數(shù)與極限(三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案)

1、第一章 函數(shù)與極限教學(xué)目的：理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。掌握根本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。掌握極限的性質(zhì)及四那么運(yùn)算法那么。了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)那么，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比擬方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。理解函數(shù)連續(xù)性的概念含左連續(xù)與右連續(xù)，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。10、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性

2、，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性、最大值和最小值定理、介值定理，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念；根本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；極限的概念極限的性質(zhì)及四那么運(yùn)算法那么；兩個(gè)重要極限；無窮小及無窮小的比擬；函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性；區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：分段函數(shù)的建立與性質(zhì)；左極限與右極限概念及應(yīng)用；極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)那么的應(yīng)用；間斷點(diǎn)及其分類；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。 1. 1 映射與函數(shù) 一、集合 1. 集合概念 集合(簡(jiǎn)稱集): 集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. 用A, B, C.等表示. 元素: 組成集合的事物稱為集合的元素. a是集合M的元素表

3、示為aM. 集合的表示: 列舉法: 把集合的全體元素一一列舉出來. 例如A=a, b, c, d, e, f, g. 描述法: 假設(shè)集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成, 那么M可表示為 A=a1, a2, , an, M=x | x具有性質(zhì)P . 例如M=(x, y)| x, y為實(shí)數(shù), x2+y2=1. 幾個(gè)數(shù)集: N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為自然數(shù)集. N=0, 1, 2, , n, . N+=1, 2, , n, . R表示所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為實(shí)數(shù)集. Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為整數(shù)集. Z=, -n, , -2, -1, 0, 1, 2, , n, .

4、Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為有理數(shù)集. 子集: 假設(shè)xA, 那么必有xB, 那么稱A是B的子集, 記為AB(讀作A包含于B)或BA . 如果集合A與集合B互為子集, AB且BA, 那么稱集合A與集合B相等, 記作A=B. 假設(shè)AB且AB, 那么稱A是B的真子集, 記作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合稱為空集, 記作. 規(guī)定空集是任何集合的子集. 2. 集合的運(yùn)算 設(shè)A、B是兩個(gè)集合, 由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集(簡(jiǎn)稱并), 記作AB, 即 AB=x|xA或xB. 設(shè)A、B是兩個(gè)集合, 由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集(簡(jiǎn)

5、稱交), 記作AB, 即 AB=x|xA且xB. 設(shè)A、B是兩個(gè)集合, 由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡(jiǎn)稱差), 記作AB, 即 AB=x|xA且xB. 如果我們研究某個(gè)問題限定在一個(gè)大的集合I中進(jìn)行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此時(shí), 我們稱集合I為全集或根本集. 稱IA為A的余集或補(bǔ)集, 記作AC. 集合運(yùn)算的法那么: 設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合, 那么 (1)交換律AB=BA, AB=BA; (2)結(jié)合律 (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (3)分配律 (AB)C=(AC)(BC), (AB)C=(AC)(BC); (4)對(duì)偶律 (AB

6、)C=AC BC, (AB)C=AC BC. (AB)C=AC BC的證明: x(AB)CxABxA且xBxA C且xBC xAC BC, 所以(AB)C=AC BC. 直積(笛卡兒乘積): 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合, 在集合A中任意取一個(gè)元素x, 在集合B中任意取一個(gè)元素y, 組成一個(gè)有序?qū)?x, y), 把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略? 它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積, 記為AB, 即 AB=(x, y)|xA且yB. 例如, RR=(x, y)| xR且yR 即為xOy面上全體點(diǎn)的集合, RR常記作R2. 3. 區(qū)間和鄰域 有限區(qū)間: 設(shè)ab, 稱數(shù)集x|axb為開區(qū)間, 記為(a,

7、 b), 即 (a, b)=x|axb. 類似地有 a, b = x | a xb 稱為閉區(qū)間, a, b) = x | axb 、(a, b = x | axb 稱為半開區(qū)間. 其中a和b稱為區(qū)間(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端點(diǎn), b-a稱為區(qū)間的長(zhǎng)度. 無限區(qū)間: a, +) = x | ax , (-, b = x | x b , (-, +)=x | | x | +. 區(qū)間在數(shù)軸上的表示: 鄰域: 以點(diǎn)a為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)a的鄰域, 記作U(a). 設(shè)d是一正數(shù), 那么稱開區(qū)間(a-d, a+d)為點(diǎn)a的d鄰域, 記作U(a, d), 即 U(a, d)=x

