數(shù)學(xué)建模—微分方程之預(yù)測(cè)模型

1、背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長(zhǎng)概況世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長(zhǎng)控制人口過快增長(zhǎng)1 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出 ( (1798) )常用的計(jì)算公式常用的計(jì)算公式kkrxx)1 (0

2、 x(t) 時(shí)刻時(shí)刻t的人口的人口基本假設(shè)基本假設(shè) : 人口人口(相對(duì)相對(duì))增長(zhǎng)率增長(zhǎng)率 r 是常數(shù)是常數(shù)trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率年增長(zhǎng)率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng)隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 與與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)可用于短期

3、人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不符合不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程1919世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率人口增長(zhǎng)率r r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型( (Logistic模型模型) )人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)假設(shè)) 0,()(srsxrxrr固有增長(zhǎng)率固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí)很小時(shí))xm人

4、口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()(mxxrxrr是是x的減函數(shù)的減函數(shù)mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲線形曲線, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型( (Logistic模型模型) )參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或或 r, xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小

5、二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬）百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計(jì)專家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)用模型計(jì)算用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx實(shí)際為實(shí)際為281.4 (百萬百萬)5 .274)2000(x模型應(yīng)用模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國(guó)預(yù)報(bào)美

6、國(guó)2010年的人口年的人口加入加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用( (如耐用消費(fèi)品的售量如耐用消費(fèi)品的售量) )阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型( (Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。綜合考慮損

7、失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問題問題分析分析問題問題記隊(duì)員人數(shù)記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻時(shí)刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)損失費(fèi)f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小 關(guān)鍵是對(duì)關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問題問題分析分析失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1,

8、 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 畫出時(shí)刻畫出時(shí)刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度速度dB/dt.模型假設(shè)模型假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)）燒毀單位面積損失費(fèi)） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速度）火勢(shì)蔓延速度） 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊(duì)員的平均滅火為隊(duì)員的平均滅火速度）速度） 4）每個(gè)）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用一次性

9、費(fèi)用c3假設(shè)假設(shè)1）的解釋的解釋 rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑半徑 r與與 t 成正比成正比面積面積 B與與 t2成正比，成正比， dB/dt與與 t成正比成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結(jié)果解釋結(jié)果解釋dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù)模型模型應(yīng)用應(yīng)用c1,c2,c3已知已知, t1可估計(jì)可估計(jì), c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果解釋