樣條插值及應用深入研究

1、 學院： 研究生學院 專業(yè)： 機械工程 組號： 39 成績： 報告題目樣條插值及應用深入研究學院： 專業(yè)： 機械工程 組號： 成員：日期： -62-樣條插值及應用研究第一章 對象描述一樣條插值及應用的描述自上世紀60 年代以來, 由于航空造船等工程設計的需要, 發(fā)展了樣條插值技術, 現(xiàn)在樣條函數(shù)越來越流行, 它不僅是現(xiàn)代函數(shù)逼近的一個活躍的分支,而且也是現(xiàn)代數(shù)值計算中一個十分重要的數(shù)學工具。它以各種方式應用到逼近論、數(shù)據(jù)擬合、數(shù)值微分、數(shù)值積分、微分方程和積分方程的數(shù)值求解中。在外形設計乃至計算機輔助設計的許多領域,樣條函數(shù)都被認為是一種有效的數(shù)學工具。設是定義在上的函數(shù)，在上有一個劃分： ,

2、 （1.1）若滿足如下條件：(1) 在每區(qū)間()上是m次多項式；(2)函數(shù),即在上有階連續(xù)導數(shù)則稱是關于劃分的一個次樣條函數(shù)。簡單地說，樣條函數(shù)就是由一些具有某些連續(xù)性條件的子區(qū)間上的分段多項式構成的。若樣條函數(shù)還滿足條件：(3)對給定的某函數(shù)在節(jié)點上的函數(shù)值，且 ， （1.2）則稱是關于劃分的一個次樣條插值函數(shù)。二樣條插值及應用的相關概念1.2.1插值法設函數(shù)在區(qū)間上有定義，且已知在點上的值，若存在一簡單函數(shù)，使得 （1.3）成立，就稱為的插值函數(shù)，點為插值節(jié)點，包括插值節(jié)點的區(qū)間稱為插值區(qū)間，求插值函數(shù)的方法稱為插值法。插值的任務就是由已知的觀測點，為物理量(未知量)建立一個簡單的、連續(xù)的

3、解析模型，以便能根據(jù)該模型推測該物理量在非觀測點處的特性。常用的插值函數(shù)類是代數(shù)多項式，相應插值問題是代數(shù)插值。1.2.2 線性樣條插值函數(shù)若函數(shù)在上連續(xù)，且在每個小區(qū)間上是一次多項式，其中 是給定節(jié)點，則稱是節(jié)點上的一次樣條函數(shù)若在節(jié)點上給定函數(shù)值，并成立 （1.4）則稱為一次樣條插值函數(shù)。1.2.3 二次樣條插值函數(shù)若函數(shù)在上一階導數(shù)連續(xù)，且在每個小區(qū)間上是二次多項式，其中 是給定節(jié)點，則稱是節(jié)點上的二次樣條函數(shù)。若在節(jié)點上給定函數(shù)值，并成立 （1.5）則稱為二次樣條插值函數(shù)。1.2.4三次樣條插值函數(shù)若函數(shù)在上二階導數(shù)連續(xù)，且在每個小區(qū)間上是三次多項式，其中 是給定節(jié)點，則稱是節(jié)點上的三

4、次樣條函數(shù)。若在節(jié)點上給定函數(shù)值，并成立 （1.6）則稱為三次樣條插值函數(shù)。1.2.5 圓弧樣條曲線在平面上給定有序的個型值點，過每個型值點作一圓弧，使分別過相鄰兩個型值點的二圓弧，在垂直且平分此二點連線的直線上相交并相切。按這種方法由圓弧連成的整個曲線是連續(xù)的且它的切線也是連續(xù)變動的，而曲率則分段為常數(shù)。這樣的曲線稱為圓弧樣條曲線。1.2.6 B-樣條曲線在數(shù)學的子學科數(shù)值分析里，B-樣條是樣條曲線一種特殊的表示形式。它是B-樣條基曲線的線性組合。B-樣條是貝茲曲線的一種一般化，可以進一步推廣為非均勻有理B樣條(NURBS)，使得我們能給更多一般的幾何體建造精確的模型。1.2.7 截斷函數(shù)

5、（1.7）三樣條插值及應用的相關理論定理1：設為實數(shù)，滿足則存在唯一的一個三次插值樣條函數(shù)和它的一組插值節(jié)點使得： （1.8） 定理2：關于滿足端點條件的三次樣條函數(shù)問題，在適當?shù)倪x定整數(shù)后，當，滿足式 （1.9）時，那么所要求的三次插值樣條函數(shù)必存在且唯一。定理3：設，為滿足第一種或第二種邊界條件的三次樣條函數(shù)，令，則有估計式 （1.10）其中。這個定理不但給出了三次樣條插值函數(shù)的誤差估計，而且說明當時，及其一階導數(shù)和二階導數(shù)均分別一致收斂于及。定理4：中的個樣條函數(shù) （1.11）在區(qū)間上線性無關，從而可得到的維數(shù)是，即是維線性空間。B-樣條的重要性質性質1：遞推關系 （1.12）。性質2：