8、| a-d x a+d =x | | x-a|d. 其中點(diǎn)a稱為鄰域的中心, d 稱為鄰域的半徑. 去心鄰域(a, d): (a, d)=x |0| x-a |1時(shí), y=1+x. 例如 ; ; f(3)=1+3=4. 2. 函數(shù)的幾種特性 (1)函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈, 數(shù)集XD. 如果存在數(shù)K1, 使對(duì)任一xX, 有f(x)K1, 那么稱函數(shù)f(x)在X上有上界, 而稱K1為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界. 圖形特點(diǎn)是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方. 如果存在數(shù)K2, 使對(duì)任一xX, 有f(x) K2, 那么稱函數(shù)f(x)在X上有下界, 而稱K2為函數(shù)f(x)在X上

9、的一個(gè)下界. 圖形特點(diǎn)是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方. 如果存在正數(shù)M, 使對(duì)任一xX, 有| f(x) |M, 那么稱函數(shù)f(x)在X上有界; 如果這樣的M不存在, 那么稱函數(shù)f(x)在X上無界. 圖形特點(diǎn)是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y= -M和y = M的之間. 函數(shù)f(x)無界, 就是說對(duì)任何M, 總存在x1X, 使| f(x) | M. 例如 (1)f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. (2)函數(shù)在開區(qū)間(0, 1)內(nèi)是無上界的. 或者說它在(0, 1)內(nèi)有下界, 無上界. 這是因?yàn)? 對(duì)于任一M1, 總有x1:, 使 , 所以函數(shù)

10、無上界. 函數(shù)在(1, 2)內(nèi)是有界的. (2)函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域?yàn)镈, 區(qū)間I D. 如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2, 當(dāng)x1x2時(shí), 恒有 f(x1) f(x2), 那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的. 如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2, 當(dāng)x1 f(x2), 那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 函數(shù)單調(diào)性舉例: 函數(shù)y = x2在區(qū)間(-, 0上是單調(diào)增加的, 在區(qū)間0, +)上是單調(diào)減少的, 在-, +上不是單調(diào)的. (3)函數(shù)的奇偶性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(即假設(shè)xD, 那么-xD

11、). 如果對(duì)于任一xD, 有f(-x) = f(x), 那么稱f(x)為偶函數(shù). 如果對(duì)于任一xD, 有f(-x) = -f(x), 那么稱f(x)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱, 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 奇偶函數(shù)舉例: y=x2, y=cos x 都是偶函數(shù). y=x3, y=sin x都是奇函數(shù), y=sin x+cos x是非奇非偶函數(shù). (4)函數(shù)的周期性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈. 如果存在一個(gè)正數(shù)l , 使得對(duì)于任一xD有(xl)D, 且 f(x+l) = f(x)那么稱f(x)為周期函數(shù), l 稱為f(x)的周期. 周期函數(shù)的圖形特點(diǎn): 在函數(shù)的定義域內(nèi), 每個(gè)長(zhǎng)度為

12、l 的區(qū)間上, 函數(shù)的圖形有相同的形狀. 3反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù): 設(shè)函數(shù)f : Df(D)是單射, 那么它存在逆映射f -1: f(D)D, 稱此映射f -1為函數(shù)f的反函數(shù). 按此定義, 對(duì)每個(gè)yf(D), 有唯一的xD, 使得f(x)=y, 于是有 f -1(y)=x. 這就是說, 反函數(shù)f -1的對(duì)應(yīng)法那么是完全由函數(shù)f的對(duì)應(yīng)法那么所確定的. 一般地, y=f(x), xD的反函數(shù)記成y=f -1(x), xf(D). 假設(shè)f是定義在D上的單調(diào)函數(shù), 那么f : Df(D)是單射, 于是f的反函數(shù)f -1必定存在, 而且容易證明f -1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù). 相對(duì)于反函數(shù)y=f

13、-1(x)來說, 原來的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù). 把函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f -1(x)的圖形畫在同一坐標(biāo)平面上, 這兩個(gè)圖形關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的. 這是因?yàn)槿绻鸓(a, b)是y=f(x)圖形上的點(diǎn), 那么有b=f(a). 按反函數(shù)的定義, 有a=f -1(b), 故Q(b, a)是y=f -1(x)圖形上的點(diǎn); 反之, 假設(shè)Q(b, a)是y=f -1(x)圖形上的點(diǎn), 那么P(a, b)是y=f(x)圖形上的點(diǎn). 而P(a, b)與Q(b, a)是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的. 復(fù)合函數(shù): 復(fù)合函數(shù)是復(fù)合映射的一種特例, 按照通常函數(shù)的記號(hào), 復(fù)合函數(shù)的概念可如下表述. 設(shè)函數(shù)

