微分方程與差分方程穩(wěn)定性課件

1、微分方程與差分方程穩(wěn)定性理論微分方程與差分方程穩(wěn)定性理論 在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí), , 我們常常不能直接得出變量我們常常不能直接得出變量之間的關(guān)系之間的關(guān)系, ,但卻能容易得出包含變量導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的關(guān)系但卻能容易得出包含變量導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式式, ,這就是微分方程這就是微分方程. . 在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中, ,又有許多變量是離散變化的又有許多變量是離散變化的, ,如人如人口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價(jià)格等口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價(jià)格等, , 而且離散的運(yùn)算具有而且離散的運(yùn)算具有可操作性可操作性, , 差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁. . 不管是微分方程還是

2、差分方程模型，有時(shí)無(wú)法得不管是微分方程還是差分方程模型，有時(shí)無(wú)法得到其解析解到其解析解( (必要時(shí)必要時(shí), ,可以利用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解可以利用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解),),既既使得到其解析解使得到其解析解, ,尚有未知參數(shù)需要估計(jì)尚有未知參數(shù)需要估計(jì)( (這里可利用這里可利用參數(shù)估計(jì)方法參數(shù)估計(jì)方法). ). 而在實(shí)際問(wèn)題中而在實(shí)際問(wèn)題中, ,討論問(wèn)題的解的變化趨勢(shì)很重要，討論問(wèn)題的解的變化趨勢(shì)很重要，因此，以下只對(duì)其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性加以討論因此，以下只對(duì)其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性加以討論. .7.7 微分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介微分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介 一階方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性一階方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 設(shè)有微分方程

3、(1)右端不含字變量t，稱(chēng)為自治方程. 代數(shù)方程f(x) = 0 (2)的實(shí)根x = x0稱(chēng)為方程(1)的平衡點(diǎn)(或奇點(diǎn)). 它也是(1)的解(奇解).),()(xftx 如果存在某個(gè)鄰域，使方程(1)的解x(t)從這個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)x(0)出發(fā)，滿足 (3)則稱(chēng)平衡點(diǎn)x0是穩(wěn)定的(穩(wěn)定性理論中稱(chēng)漸進(jìn)穩(wěn)定); 否則，稱(chēng)x0是不穩(wěn)定的(不漸進(jìn)穩(wěn)定). 判斷平衡點(diǎn)x0是否穩(wěn)定通常有兩種方法. 利用定義即(3)式稱(chēng)間接法. 不求方程(1)的解x(t)，因而不利用(3)式的方法稱(chēng)直接法. 下面介紹直接法.,)(lim0 xtxt 將f(x)在x0點(diǎn)作Taylor展開(kāi)，只取一次項(xiàng)，方程(1)近似為 (4)

4、(4)稱(chēng)為(1)的近似線性方程，x0也是方程(4)的平衡點(diǎn). 關(guān)于x0點(diǎn)穩(wěn)定性有如下結(jié)論： 若f (x0) 0，則x0對(duì)于方程(4)和(1)都是不穩(wěn)定的. ),)()(00 xxxftx 注: x0點(diǎn)對(duì)方程(4)穩(wěn)定性很容易由定義(3)證明：記f (x0) = a，則(4)的一般解為x(t) = ceat + x0 (5)其中常數(shù)c由初始條件確定，顯然，a 0, q 0，則平衡點(diǎn)穩(wěn)定，則平衡點(diǎn)穩(wěn)定; （12） 若若 p 0, 或或q 0，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定. （13） 微分方程穩(wěn)定性理論將平衡點(diǎn)分為結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)、微分方程穩(wěn)定性理論將平衡點(diǎn)分為結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)、中心等類(lèi)型，完全由特征根

5、或相應(yīng)的取值決定，鞍點(diǎn)、中心等類(lèi)型，完全由特征根或相應(yīng)的取值決定，下表簡(jiǎn)明地給出了這些結(jié)果，表中最后一列指按照定義下表簡(jiǎn)明地給出了這些結(jié)果，表中最后一列指按照定義（8）式得下面關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論。）式得下面關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論。表表1 1 由特征方程決定的平衡點(diǎn)的類(lèi)型和穩(wěn)定性由特征方程決定的平衡點(diǎn)的類(lèi)型和穩(wěn)定性平衡點(diǎn)類(lèi)型平衡點(diǎn)類(lèi)型穩(wěn)定性穩(wěn)定性穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定不穩(wěn)定鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)不穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定退化結(jié)不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)點(diǎn)不穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定不穩(wěn)定中心中心不穩(wěn)定不穩(wěn)定12, 對(duì)一般的非線性方程對(duì)一般的非線

