電磁學(xué)第一章

1、六、電場線六、電場線定義：定義：在電場中描繪一在電場中描繪一系列的曲線，使曲線上系列的曲線，使曲線上每一點(diǎn)的切線方向都與每一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)處場強(qiáng)該點(diǎn)處場強(qiáng) 的方向一致，的方向一致，這些曲線稱為電場線。這些曲線稱為電場線。EEE dS 通過與通過與 垂直的面元垂直的面元 的電場線數(shù)目的電場線數(shù)目d 與與 的的比值稱為電場線密度。我比值稱為電場線密度。我們規(guī)定電場中某點(diǎn)的場強(qiáng)們規(guī)定電場中某點(diǎn)的場強(qiáng)的大小等于該點(diǎn)的電場線的大小等于該點(diǎn)的電場線密度密度E dS dS dSdE 電場線的疏密程度表示場強(qiáng)大小的分布，其電場線的疏密程度表示場強(qiáng)大小的分布，其上任一點(diǎn)的切線方向就是該點(diǎn)處的場強(qiáng)方向。上任

2、一點(diǎn)的切線方向就是該點(diǎn)處的場強(qiáng)方向。1. 電場線起始于正電荷（或無限遠(yuǎn)處），終止于負(fù)電場線起始于正電荷（或無限遠(yuǎn)處），終止于負(fù)電荷（或無限遠(yuǎn)處），不會在沒有電荷處中斷；電荷（或無限遠(yuǎn)處），不會在沒有電荷處中斷； 2 . 在沒有點(diǎn)電荷的空間，任何兩條電場線不會相交；在沒有點(diǎn)電荷的空間，任何兩條電場線不會相交；3 . 電場線不形成閉合曲線。電場線不形成閉合曲線。靜電場中的電場線性質(zhì)：靜電場中的電場線性質(zhì)：EcEbcaEbEa正電荷正電荷+負(fù)電荷負(fù)電荷點(diǎn)電荷的電場線點(diǎn)電荷的電場線+一對等量異號電荷的電場線一對等量異號電荷的電場線+一對等量正點(diǎn)電荷的電場線一對等量正點(diǎn)電荷的電場線2qq+一對異號不等量

3、點(diǎn)電荷的電場線一對異號不等量點(diǎn)電荷的電場線+帶電平行板電容器的電場線帶電平行板電容器的電場線七、帶電粒子在電場中的運(yùn)動七、帶電粒子在電場中的運(yùn)動1、點(diǎn)電荷在電場中受到的作用力、點(diǎn)電荷在電場中受到的作用力荷荷q所受到的作用力為所受到的作用力為E 設(shè)某點(diǎn)的電場強(qiáng)度為設(shè)某點(diǎn)的電場強(qiáng)度為,則處在該點(diǎn)處的點(diǎn)電則處在該點(diǎn)處的點(diǎn)電EqF 是是q以外的所有其它電荷在以外的所有其它電荷在q所在處的場強(qiáng)所在處的場強(qiáng)E式中式中2、帶電體在電場中所受的力和力矩、帶電體在電場中所受的力和力矩,dqEFd dqEFdF,FdrMd FdrMdM例例5、求電偶極子在均勻電場中受到的力矩、求電偶極子在均勻電場中受到的力矩0

4、EqEqF合力合力dFdFM 力偶矩大小力偶矩大小qEFF 電場力大小電場力大小 sin22lqE sinpE EpM 力偶矩矢量力偶矩矢量 電偶極子在均勻電場中所受的電場合力為零，電偶極子在均勻電場中所受的電場合力為零，沒有平動加速度；但合力矩一般不為零，有角加速沒有平動加速度；但合力矩一般不為零，有角加速度，其轉(zhuǎn)動狀態(tài)將發(fā)生變化。度，其轉(zhuǎn)動狀態(tài)將發(fā)生變化。Eq Eq sin2 ld 力臂力臂 lq q Ed M是平衡位置是平衡位置時時或或當(dāng)當(dāng), 0 ,/, 0 MEp不不穩(wěn)穩(wěn)定定平平衡衡穩(wěn)穩(wěn)定定平平衡衡 , ; , 0 電偶極子將以電偶極子將以 = 0為中心來回振動。為中心來回振動。3、帶