14、y=f(u)的定義域?yàn)镈 1, 函數(shù)u=g(x)在D上有定義且g(D) D 1, 那么由下式確定的函數(shù) y=fg(x), xD稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)y=f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù), 它的定義域?yàn)镈, 變量u稱為中間變量. 函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為, 即 ()=fg(x). 與復(fù)合映射一樣, g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的條件是: 是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域D f內(nèi), 即g(D)D f. 否那么, 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定義域?yàn)?1, 1, 在上有定義, 且g(D)-1, 1, 那么g與f可構(gòu)成復(fù)合函數(shù) , xD; 但函數(shù)y=a

15、rcsin u和函數(shù)u=2+x2不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù), 這是因?yàn)閷?duì)任xR, u=2+x2均不在y=arcsin u的定義域-1, 1內(nèi). 多個(gè)函數(shù)的復(fù)合: 4. 函數(shù)的運(yùn)算 設(shè)函數(shù)f(x), g(x)的定義域依次為D 1, D 2, D=D 1D 2, 那么我們可以定義這兩個(gè)函數(shù)的以下運(yùn)算: 和(差)f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 積f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 商: , xDx|g(x)=0. 例 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-l, l), 證明必存在(-l, l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x), 使得 f(x)=g(x)+h(x). 分析

16、 如果f(x)=g(x)+h(x), 那么f(-x)=g(x)-h(x), 于是 , . 證 作, , 那么 f(x)=g(x)+h(x), 且 , . 5. 初等函數(shù) 根本初等函數(shù): 冪函數(shù): y=x m (mR是常數(shù)); 指數(shù)函數(shù): y=a x(a0且a1); 對(duì)數(shù)函數(shù): y=loga x (a0且a1, 特別當(dāng)a=e時(shí), 記為y=ln x); 三角函數(shù): y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x; 反三角函數(shù): y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 初等函數(shù): 由常

17、數(shù)和根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四那么運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱為初等函數(shù). 例如 , y=sin2x, 等都是初等函數(shù). 作業(yè)：P21：413578；5124；122461. 2 數(shù)列的極限 數(shù)列的概念:如果按照某一法那么, 使得對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n 有一個(gè)確定的數(shù)xn , 那么得到一列有次序的數(shù) x1, x2, x3, , xn , 這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列, 記為xn, 其中第n 項(xiàng)xn 叫做數(shù)列的一般項(xiàng). 數(shù)列的例子: : , , , , 2n 2, 4, 8, , 2n , ; : , , , , , ; (-1)n+1 1, -1, 1, , (-1

18、)n+1, ; : 2, , , , , . 它們的一般項(xiàng)依次為 , 2n, , (-1)n+1, . 數(shù)列的幾何意義:數(shù)列xn可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1, x2, x3, , xn , . 數(shù)列與函數(shù):數(shù)列xn可以看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù): xn=f (n), 它的定義域是全體正整數(shù). 數(shù)列的極限: 數(shù)列的極限的通俗定義：對(duì)于數(shù)列xn, 如果當(dāng)n 無限增大時(shí), 數(shù)列的一般項(xiàng)xn無限地接近于某一確定的數(shù)值a, 那么稱常數(shù)a 是數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收斂a . 記為. 如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的. 例如 , ; 而2n, (-1)n+1, 是發(fā)散的.