6、性方程(6)，仍可在平衡點(diǎn)作，仍可在平衡點(diǎn)作一次一次Taylor展開(kāi)，得常系數(shù)的近似線性展開(kāi)，得常系數(shù)的近似線性方程來(lái)討論方程來(lái)討論. 非線性方程非線性方程1212000000112111222000000212111222( )(,)()(,)()( )(,)()(,)()xxxxdx tfxxxxfxxxxdtdx tgxxxxgxxxxdt系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣120001212(,)xxPxxxxffAgg特征方程系數(shù)特征方程系數(shù)0012012(,)()xxPxxpfg detqA（17）（18）（19）結(jié)論結(jié)論：若方程（若方程（17）的特征根不為零或?qū)嵅坎粸榱?，）的特征根不為零或?qū)嵅坎粸榱?/p>

7、，則點(diǎn)對(duì)于方程（則點(diǎn)對(duì)于方程（6）的穩(wěn)定性與對(duì)于近似方程（）的穩(wěn)定性與對(duì)于近似方程（17）的穩(wěn)定性相同。對(duì)于方程（的穩(wěn)定性相同。對(duì)于方程（6）的穩(wěn)定性也由準(zhǔn)則）的穩(wěn)定性也由準(zhǔn)則（12）、（）、（13）決定。）決定。 差分方程模型差分方程模型 對(duì)于對(duì)于k階差分方程階差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (20)若有若有xn = x (n), 滿足滿足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,則稱(chēng)則稱(chēng)xn = x (n)是差分方程是差分方程(20的的解解, 包含包含k k個(gè)任意常個(gè)任意常數(shù)的解稱(chēng)為數(shù)的解稱(chēng)為（20）的的通解通解, x0,

8、 x1, , xk-1為已知時(shí)為已知時(shí)稱(chēng)為稱(chēng)為（20）的的初始條件初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱(chēng)為始條件確定后的解稱(chēng)為(20)的的特解特解.k 若若x0, x1, , 已知已知, 則形如則形如xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).1kx 若有常數(shù)若有常數(shù)a是差分方程是差分方程(20)的解的解, 即即F (n; a, a, , a ) = 0,則稱(chēng)則稱(chēng) a是差分方程是差分方程(20)的的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn). 又對(duì)差分方程又對(duì)差分方程(20)的任意由初始條件確定的的任意由

9、初始條件確定的解解 xn= x(n)都有都有xna (n), 則稱(chēng)這個(gè)平衡點(diǎn)則稱(chēng)這個(gè)平衡點(diǎn)a是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的. 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b為常數(shù)為常數(shù), 且且a 0)的通解為的通解為xn=C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡點(diǎn)是其平衡點(diǎn), 由上式知由上式知, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)|a|1時(shí)時(shí), b/(a +1)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn). 對(duì)于一階非線性差分方程對(duì)于一階非線性差分方程xn+1 = f (xn )其平衡點(diǎn)其平衡點(diǎn)x*由代數(shù)方程由代數(shù)方程x = f (x)解給出解給出. 為分析

10、平衡點(diǎn)為分析平衡點(diǎn)x*的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性, 將上述差分方程近將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程似為一階常系數(shù)線性差分方程*),(*)*)(1xfxxxfxnn1|*)(| xf時(shí)時(shí), ,上述近似線性差分方程與上述近似線性差分方程與原原非線性差分方程的非線性差分方程的穩(wěn)定性相同穩(wěn)定性相同. . 因此因此當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , x*是穩(wěn)定的；是穩(wěn)定的；當(dāng)當(dāng)1|*)(| xf時(shí)時(shí), , x*是不穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的. .當(dāng)當(dāng)1|*)(| xf 二階常系數(shù)線性差分方程二階常系數(shù)線性差分方程xn+2 + axn+1 + bxn = r,其中其中a, b, r為常數(shù)為常數(shù). 當(dāng)當(dāng)r = 0時(shí)時(shí), 它有一特解它有一特解x* = 0； 當(dāng)當(dāng)r 0, 且且a + b + 1 0時(shí)時(shí), 它有一特解它有一特解x*=r/( a + b +1). 不管是哪種情形不管是哪種情形, x*是其平衡點(diǎn)是其平衡點(diǎn). 設(shè)其特征方設(shè)其特征方程程 2 + a + b = 0的兩個(gè)根分別為的兩個(gè)根分別為 = 1, = 2. 當(dāng)當(dāng) 1, 2是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性差分性差分方程的通解為方程的通解為xn= x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 當(dāng)當(dāng) 1, 2= 是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性差分性差分方程的通解為方程的通解為xn= x* + (C1 + C2