6、正性與局部非零性 （1.13）性質3：規(guī)范性 （1.14）四樣條插值及應用國外研究進展樣條函數(shù)是計算數(shù)學以及計算機輔助幾何設計的重要工具。1946年，I.J.Schoenberg著名的關于一元樣條函數(shù)的奠基性論文“Contribution to the problem of application of equidistant data by analytic functions的發(fā)表，建立了一元樣條函數(shù)的理論基礎。自此之后，關于樣條函數(shù)的研究工作逐漸深入。隨著電子計算機技術的不斷進步，樣條函數(shù)的理論究得到迅速的發(fā)展和廣泛的應用。經過數(shù)學工作者的努力，已經形成了較為系統(tǒng)的理論體系。1953年，

7、I.J.Schoenberg與 A Whitney獲得了判斷一元樣條插值節(jié)點組是否為適定節(jié)點組的準則，即著名的Sehoenberg-Whimey定理。1966年，H.B.Curry與I.J.Sehoenberg引入一元B樣條，給出了重要的樣條函數(shù)的B樣條基的表示方法。有了完整的B樣條基理論之后，樣條函數(shù)逼近無論在理論在理論研究還是在應用問題探討方面都更加方便。此后，關于樣條函數(shù)的理論以及應用的研究不斷取得進展。特別地，隨著計算機技術的飛速發(fā)展，人們進一步認識到樣條如同多項式一般的計算方便性以及強于多項式的局部可調的靈活性、易存儲性等諸多性質的重要意義，并把它應用到與科學計算相關的許多領域，比如

8、數(shù)值逼近、微分方程數(shù)值解、計算機輔助幾何設計、小波及有限元等。同時，樣條函數(shù)在各個方面的推廣也為數(shù)學工作者們密切關注并展開積極研究的重要課題。樣條在多元方面的推廣自1960年Birkhoff與Garabedian開始。但是，由于它的復雜性，這方面的研究工作不如一元樣條函數(shù)那樣順利。1962年，C.deBoor研究并證明了一些雙三次內插樣條的存在與唯一性但其方法本質上只是一元樣條函數(shù)的簡單推廣。1975年，美國錫拉丘斯(Syracuse)大學的弗斯普里爾(Versprille)在他的博士論文中首先提出了有理B樣條方法。后來主要有皮格爾(Piegl)與蒂勒(Tiller)分別獨立或聯(lián)名發(fā)表的論文對

9、 NUBB 方法進行深入的研究工作，還有法林(Farin)等人的工作，使這個方法在理論上與實用上逐步趨向成熟。NUBB方法在B樣條方法的基礎上，引入了權因子與分母，看似簡單，卻導致了投影變換、幾何原理與算法、權因子的意義與作用、權因子與參數(shù)化等一系列新概念與性質，不但具有計算穩(wěn)定、靈活性強等優(yōu)點，而且應用廣泛。1984 年，Sederberg 提出了分段代數(shù)樣條在幾何設計中的應用，由于它表示簡單，應用方便，受到了較多的關注和討論。尤其是1990年 Plauszny等研究的一種特殊的平面三次代數(shù)曲線，即A-spline，獲得了很好的應用。1996年，Loe在 B樣條的基礎上提出了線性奇異混合B樣

10、條，即樣條，這種樣條可以根據(jù)控制點的權參數(shù)來調節(jié)曲線形狀，但不能插值給定數(shù)據(jù)點。2003-2004年，Chiew-Lan tai和潘永娟等人通過一個可調的形狀控制參數(shù)構造了一類插值曲線，可對曲線形狀進行調控，但是仍需通過方程組來求解。五樣條插值及應用國內研究現(xiàn)狀1975年，我國學者齊東旭提出多結點樣條插值法，這類樣條函數(shù)通過增加更多的附加結點，在原來的結點上構造高精度樣條逼近格式。這種方法無須求解方程組，插值多項式的階數(shù)不隨節(jié)點的增多而變化，而且具有對稱性和導數(shù)連續(xù)性，以及保證了插值的局部性和有效性。在此基礎上，我國學術界進行了更深入的發(fā)掘和研究，發(fā)表了一系列論文。與此同時，孫家昶提出了圓弧插

11、值樣條。這種樣條曲線，在計算上比其它樣條曲線簡單、準確，在曲線加工方面，機械加工很容易進行。但是在有些情況下圓弧穩(wěn)定性不強、方法不完善，而且不能保證誤差在規(guī)定范圍內，在應用中具有一定局限性。此后，很多文獻給出了進一步理論分析和應用。2001年，張三元等人提出一種新的插值曲線：通過給定的幾何約束構造曲線，這些幾何約束包括控制頂點、兩個端點、兩端點處切線及曲率。這個方法構造的曲線不僅可以減少計算的復雜度，而且還具有易于實現(xiàn)離散數(shù)據(jù)的擬合、操作簡單等優(yōu)點，但是隨著參數(shù)的變化，曲線會產生一些不希望出現(xiàn)的尖點、拐點和結點， 并且在描述復雜圖形時如何實現(xiàn)曲線段光滑拼接問題以及如何保證拼接后曲線原有的凹凸性