19、 對(duì)無限接近的刻劃: xn無限接近于a 等價(jià)于|xn-a |無限接近于0, 極限的精確定義: 定義 如果數(shù)列xn與常a 有以下關(guān)系:對(duì)于任意給定的正數(shù) 不管它多么小 總存在正整數(shù)N , 使得對(duì)于n N 時(shí)的一切xn, 不等式 |xn-a |0, 要使|xn-1|0, 要使|xn-0| , 只要, 即. 例3. 設(shè)|q |0, 要使 |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1log|q| +1就可以了, 故可取N=log|q| +1。 收斂數(shù)列的性質(zhì): 定理1(極限的唯一性) 數(shù)列xn不能收斂于兩個(gè)不同的極限. 數(shù)列的有界性: 對(duì)于數(shù)列xn，如果存在著正數(shù)M，使得對(duì)一切xn都滿足不等式

20、|xn|M,那么稱數(shù)列xn是有界的; 如果這樣的正數(shù)M不存在，就說數(shù)列xn是無界的 定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界. 定理3收斂數(shù)列的保號(hào)性) 如果數(shù)列xn收斂于a, 且a0(或a0), 那么存在正整數(shù)N, 當(dāng)nN時(shí), 有xn0(或xn0). 推論 如果數(shù)列xn從某項(xiàng)起有xn0(或xn0), 且數(shù)列xn收斂于a, 那么a0(或a0). 子數(shù)列: 在數(shù)列xn中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序, 這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列. 例如, 數(shù)列xn: 1, -1, 1, -1, , (-1)n+1 的一子數(shù)列為x2n: -1, -1,

21、-1, , (-1)2n+1 定理4(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列xn收斂于a, 那么它的任一子數(shù)列也收斂, 且極限也是a . 討論: 1. 對(duì)于某一正數(shù) 0, 如果存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN時(shí), 有|xn-a| 0. 是否有xn a (n ). 2. 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界. 發(fā)散的數(shù)列是否一定無界? 有界的數(shù)列是否收斂? 3. 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何?發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？4如何判斷數(shù)列 1, -1, 1, -1, (-1)N+1, 是發(fā)散的？作業(yè)：P30：113578 1. 3

22、 函數(shù)的極限 一、函數(shù)極限的定義 函數(shù)的自變量有幾種不同的變化趨勢(shì) x無限接近x0 xx0 x從x0的左側(cè)(即小于x0)無限接近x0 xx0- x從x0的右側(cè)(即大于x0)無限接近x0 xx0+ x的絕對(duì)值|x|無限增大 x x小于零且絕對(duì)值|x|無限增大 x x大于零且絕對(duì)值|x|無限增大 x 1自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限 如果當(dāng)x無限接近于x0 , 函數(shù)f(x)的值無限接近于常數(shù)A, 那么稱當(dāng)x趨于x0 時(shí), f(x)以A為極限. 記作f(x)A或f(x)A(當(dāng)x). 分析: 在xx0的過程中, f(x)無限接近于A就是|f(x)-A|能任意小, 或者說, 在x與x0接近到一定程度(比方

23、|x-x0|d, d為某一正數(shù))時(shí), |f(x)-A|可以小于任意給定的(小的)正數(shù)e即f(x)-A|e. 反之, 對(duì)于任意給定的正數(shù)e , 如果x與x0接近到一定程度(比方|x-x0|d, d為某一正數(shù))就有|f(x)-A|e , 那么能保證當(dāng)x x0時(shí), f(x)無限接近于A. 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義. 如果存在常數(shù)A 對(duì)于任意給定的正數(shù)e (不管它多么小), 總存在正數(shù)d, 使得當(dāng)x滿足不等式00, $d0, x: x0-dxx0, 有|f(x)-A|0, $d0, x: x0 xx0+d , 有|f(x)-A|X時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f

24、(x)-A|0, 要使|f(x)-A|0和d, 使得當(dāng)0|x-x0|d時(shí), 有|f(x)|M. 證明 因?yàn)閒(x)A(xx0), 所以對(duì)于 1 0 當(dāng)0|x-x0|d時(shí), 有|f(x)A| 1 于是 |f(x)|f(x)AA|f(x)A|A|1|A| 這就證明了在x0的去心鄰域x| 0|x-x0|0(或A0, 使當(dāng)0|x-x0|0(或f(x)0). 證明就A0的情形證明 因?yàn)?所以對(duì)于, d0, 當(dāng)0|x-x0|d時(shí), 有0 定理3 如果f(x)A(xx0)(A0), 那么存在點(diǎn)x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi), 有. 推論 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)0(或f(x)0), 而且f(x)

25、A(xx0), 那么A0(或A0). 證明: 設(shè)f(x)0. 假設(shè)上述論斷不成立, 即設(shè)A0, 那么由定理1就有x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi) f(x)0, 這與f(x)0的假定矛盾. 所以A0. 定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) 如果當(dāng)xx0時(shí)f(x)的極限存在, xn為f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列, 且滿足xn x0(nN+), 那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列f(x n)必收斂, 且 作業(yè)：P37：2；4；7 1. 4 無窮小與無窮大 一、無窮小 如果函數(shù)f(x)當(dāng)xx0(或x)時(shí)的極限為零, 那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)xx0(或x)時(shí)的無窮小. 特別地 以零為極限的數(shù)列xn稱為n時(shí)的無窮