5、電粒子在電場中的運(yùn)動、帶電粒子在電場中的運(yùn)動 電荷在電場中除受到電場力外還可能受到電荷在電場中除受到電場力外還可能受到其它力其它力(如重力等如重力等)的作用，電荷在電場中的宏觀的作用，電荷在電場中的宏觀低速運(yùn)動遵守牛頓運(yùn)動定律。低速運(yùn)動遵守牛頓運(yùn)動定律。 設(shè)點(diǎn)電荷設(shè)點(diǎn)電荷q所在處的場強(qiáng)為所在處的場強(qiáng)為 ，則由，則由 得其所受的電場力為：得其所受的電場力為：EqFE 若若q所受的其它力可以忽略不計，則電荷在所受的其它力可以忽略不計，則電荷在該點(diǎn)處的加速度為：該點(diǎn)處的加速度為： EqF mEqmFa 小小 結(jié)結(jié)rerqqF221041 1. 庫侖定律庫侖定律3. 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q的場強(qiáng)的場強(qiáng)rerq

6、E2041 NEEEEE 3214. 場強(qiáng)疊加原理：場強(qiáng)疊加原理：2.電場強(qiáng)度的定義電場強(qiáng)度的定義0qFE 6. 點(diǎn)電荷在電場中受到的作用力點(diǎn)電荷在電場中受到的作用力EqF 7. 帶電體在電場中所受的力和力矩帶電體在電場中所受的力和力矩,dqEFd dqEFdF,FdrMd FdrMdMdldq )1(dS ,dV ,rrdqEdE 3041 )3(rrdqEd3041 )2( 5. 求電荷連續(xù)分布帶電體的場強(qiáng)的步驟：求電荷連續(xù)分布帶電體的場強(qiáng)的步驟：例例6、內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為R1，外半徑為，外半徑為R2的環(huán)形薄板均勻帶電，的環(huán)形薄板均勻帶電，電荷面密度為電荷面密度為 ，求：中垂線上任一，求：中

7、垂線上任一P點(diǎn)的場強(qiáng)及環(huán)點(diǎn)的場強(qiáng)及環(huán)心處心處O點(diǎn)的場強(qiáng)。點(diǎn)的場強(qiáng)。 解：解：利用圓環(huán)在其軸線上任一點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)的結(jié)果利用圓環(huán)在其軸線上任一點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)的結(jié)果 iRxQxE2/3220)(4 任取半徑為任取半徑為r，寬為，寬為dr的圓環(huán)，的圓環(huán)，其電量其電量 drrdsdq 2 irxdqxEd2/3220)(4 xoR1R2P xrdr 21212/3220)(2RRRRrxrdrxiEdE 該圓環(huán)在該圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為irxdrrx2/3220)( 2 iRxRxx)11(22222120 irxdrrx2/3220)(4 2 E0 E0 若若 0，則則 背離環(huán)面，若背離環(huán)面，

8、若 0，則則 背離平面背離平面E若若 0，則則 背離平面，背離平面，E若若 0，則則 指向平面。指向平面。E 和和 均沿軸線，且均沿軸線，且 和和 方向相反方向相反2E1E1E2E解法二：解法二： 該帶電體相當(dāng)于在無限大均勻帶電平面該帶電體相當(dāng)于在無限大均勻帶電平面上貼一半徑為上貼一半徑為R的均勻帶電圓片的均勻帶電圓片(電荷面密度為電荷面密度為 ） 例例8、兩個無限大均勻帶正電的平行平面，電荷面密兩個無限大均勻帶正電的平行平面，電荷面密度分別為度分別為 1和和 2，且，且 1 2，求兩平面間電場強(qiáng)度，求兩平面間電場強(qiáng)度和兩平面外側(cè)的電場強(qiáng)度。和兩平面外側(cè)的電場強(qiáng)度。 解：兩平面的場強(qiáng)大小解：兩

9、平面的場強(qiáng)大小,2011 E0222 E方向如圖方向如圖 1 2 2+ + + + + + +兩平面間場強(qiáng)大小兩平面間場強(qiáng)大小02012122 EEE,2021 方向向右方向向右E1E1E1E2E2E2EE平面平面1外側(cè)場強(qiáng)大小外側(cè)場強(qiáng)大小02012122 EEE,2021 方向向方向向左左E平面平面2外側(cè)場強(qiáng)大小外側(cè)場強(qiáng)大小02012122 EEE,2021 方向向方向向右右EEE12 2+ + + + + + +1E2EE1E2E2E1E1.4 高斯定理高斯定理一、電場強(qiáng)度一、電場強(qiáng)度(E)通量通量nS ES ES SE SE 1 . 均勻電場，均勻電場，S為平面為平面 通過電場中某一面的