12、、單調性等問題，也沒有得到有效解決。目前，樣條曲線的研究已經有比較完善的理論體系， 但是關于代數(shù)曲線的研究還是相當有限的。 尤其是當給定了逼近誤差，在保持原曲線一些重要性質的條件下，如何更好地去插值逼近，這對曲線插值逼近理論以及實際應用有著非常重要的意義。六樣條插值及應用方法有多少？1線性樣條插值2二次樣條插值3三次樣條插值4B-樣條插值第二章 算法研究一樣條插值及應用方法有多少（方法種類）？2.1.1 樣條插值及應用方法有多少？2.1.1.1 線性樣條插值 如果在每個子區(qū)間上的分段多項式都是一次的，我們稱之為線性樣條。線性樣條插值是最簡單的樣條插值。數(shù)據(jù)點使用直線進行連接，結果樣條是一個多邊

13、形。從代數(shù)的角度來看，每個 都是一個如下 （2.1）的線性函數(shù)。 樣條在每個數(shù)據(jù)點都必須連續(xù)，即 （2.2）我們很容易得到 （2.3） （2.4）所以以上論述成立。2.1.1.2 二次樣條插值 （1）對劃分：，構造以為節(jié)點的二次樣條函數(shù) （2.5）滿足： 在每個區(qū)間上是一個二次多項式； ； 。在每個小區(qū)間上是一個二次多項式，有3個系數(shù)，因此要確定 就要確定個待定參數(shù)。而由，得到個方程；由得到個方程；由得到個方程，總共個方程，為了確定一個特定的樣條插值函數(shù)。還需增加1個條件。這個條件通常是在區(qū)間的兩個端點處給出，即邊界條件。邊界條件根據(jù)實際問題的要求來確定，其類型很多。常見的邊界條件類型有： 給

14、定初始端點的一階導數(shù)值； 給定終端點的一階導數(shù)值； 給定初始端點的二階導數(shù)值； 給定終端點的二階導數(shù)值； 若插值函數(shù)為周期函數(shù)時，此時給定。（2）二次樣條插值函數(shù)的構建針對上面5種情況分別討論二次樣條插值問題。給定初始端點的一階導數(shù)值： （2.6）在區(qū)間內，已知，和，由Hermite插值公式可知 （2.7）其中，此時，同樣加上，兩個條件可推導出區(qū)間內的二次插值函數(shù)，以此類推得到區(qū)間內二次樣條插值函數(shù)為 （2.8）而可由（2.9）遞推得到 （2.9）給定終端點的一階導數(shù)值：在區(qū)間內，和由Hermite插值公式可知 （2.10）此時，同時加上，兩個條件可以推導出區(qū)間內的二次插值函數(shù)，以此類推得區(qū)間

15、內二次樣條插值函數(shù)為 （2.11）而可由（2.12）遞推得到 （2.12）給定初始端點的二階導數(shù)值： （2.13）在區(qū)間在區(qū)間內，已知，和，利用待定系數(shù)方法，二次樣條插值公式為 （2.14）此時 （2.15）這就轉化為第一種情況，可由式（2.8）（2.9）得到二次樣條插值函數(shù)。給定終端點的二階導數(shù)值： （2.16）在區(qū)間內，和二次樣條插值公式為 （2.17）此時 （2.18）這就轉化為第二種情況，可由式（2.11）（2.12）得到二次樣條插值函數(shù)。已知，給定： （2.19）由式（2.9）可知：，以此類推，得到：A當n為偶數(shù)時（2.20）若滿足： （2.21）只有 （2.22）成立時有解，并且無

16、限制。任意一個可得到一組樣條插值函數(shù)。若式（2.22）不滿足無解，找不到滿足條件的樣條插值函數(shù)。B當n為奇數(shù)時（2.23）若滿足： （2.24）只有 （2.25）這就轉化為第一種情況， 可由式（2.8）（2.9）得到二次樣條插值函數(shù)。 2.1.1.2 三次樣條插值（1）用一個彈性條，在節(jié)點處將其固定而得曲線。有力學知識可得，這樣的曲線具有二階連續(xù)導數(shù)。分段線性插值導數(shù)不連續(xù)，若每一段用二次多項式來取代直線，則每一段有三個系數(shù)需要確定，除條件外，還可附加一個導數(shù)條件，只要給定，則可保證連續(xù)。但是這一過程實質上是由決定了所有節(jié)點上的導數(shù)值，這在物理上的合理性是有限的，顯然這些并非真實的導數(shù)值。故此

17、我們想到用三次函數(shù)來取代二次函數(shù)，這樣靈活性更大，效果更好。若函數(shù)，且在每個小區(qū)間是三次多項式，其中是給定節(jié)點，則稱是節(jié)點上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點上給定函數(shù)值，并成立，則稱為三次樣條插值函數(shù)。根據(jù)在上二階可導連續(xù)，在節(jié)點處應滿足連續(xù)性條件：，。除此之外通?？稍趨^(qū)間的端點上各加一個條件（稱為邊界條件），來確定。邊界條件可根據(jù)實際情況問題的要求給定。常見的有以下3種：已知兩端的一階導數(shù)值，即， （2.26）已知兩端的二階導數(shù)，即， （2.27）其特殊情況為，稱為自然邊界條件。當是以為周期的周期函數(shù)時，則要求也是周期函數(shù)，這時邊界條件應滿足 （2.28）此時中，這樣確定的樣條函數(shù)稱為周期樣條函數(shù)。