26、小 例如, 因?yàn)? 所以函數(shù)為當(dāng)x時(shí)的無窮小. 因?yàn)? 所以函數(shù)為x-1當(dāng)x1時(shí)的無窮小. 因?yàn)? 所以數(shù)列為當(dāng)n時(shí)的無窮小. 討論: 很小很小的數(shù)是否是無窮?。?是否為無窮??？ 提示 無窮小是這樣的函數(shù) 在xx0(或x)的過程中 極限為零 很小很小的數(shù)只要它不是零 作為常數(shù)函數(shù)在自變量的任何變化過程中 其極限就是這個(gè)常數(shù)本身 不會(huì)為零 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系: 定理1 在自變量的同一變化過程xx0(或x)中, 函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+a 其中a是無窮小. 證明: 設(shè), 0 , 0 使當(dāng)0|x-x0|d時(shí), 有|f(x)-A| . 令a=f(x)-A, 那么a是xx

27、0時(shí)的無窮小, 且f(x)=A+a . 這就證明了f(x)等于它的極限A與一個(gè)無窮小a之和. 反之, 設(shè)f(x)=A+a , 其中A 是常數(shù), a是xx0時(shí)的無窮小, 于是|f(x)-A|=|a|. 因a是xx0時(shí)的無窮小, 0 , 0 使當(dāng)0|x-x0|d, 有|a|0, 當(dāng)nN 1時(shí), 有|y na| ; 又N 20, 當(dāng)nN 2時(shí), 有|z na|N 時(shí), 有|y na| , |z na|同時(shí)成立, 即ayna , az nN 時(shí), 有aynx nz na , 即 |x na| . 這就證明了. 準(zhǔn)那么I 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足以下條件:OCADB1x (1) g(x)

28、f(x)h(x); (2) lim g(x)A, lim h(x)A 那么lim f(x)存在, 且lim f(x)A. 注 如果上述極限過程是xx0 要求函數(shù)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義 上述極限過程是x 要求函數(shù)當(dāng)|x|M時(shí)有定義 準(zhǔn)那么I 及準(zhǔn)那么I 稱為夾逼準(zhǔn)那么. 下面根據(jù)準(zhǔn)那么I證明第一個(gè)重要極限: . 證明 首先注意到, 函數(shù)對(duì)于一切x0都有定義. 參看附圖: 圖中的圓為單位圓, BCOA, DAOA. 圓心角AOBx (0 x). 顯然 sin xCB, x, tan xAD. 因?yàn)?SAOBS扇形AOBSAOD , 所以sin xxtan x, 即 sin xxtan x.

29、不等號(hào)各邊都除以sin x, 就有, 或 . 注意此不等式當(dāng)x0時(shí)也成立. 而, 根據(jù)準(zhǔn)那么I . 例1. 求. 解 . 例2. 求. 解 . 準(zhǔn)那么II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 如果數(shù)列x n滿足條件x 1x 2x 3 x nx n1 ,就稱數(shù)列x n是單調(diào)增加的; 如果數(shù)列x n滿足條件x 1x 2x 3 x nx n1 ,就稱數(shù)列x n是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 如果數(shù)列x n滿足條件x nx n1 nN 在第三節(jié)中曾證明: 收斂的數(shù)列一定有界. 但那時(shí)也曾指出: 有界的數(shù)列不一定收斂. 現(xiàn)在準(zhǔn)那么II說明: 如果數(shù)列不僅有界, 并且是單調(diào)的, 那么這數(shù)列的極

30、限必定存在, 也就是這數(shù)列一定收斂. 準(zhǔn)那么II的幾何解釋: 單調(diào)增加數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng) 或者無限向右移動(dòng) 或者無限趨近于某一定點(diǎn)A 而對(duì)有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生 根據(jù)準(zhǔn)那么II, 可以證明極限存在. 設(shè) 現(xiàn)證明數(shù)列xn是單調(diào)有界的. 按牛頓二項(xiàng)公式 有 比擬x n x n1的展開式 可以看出除前兩項(xiàng)外 x n的每一項(xiàng)都小于x n1的對(duì)應(yīng)項(xiàng) 并且x n1還多了最后一項(xiàng) 其值大于0 因此 x n x n1 這就是說數(shù)列xn是單調(diào)有界的. 這個(gè)數(shù)列同時(shí)還是有界的 因?yàn)閤n的展開式中各項(xiàng)括號(hào)內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1代替 得 根據(jù)準(zhǔn)那么II, 數(shù)列xn必有極限. 這個(gè)極限我們用e 來表示. 即