10、電場線數(shù)稱為通過電場中某一面的電場線數(shù)稱為通過該面通過該面的電場強(qiáng)度通量。的電場強(qiáng)度通量。用用 表示表示S與電場強(qiáng)度方向垂直與電場強(qiáng)度方向垂直S 與電場強(qiáng)度方向不垂直與電場強(qiáng)度方向不垂直nS SEcos 定義：面元定義：面元 的的E通量為：通量為：S SEcos nSE SE , nSS 令令的的法法向向單單位位矢矢量量是是面面元元Sn S 叫面元矢量或有向面元。叫面元矢量或有向面元。 即場強(qiáng)的大小即場強(qiáng)的大小 與與 在垂直于場強(qiáng)方向上在垂直于場強(qiáng)方向上的投影面積的投影面積 的乘積，就是面元的乘積，就是面元 的的E通量。通量。S E cosSSS 2 . 電場不均勻，不閉合曲面電場不均勻，不閉

11、合曲面SdEd SSdE SdSEcosS ndS面元面元dS的的E通量：通量：曲面曲面S上的上的E通量：通量：E特例：勻強(qiáng)電場中有限大小平面的電通量特例：勻強(qiáng)電場中有限大小平面的電通量(1)En/SEnS EnESSE SSdE cosESSE SSdE(2)不平行不平行與與En SSdE SSdE3 . 電場不均勻，閉合曲面電場不均勻，閉合曲面規(guī)定：規(guī)定： 是沿著指向曲面外部是沿著指向曲面外部空間的外法線方向單位矢空間的外法線方向單位矢n SSdEE n二、靜電場的高斯定理二、靜電場的高斯定理說明說明: : . 1 定理定理 0)(qSdESiS 為閉合曲面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和；為閉合曲面內(nèi)

12、所有電荷的代數(shù)和； siq 為閉合曲面上的電場強(qiáng)度，是為閉合曲面上的電場強(qiáng)度，是 內(nèi)外所有電荷內(nèi)外所有電荷產(chǎn)生的合場強(qiáng)；產(chǎn)生的合場強(qiáng)；ES 只與只與 面內(nèi)的電荷有關(guān)，與面內(nèi)的電荷有關(guān)，與 面外的電荷無關(guān)。面外的電荷無關(guān)。SSEdSSdEd dSrq2041 2. 證明：證明：qrS. 包圍點(diǎn)電荷包圍點(diǎn)電荷q 的同心球面的同心球面S 的電通量等于的電通量等于q/ 0 。 SSdSrqd20410 q 220441rrq ESd二維空間：圓心角二維空間：圓心角 弧弧度度rl rlo. 包圍點(diǎn)電荷包圍點(diǎn)電荷 的任意閉合曲面的任意閉合曲面 的電通量等的電通量等于于 . qS0 q三維空間：立體角三維空

13、間：立體角2rSdd 2cosrdS 2rrSd 立體角立體角d ：由：由dS的邊緣各的邊緣各點(diǎn)到球心點(diǎn)到球心O的聯(lián)線所構(gòu)成的錐的聯(lián)線所構(gòu)成的錐體的頂角，稱為體的頂角，稱為dS或或dS對對O點(diǎn)點(diǎn)所張的立體角所張的立體角(單位：球面度單位：球面度)。 Sd r donr dSSd r donE dSEdSSdEdcos cos4120dSrq dq04 Sd0 q 0 dd. 不包圍點(diǎn)電荷的任意不包圍點(diǎn)電荷的任意 閉合曲面的電通量為零閉合曲面的電通量為零 Sdq04=4 nE dSSd En0 SSSdEd. 多個點(diǎn)電荷的電通量等于它們單獨(dú)存在時的多個點(diǎn)電荷的電通量等于它們單獨(dú)存在時的電通量的代

14、數(shù)和。電通量的代數(shù)和。設(shè)有設(shè)有n個點(diǎn)電荷：個點(diǎn)電荷： q1, q2, , qm, qm+1, qm+2, , qn則該閉合曲面則該閉合曲面S上的總電通量為：上的總電通量為：它們在空間各自激發(fā)的電場分布分別為：它們在空間各自激發(fā)的電場分布分別為：121mmnEEEEE vvvvvvvvvvLLLL， ， ，而點(diǎn)電荷系統(tǒng)在空間激發(fā)的總電場分布為：而點(diǎn)電荷系統(tǒng)在空間激發(fā)的總電場分布為：121+mmnEEEEEE vvvvvvvvvvvvLLLL1211mnSSSii mE dSEdSEdSvvvvvvvvvvvv乙乙0 , (1, 2, , )iiqim L L，()0 iSSqE dS v vv v (證畢證畢)設(shè)設(shè)q1, q2, , qm在閉合曲面在閉合曲面S內(nèi)，內(nèi)，qm+1, qm+2, , qn在在閉合曲面閉合曲面S外，則根據(jù)前面的結(jié)論得：外，則根據(jù)前面的結(jié)論得：11mniiSi