18、（2）三次樣條插值函數(shù)的構建三彎矩插值法構造樣條插值現(xiàn)在推廣在區(qū)間上三次樣條插值函數(shù)的表達式。首先，在節(jié)點上連續(xù)，故可記，并記。由于是2階光滑的分段三次多項式，于是是分段線性連續(xù)函數(shù)，故在區(qū)間上可由與兩點的線性插值函數(shù) （2.29）所決定，其中是待定的參數(shù)為了求出在上的表達式，只需對式 （2.30）在區(qū)間上積分兩次，便得下列關系式，有 （2.31） （2.32）其中，為積分常數(shù)。利用插值條件得出滿足方程 （2.33）從而可確定兩積分常數(shù) （2.34）將積分常數(shù)代入式（2.32）和式（2.31）中，于是可得及在區(qū)間上的表達式 （2.35） （2.36）因此，只要知道，的表達式也就完全確定了。為了

19、確定，必須應用樣條節(jié)點光滑連續(xù)條件 （2.37）中的 （2.38）由式（2.36）可得 （2.39）類似的，可以推導出在上的表達式，從而可以得到 （2.40）因此，根據(jù)連續(xù)性條件（2.38），并經整理可得， （2.41）其中， （2.42）此時，求轉化成求解方程組(1.20)，它是一個含有個未知量的個方程組成的方程組，要惟一確定未知量，還需要利用邊界條件來補充兩個方程。 一階邊界條件情形：由邊界條件 （2.43）及式（2.39）和式（2.40），可導出補充方程 （2.44）這時，即若 （2.45）則可求的的線性方程組： （2.46） 二階邊界條件情形：由記號直接可得 （2.47）并將其代入式（

20、2.41）可得個未知數(shù)的階線性方程組： （2.48）其中， （2.49）其他的元素仍由式（2.42）定義。特別地，當方程組的右端項特別整齊，形式簡單，此時稱為自然三次樣條。 周期邊界條件情形：由得，所以待定參數(shù)由個變?yōu)閭€：又由連續(xù)性條件及式（2.35），整理代入，可得到 （2.50）兩邊同乘以，并采用均差的記號又可得 （2.51）或寫成 （2.52）其中， （2.53）從而由式（2.41）及式（2.52）可組成求的線性方程組有如下形式： （2.54）由上述三種邊界條件得到的方程組（2.46）、（2.48）及（2.54）均稱為三彎矩方程組，其系數(shù)矩陣中的元素已完全確定，并且滿足，故系數(shù)矩陣是嚴格

21、對角占優(yōu)的。三轉角插值法構造樣條插值令為待定的參數(shù)，在材料力學中解釋為細梁在截面處的轉角。由三次Hermite插值公式及余項公式知，在上的余項為0，因此由三次Hermite插值公式推出在上的表達式 （2.55）且滿足另外，要求的2階導數(shù)在內節(jié)點上滿足連續(xù)性條件 （2.56）由式（2.55）得在上的表達式 （2.57）于是，有 （2.58）類似地可以推導出在上的表達式，從而得到 （2.59）根據(jù)2階導數(shù)的連續(xù)性條件（2.56），得 （2.60）沿用前面的記號（2.57），而記號變?yōu)?（2.61）則式（2.60）可以化為緊湊的形式 （2.62）這是關于個待參數(shù)的個方程.為了能惟一確定待定的參數(shù)，需

22、要用邊界條件補充兩個方程。 一階邊界條件情形：由邊界條件 （2.63）可將式（2.62）化為個未知數(shù)的線性方程組 （2.64） 二階邊界條件情形：已知 （2.65）在式（2.58）中令，式（2.59）中令，則有 （2.66）聯(lián)立式（2.66）與式（2.62），則得線性方程組 （2.67）其中， （2.68）其他的仍由式（2.42）定義，而仍由式（2.61）定義。 周期邊界條件情形：由 得，由此減少一個待定參數(shù)。再由連續(xù)性條件及式(1.36)和式(1.37)得 （2.69）或寫成 （2.70）其中， （2.71）從而由式（2.62）及式（2.70）可組成求的方程組有如下形式 （2.72）由上述三

23、種邊界條件得到的方程組（2.64）、（2.67）、（2.72）的每一個方程組中最多出現(xiàn)三個相鄰的轉角，故稱這些方程組為三轉角方程組把這種用轉角作為待定參數(shù)來確定樣條插值函數(shù)的方法稱為三轉角插值法。2.1.1.4 B樣條插值先對劃分加入新點擴展為令，視為參數(shù)，是的函數(shù)，當時，都是關于劃分的樣條函數(shù)記為 （2.73）關于所作的階差商記為。設是節(jié)點序列，令，函數(shù)關于的階差商，稱為第j個m次B-樣條函數(shù)。利用差商的性質其中，得 （2.74）由式定義的個樣條函數(shù)是線性無關的，所以組成的一組基，這樣對于定義于區(qū)間，關于劃分的m次樣條函數(shù)都可以表示為 （2.75）這樣，求劃分上的樣條函數(shù)的問題，就歸結為求表