31、. 我們還可以證明. e是個(gè)無理數(shù), 它的值是e2. . 指數(shù)函數(shù)ye x 以及對(duì)數(shù)函數(shù)yln x 中的底e 就是這個(gè)常數(shù). 在極限中, 只要(x)是無窮小, 就有. 這是因?yàn)? 令, 那么u , 于是. , (x)0). 例3. 求. 解 令tx, 那么x 時(shí), t . 于是 . 作業(yè)：P56：1135；213；423 1. 7 無窮小的比擬1.定義：1如果，就說是比高階的無窮小，記作；2如果，就說是比低階的無窮小，3如果，就說是比同階的無窮小，4如果，就說是關(guān)于的階的無窮小，5如果，就說與是等價(jià)的無窮小，記作例1.證明：當(dāng)時(shí)，2.定理1.與是等價(jià)無窮小的充分必要條件為例2.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)

32、時(shí)有，定理2 設(shè)，且存在，那么例3求，例4求，例5求作業(yè)：P59：3；41. 8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 一、函數(shù)的連續(xù)性 變量的增量: 設(shè)變量u從它的一個(gè)初值u1變到終值u2, 終值與初值的差u2u1就叫做變量u的增量, 記作u , 即u u2u1. 設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)是有定義的. 當(dāng)自變量x 在這鄰域內(nèi)從x0變到x0 x時(shí), 函數(shù)y相應(yīng)地從f(x0)變到f(x0 x), 因此函數(shù)y的對(duì)應(yīng)增量為y f(x0 x) f(x0). 函數(shù)連續(xù)的定義 設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0 的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 如果當(dāng)自變量的增量x xx0 趨于零時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量y f(x0 x) f(

33、x0 )也趨于零, 即 或,那么就稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0 處連續(xù). 注 設(shè)xx0+x, 那么當(dāng)x0時(shí), xx0, 因此 . 函數(shù)連續(xù)的等價(jià)定義2:設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 如果對(duì)于任意給定義的正數(shù) , 總存在著正數(shù) , 使得對(duì)于適合不等式|xx0| 的一切x, 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)f(x0)| , 那么就稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù). 左右連續(xù)性: 如果, 那么稱yf(x)在點(diǎn)處左連續(xù). 如果, 那么稱yf(x)在點(diǎn)處右連續(xù). 左右連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系: 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)且右連續(xù). 函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性: 在

34、區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). 如果區(qū)間包括端點(diǎn), 那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù), 在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù). 連續(xù)函數(shù)舉例: 1. 如果f(x)是多項(xiàng)式函數(shù), 那么函數(shù)f(x)在區(qū)間( )內(nèi)是連續(xù)的. 這是因?yàn)? f(x)在( )內(nèi)任意一點(diǎn)x0處有定義, 且 2. 函數(shù)在區(qū)間0, )內(nèi)是連續(xù)的. 3. 函數(shù)ysin x 在區(qū)間( )內(nèi)是連續(xù)的. 證明 設(shè)x為區(qū)間( )內(nèi)任意一點(diǎn). 那么有 ysin(xx)sin x, 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí),y是無窮小與有界函數(shù)的乘積,所以.這就證明了函數(shù)ysin x在區(qū)間( )內(nèi)任意一點(diǎn)x都是連續(xù)的 4. 函數(shù)yc

35、os x 在區(qū)間( )內(nèi)是連續(xù)的. 二、函數(shù)的間斷點(diǎn) 間斷定義: 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義. 在此前提下, 如果函數(shù)f(x)有以下三種情形之一: (1)在x0沒有定義; (2)雖然在x0有定義, 但f(x)不存在; (3)雖然在x0有定義且f(x)存在, 但f(x)f(x0);那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0為不連續(xù), 而點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn). 例1. 正切函數(shù)ytan x在處沒有定義, 所以點(diǎn)是函數(shù)tan x的間斷點(diǎn). 因?yàn)? 故稱為函數(shù)tan x的無窮間斷點(diǎn). 例2. 函數(shù)在點(diǎn)x0沒有定義, 所以點(diǎn)x0是函數(shù)的間斷點(diǎn). 當(dāng)x0時(shí), 函數(shù)值在1與1之間變動(dòng)無限屢

