全平面解析且設(shè)設(shè)例例cyxvcyxuzfyxivyxuzf .),(),(,)(,),(,),(,)(21212211也是正交的也是正交的和和它們的原像它們的原像具有保角性具有保角性而而是互相垂直的是互相垂直的和直線和直線直線直線軸的直線軸的直線平面垂直于平面垂直于映成映成曲線曲線平面的平面的把把軸的直線軸的直線平面垂直于平面垂直于映成映成它把曲線它把曲線特別地特別地實現(xiàn)共形映射實現(xiàn)共形映射由條件知由條件知證證cyxvcyxuzfwcvcucvvwcyxvzcuuwcyxuz