24、達式中的系數(shù)的問題，求系數(shù)一般歸結為解線性方程組。2.1.2經典的樣條插值及應用方法是什么方法？經典的樣條插值及應用方法是三次樣條函數(shù)插值：分段低次插值雖然解決了高次插值的振蕩現(xiàn)象和數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，使得插值多項式具有一致收斂性，保證了插值函數(shù)整體的連續(xù)性，但在函數(shù)插值節(jié)點處不能很好地保證光滑性要求，這在某些要求光滑性的工程應用中是不能接受的。如飛機的機翼一般要求使用流線形設計，以減少空氣阻力。因此，在分段插值的基礎上，引進了一種新的插值方法樣條插值法。插值法是數(shù)值逼近的重要方法之一 它是根據(jù)給定的自變量值和函數(shù)值求取未知函數(shù)的近似值。早在一千多年前我國科學家就在研究歷法時就用到了線性插值和二次

25、插值。而在實際問題中有許多插值函數(shù)的曲線要求具有 較高的光滑性 在整個曲線中 曲線不但不能有拐點而且曲率也不能有突變。因此對于插值函數(shù)必須二次連續(xù)可微且不變號這就需要用到三次樣條插值。三次樣條插值法，因為它既滿足一般實際問題的要求，而且建立過程也不太復雜在插值區(qū)間上做高次插值多項式，可以保證曲線的光滑性， 它具有良好的收斂性與穩(wěn)定性，又有二階光滑度，當插值節(jié)點逐漸加密時，不但樣條插值函數(shù)收斂于函數(shù)本身，而且其函數(shù)也收斂于函數(shù)的導數(shù)，正因為如此，三次樣條插值函數(shù)在實際中得到廣泛的應用。二樣條插值及應用方法哪個好？（方法比較）？2.2.1樣條插值及應用的優(yōu)缺點分析（1）線性樣條插值優(yōu)點：線性樣條插

26、值是最簡單的樣條插值缺點：總體光滑性較差，線性樣條曲線在節(jié)點處的斜率是不連續(xù)的。（2）二次樣條插值優(yōu)點：二次樣條函數(shù)在連接點處具有一階導數(shù)連續(xù), 計算量明顯比三次樣條插值函數(shù)小。缺點：二次插值算法在低采樣頻率下誤差較大。（3）三次樣條插值優(yōu)點：三次樣條插值，它具有良好的收斂性與穩(wěn)定性，又有二階光滑度，理論上應用上都有重要的意義，在計算機圖形學中有重要的應用。對于三次樣條插值函數(shù)來說，當插值節(jié)點逐漸加密時，可以證明：不但樣條插值函數(shù)收斂于函數(shù)本身，而且其函數(shù)也收斂于函數(shù)的導數(shù)，這一性質是三次樣條插值函數(shù)較普通插值函數(shù)的一個優(yōu)點。缺點：三次樣條函數(shù)分別在每個區(qū)間上對應一個表達式，這無論是在實際應用

27、中還是理論分析，都很不方便；其次，三次樣條插值要利用所有給的點，即使只改變一個結點的函數(shù)值也會是整條樣條曲線都發(fā)生變化；而且三次樣條函數(shù)對方程的要求較高。（4）B-樣條插值優(yōu)點：總是位于所給點確定的多邊形內部，改變一個結點的值只會是一小段曲線發(fā)生改變。其系數(shù)矩陣有較好稀疏性，插值函數(shù)本身甚至其若干階導數(shù)都能收斂到被插值函數(shù)及其相應的若干階導數(shù)，插值函數(shù)比較穩(wěn)定等。正是由于B-樣條插值函數(shù)有這許多良好的性質,因此被廣泛應用于生產生活中的諸多領域，并且得到了較好的效果。2.2.2 最好的方法是？B-樣條插值由于B樣條曲線具有局部性，幾何不變性，連續(xù)性，對稱性，遞推性，凸包性和變差縮減性等重要性質，

28、應用B-樣條函數(shù)作為基函數(shù)構造的插值函數(shù)有其較多的優(yōu)點，例如：B樣條曲線系數(shù)矩陣有較好稀疏性，插值函數(shù)本身甚至其若干階導數(shù)都能收斂到被插值函數(shù)及其相應的若干階導數(shù)，插值函數(shù)比較穩(wěn)定，總是位于所給點確定的多邊形內部，改變一個結點的值只會是一小段曲線發(fā)生改變等。如正是由于B-樣條插值函數(shù)有這許多良好的性質，因此被廣泛應用于生產生活中的諸多領域，并且得到了較好的效果。第三章 算法應用一樣條插值及應用方法怎么用？（程序設計）？3.1.1 一般程序設計三彎矩插值法程序:Clearx,y,a,b,c,n,Mx1=27.7;x2=28;x3=29;x4=30;y1=4.1;y2=4.3;y3=4.1;y4=

29、3.0;B=Tablexi,yi,i,1,4;y1=3.0;y4=-4.0;h1=0.3;h2=1;h3=1;a2=h1/(h1+h2);a3=h2/(h2+h3);a4=1;b1=1;b2=1-a2;b3=1-a3;c1=6/h1(y2-y1)/h1-y1);cj_:=6(yj+1-yj)/hj-(yj-yj-1)/hj-1)/(hj-1+hj);c4=6/h4-1(y4-(y4-y4-1)/h4-1);A=TableSwitchi-j,-1,bj-1,0,2,1,aj+1,_,0,i,1,4,j,1,4;MatrixForm%CC=Tablecj,j,1,4;MatrixForm%Line

30、arSolveA,CC;MatrixForm%;Mj_:=LinearSolveA,CCjTableMj,j,1,4Sj_:=Mj+1(x-xj)3/(6hj)-Mj(x-xj+1)3/(6hj)+(yj+1-Mj+1hj2/6)(x-xj)/hj-(yj-Mjhj2/6)(x-xj+1)/hjTableSj,j,1,3;Expand%;MatrixForm%g1=Plot%1,x,27.7,28g2=Plot%2,x,28,29g3=Plot%3,x,29,30g4=ListPlotB,Prolog-AbsolutePointSize15Showg1,g2,g3,g4,Prolog-Abso

31、lutePointSize153.1.2 舉例驗證例子：已知函數(shù)的數(shù)值表如下： 24637131-1試求在2,6上的三次樣條插值函數(shù) 解：這是第一類邊界條件的問題 ，由公式知 ， 得方程組解得 , 故所求的三次養(yǎng)條差值函數(shù)同理有即：Maths程序如下：Clearx,y,a,b,c,n,Mxi_:=2i;y1=3;y2=7;y3=13;B=Tablexi,yi,i,1,3;y1=1;y3=-1;hj_:=2;aj_:=hj-1/(hj-1+hj);a3=1;b1=1;bj_:=1-aj;c1=6/h1(y2-y1)/h1-y1);cj_:=6(yj+1-yj)/hj-(yj-yj-1)/hj-1

32、)/(hj-1+hj);c3=6/h3-1(y3-(y3-y3-1)/h3-1);A=TableSwitchi-j,-1,bj-1,0,2,1,aj+1,_,0,i,1,3,j,1,3;MatrixForm%CC=Tablecj,j,1,3;MatrixForm%LinearSolveA,CC;MatrixForm%;Mj_:=LinearSolveA,CCjTableMj,j,1,3Sj_:=Mj+1(x-xj)3/(6hj)-Mj(x-xj+1)3/(6hj)+(yj+1-Mj+1hj2/6)(x-xj)/hj-(yj-Mjhj2/6)(x-xj+1)/hjTableSj,j,1,2;Ex

33、pand%;MatrixForm%g1=Plot%1,x,2,4g2=Plot%2,x,4,6g3=ListPlotB,Prolog-AbsolutePointSize15Showg1,g2,g3,Prolog-AbsolutePointSize15二樣條插值及應用方法用哪好？ 3.2.1 樣條插值及應用方法在你所學專業(yè)的應用三次樣條曲線在電極擠壓機型咀上的應用1、電極擠壓機型咀曲線概述電極生產中，電極擠壓成型的質量是影響電極產品質量的重要因素之一，而電極的擠壓成型質量的關鍵又是型咀的形狀。但到底什么樣的形狀的型咀為最佳呢？這已成為國內外炭素行家研究的重要課題之一。電極擠壓機型咀曲線與配方一樣

34、，在國外是保密的，因此，國外對型咀曲線雖做了不少研究，但公布的技術資料卻極少，我國目前通用的型咀還是三十多年來慣用的以一段園弧旋轉而成的喇叭型，近年來有些炭素行家做過一些研討，但研討甚少，本文將以瑞士型咀為例進行分析。瑞士型咀有關資料為了保密僅僅給出曲線的十個坐標點，其值和編號如表1。為敘述方便，設型咀旋轉軸為Z軸，型咀入口端面與縱剖面交線為Y軸,型咀入口端面圓心為坐標原點，設型咀曲線用函數(shù)獷來表示，則函數(shù)應滿足以下條件：(1)在范圍內，函數(shù)應是單值函數(shù)，并且隨Z值的增加而單調下降，即曲線單調下降。(2)從受力的角度出發(fā)，型咀內壁應呈光滑的流線形，即曲線函數(shù)在Z 變化范圍內連續(xù)，函數(shù)的一階導數(shù)

35、和二階導數(shù)連續(xù)。(3)函數(shù)的計算應簡單方便，并便于用計算機進行計算。表1 瑞士電極擠壓機型咀曲線上各點的坐標值02.54.759.415.726.8541.556.4571.383.55655547.6541.2036.153127.525.7524.8524.52、瑞士型咀曲線的擬合方法選擇曲線的擬合方法很多，折線法是最簡單的方法，它是用一段曲線的弦來近似地表示這段曲線，故誤差大，曲線光滑度差，即折線函數(shù)有奇點，其一階導數(shù)在兩段折線接頭處間斷。園弧法也是曲線擬合和外型設計的常用方法之一，我國目前通常使用的型咀就是用單段園弧法設計的。對于瑞士型咀，從其十個坐標點的值來看,它不是單段園弧線。若為

36、園弧線，也只能是多段園弧線相切連接，即前一園弧末點與該園心的連線方程與后一園弧起迄點連線的中垂線方程的解就是后一園弧的園心坐標。擬合園弧少于四段不能擬合，若用九段園弧擬合，整個曲線起伏太大而不可取，用四至八段園弧可以擬合，但以五段園弧擬合效果為最好。樣條函數(shù)法在近年來對飛機、船舶、汽車和火箭等外形設計及火箭彈道選擇計算等問題都有著重要的應用，分段一次函數(shù)也就是前面講的折線函數(shù)，它的光滑度差，但也并非高次函數(shù)就一定好，且高次函數(shù)計算復雜。樣條函數(shù)中以三次樣條函數(shù)應用最為廣泛，三次樣條函數(shù)曲線相當于集中載荷作用下的梁的撓度曲線，在數(shù)學上是二階導數(shù)連續(xù)的分段三次多項式，它具有良好的力學性質，極大模性

37、質。且三次樣條函數(shù)滿足前面所述型咀曲線函數(shù)的三個條件，故用它來作為設計電極擠壓機型咀曲線是很適宜的。此外，用雙曲線、拋物線和星形線及指數(shù)函數(shù)進行擬合，其效果不佳。3、三次樣條函數(shù)法及設計計算步驟用三次樣條函數(shù)法來設計曲線，只要知道曲線起始點和終點的坐標和其斜率以及曲線中若干點的坐標即可。對于擬合曲線，這些條件是已知的或可根據(jù)條件確定。對于設計型咀曲線，這些條件可以根據(jù)擠壓力學和擠壓工藝加以確定。用三次樣條函數(shù)法來設計型咀曲線的步驟如下：設型咀曲線函數(shù)為，把曲線分為N段，令則通過點的三次樣條曲線函數(shù)為式中為未知參數(shù)（或稱為矩)，可由下方程組求得，即式中和為和點的曲線斜率，將上式寫成矩陣式則為4、

38、用三次樣條函數(shù)對瑞士型咀曲線進行擬合計算若設曲線在起點和終點處的切線傾角為0，則和，故和,和。程序設計如下：Mathematics程序：Clearx,y,a,b,c,Mx1,x2,x3,x4,x5=0,2.5,4.75,9.40,15.7;x6,x7,x8,x9,x10=26.85,41.5,56.45,71.3,83.55;y1,y2,y3,y4,y5=65,55,47.65,41.2,36.15;y6,y7,y8,y9,y10=31,27.5,25.75,24.85,24.5;B=Tablexi,yi,i,1,10y1=0;y10=0;h1,h2,h3,h4,h5=2.5,2.25,4.6

39、5,6.3,11.15;h6,h7,h8,h9=14.65,14.95,14.85,12.25;aj_:=hj-1/(hj-1+hj);a10=1;b1=1;bj_:=1-aj;c1=6/h1(y2-y1)/h1-y1);cj_:=6(yj+1-yj)/hj-(yj-yj-1)/hj-1)/(hj-1+hj);c10=6/h10-1(y10-(y10-y10-1)/h10-1);A=TableSwitchi-j,-1,bj-1,0,2,1,aj+1,_,0,i,1,10,j,1,10;MatrixForm%CC=Tablecj,j,1,10;MatrixForm%LinearSolveA,CC

40、;MatrixForm%;Mj_:=LinearSolveA,CCjTableMj,j,1,10Sj_:=Mj+1(x-xj)3/(6hj)-Mj(x-xj+1)3/(6hj)+ (yj+1-Mj+1hj2/6)(x-xj)/hj- (yj-Mjhj2/6)(x-xj+1)/hjTableSj,j,1,9;Expand%;MatrixForm%g1=Plot%1,x,0,2.5g2=Plot%2,x,2.5,4.75g3=Plot%3,x,4.75,9.4g4=Plot%4,x,9.4,15.7g5=Plot%5,x,15.7,26.85g6=Plot%6,x,26.85,41.5g7=Plo

41、t%7,x,41.5,56.45g8=Plot%8,x,56.45,71.3g9=Plot%9,x,71.3,83.55g10=ListPlotB,Prolog-AbsolutePointSize15Showg1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9,g10,Prolog-AbsolutePointSize15運行結果如下：3.2.2 樣條插值及應用方法在你了解的其他領域的應用自60年代以來，由于航空造船等工程設計的需要，發(fā)展了樣條函數(shù)方法，現(xiàn)在樣條函數(shù)越來越流行，它不僅是現(xiàn)代函數(shù)逼近的一個活躍的分支，而且也是現(xiàn)代數(shù)值計算中一個十分重要的數(shù)學工具。它已以各種方式應用到逼近論、數(shù)據(jù)擬合

42、、數(shù)值微分、數(shù)值積分、微分方程和積分方程的數(shù)值求解中。在外形設計乃至計算機輔助設計的許多領域，樣條函數(shù)都被認為是一種有效的數(shù)學工具。樣條曲線的應用范圍非常廣泛，不僅在幾何造型方面，還應用到其它許多方面，如應用B樣條函數(shù)處理力學問題 ，結合小波方法應用于圖像的完整性認證，應用于實驗數(shù)據(jù)的壓縮，應用于一維、二維空間中軌跡的規(guī)劃，在紡織數(shù)碼印花，對來自氣象站的逐月氣候數(shù)據(jù)利用樣條函數(shù)插值擬合等。樣條插值的應用范圍還在不斷的擴大，同時也在不斷的改進，因此對它的研究具有一定的應用價值和推廣價值。第四章 算法展望 （1）三次樣條插值在電弧爐無功補償中的應用電弧爐以其靈活性、可靠性、較快的冶煉速度以及較優(yōu)的

43、冶煉質量等優(yōu)勢在冶金行業(yè)得到了廣泛應用。電弧爐工作時，由于電弧長度急劇變化，引起無功急劇波動，導致電網電壓的閃變和波動；由于各相電弧電壓是獨立變化的，三相電弧各自急劇無規(guī)則變化，故其三相電流是不對稱的，產生負序電流；平均功率因數(shù)低于075，在發(fā)生工作短路時甚至低于01。由于電弧爐的容量大，是用電大戶，導致其所在的電網也存在電壓閃變和波動嚴重、高次諧波多、電網功率因數(shù)低的問題，這不僅影響電爐自身的質量，使電耗、電極消耗增大，更危及發(fā)配電和大量用戶，成為目前電網最主要的公害之一，進行無功補償是解決以上問題的必要手段。無功補償技術在應用中存在的一些問題，采用晶閘管可控電抗器可以減小損耗，降低沖擊電流

44、產生的負面影響，實現(xiàn)節(jié)能的目的。由于晶閘管可控電抗器方程不能直接求解，所以采用函數(shù)逼近的方法建立起三次樣條插值方程，在實際應用中，通常是先得到補償電納值，再根據(jù)該值，通過解方程組得到觸發(fā)角的值。由于式(1)為超越方程，在計算機中求解比較困難，故采用函數(shù)逼近的方法，根據(jù)已知條件，建立相應的函數(shù)。因為晶閘管控制角的計算精度直接影響無功補償?shù)男Ч?，故選擇合理的計算方法就比較重要，文中運用三次樣條插值法來實現(xiàn)晶閘管控制角的計算。在可控電納與控制角的關系式中，如果取則有：三次樣條插值重點是求取彎矩方程， 在節(jié)點上的二階導數(shù)值為，由于在上的二階光滑三次多項式，故在上是線性連續(xù)函數(shù)表示為：其中，對此式兩端在

45、區(qū)間上求積分兩次，并利用，可確定積分常數(shù)，從而得到樣條插值函數(shù)：對求導及條件最終可得到矩陣形式：由以上分析可知，建立樣條插值函數(shù)其最終目的是根據(jù)其函數(shù)值求解對應的變量值，即的值。根據(jù)已知的變量代入函數(shù)中，求解對應的函數(shù)值，得出與理想函數(shù)的誤差。 (2) 應用于凸輪運動分析在采用凸輪機構的位移分析方法取得凸輪機構的從動件離散位移后，可以建立凸輪運動分析的三次樣條差值函數(shù)，然后則可方便地進行從動件速度、加速度以及躍度分析?，F(xiàn)在建立凸輪機構分析的三次樣條插值方程：設（表示凸輪轉角，表示從動件的位移），在處的一階導數(shù)為，根據(jù)三次樣條差值的三個邊界可得如下的方程：其中，（），取得上述參數(shù)后，把位移離散值

46、代入差值函數(shù)方程，即可進行速度分析，把速度代入即可進行加速度分析，把加速度代入即可進行躍度分析。（3）基于三次樣條插值理論的電子式互感器數(shù)據(jù)同步傳統(tǒng)的電磁式互感器輸出連續(xù)的模擬量，各路模擬量之間基本同步，按照統(tǒng)一制造標準設計的互感器傳變角差很小，在實際工程應用中可以不計。電子式互感器在模擬式（電磁式的或者光學的）傳感頭之后，經過濾波、采樣處理、數(shù)據(jù)傳輸、數(shù)據(jù)接收解碼等環(huán)節(jié)后，輸入到合并單元（MU）進行處理和輸出。由于各路模擬量的上述各環(huán)節(jié)延時不一定相同，于是引出了數(shù)據(jù)同步問題。線性插值算法在諧波次數(shù)高的情況下誤差過大和二次插值算法在低采樣頻率下誤差改進不明顯。出了基于三次樣條插值理論的同步算法

47、，并進行了誤差的理論分析和數(shù)值仿真計算。合并單元對每路測量量的每個采樣值打上對應的時間標簽，延時補償后，使各路的數(shù)據(jù)能夠在時間軸上具有可比性。然后，以固定的采樣時間序列為標準，各路數(shù)據(jù)通過三次樣條插值的方法，將數(shù)據(jù)變換到該標準時間序列下的計算值，利用新得到的各路數(shù)據(jù)進行各種保護理論的計算。結果表明該算法在高次諧波同步方面有著更高的精度，特別在合并單元低頻率采樣下，精度遠高于二次插值算法，顯著提高了電壓、電流的幅值和相位精度。三次樣條插值法相對于線性插值法和二次插值法計算量增加，但隨著合并單元硬件處理速度的不斷提高，在合理選取分段三次樣條計算的采樣點數(shù)后，完全可以較快地完成算法，而且極大地提高了測量精度，滿足了新型變電站智能設備采樣值信號接口技術的要求。第五章 學習思考一樣條插值及應用相關的問題（我的思考）1.什么是拉格朗日插值基函數(shù)？它們是如何構造的？有何重要性質？2.什么是牛頓基函數(shù)？它與單項式