36、次, 所以點(diǎn)x0稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn). 例3. 函數(shù)在x1沒有定義, 所以點(diǎn)x1是函數(shù)的間斷點(diǎn). 因?yàn)? 如果補(bǔ)充定義: 令x1時(shí)y2, 那么所給函數(shù)在x1成為連續(xù). 所以x1稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn). 例4. 設(shè)函數(shù). 因?yàn)? , 所以x1是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn). 如果改變函數(shù)f(x)在x1處的定義:令f(1)1, 那么函數(shù)f(x)在x1 成為連續(xù), 所以x1也稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn). 例5. 設(shè)函數(shù). 因?yàn)? , 所以極限不存在, x=0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn). 因函數(shù)f(x)的圖形在x0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象, 我們稱x0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn). 間斷點(diǎn)的分類: 通常把間斷點(diǎn)分成兩類:如果x0

37、是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn), 但左極限f(x00)及右極限f(x00)都存在, 那么x0稱為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn). 不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn), 稱為第二類間斷點(diǎn). 在第一類間斷點(diǎn)中, 左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn), 不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn). 無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二間斷點(diǎn). 作業(yè)：P64：314；4 1.9 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性 定理1 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 那么函數(shù) f(x)g(x), f(x)g(x),(當(dāng)時(shí))在點(diǎn)x0也連續(xù). f(x)g(x)連續(xù)性的證明: 因?yàn)閒(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 所以它們?cè)邳c(diǎn)x

38、0有定義, 從而f(x)g(x)在點(diǎn)x0也有定義, 再由連續(xù)性和極限運(yùn)算法那么, 有. 根據(jù)連續(xù)性的定義, f(x)g(x)在點(diǎn)x0連續(xù). 例1. sin x 和cos x 都在區(qū)間(-, +)內(nèi)連續(xù),故由定理3知tan x 和cot x 在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的. 三角函數(shù)sin x, cos x, sec x, csc x, tan x, cot x在其有定義的區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. 二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 定理2 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix 上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù), 那么它的反函數(shù)x=f 1(y)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy =y|y=f(x),xIx上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù). 證

39、明略. 例2. 由于y=sin x在區(qū)間上單調(diào)增加且連續(xù), 所以它的反函數(shù)y=arcsin x 在區(qū)間-1, 1上也是單調(diào)增加且連續(xù)的. 同樣,y=arccos x 在區(qū)間-1, 1上也是單調(diào)減少且連續(xù); y=arctan x 在區(qū)間(-, +)內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù);y=arccot x 在區(qū)間(-, +)內(nèi)單調(diào)減少且連續(xù). 總之, 反三角函數(shù)arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的. 定理3 設(shè)函數(shù)yfg(x)由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成 假設(shè) 而函數(shù)yf(u)在連續(xù) 那么 簡(jiǎn)要證明 要證 0 0 當(dāng)0|xx0| 時(shí) 有|fg(

40、x)f(u0)| 因?yàn)閒(u)在連續(xù) 所以 0 0 當(dāng)|uu0| 時(shí) 有|f(u)f(u0)| 又g(x)u0(xx0), 所以對(duì)上述0 0 當(dāng)0|xx0| 時(shí) 有|g(x)u0| 從而 |fg(x)f(u0)| (2)定理的結(jié)論也可寫成 求復(fù)合函數(shù)fg(x)的極限時(shí), 函數(shù)符號(hào)f 與極限號(hào)可以交換次序. 說明,在定理3的條件下, 如果作代換u=g(x),那么求就轉(zhuǎn)化為求, 這里. 把定理5 中的xx0換成x, 可得類似的定理. 例3. 求. 解 . 提示: 是由與復(fù)合而成的. , 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù) g(x0) 定理4 設(shè)函數(shù)yfg(x)由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成 U(x0)Df o

41、g 假設(shè)函數(shù)ug(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u0g(x0)連續(xù), 那么復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0也連續(xù). 證明: 因?yàn)?x)在點(diǎn)x0連續(xù), 所以(x)=(x0)=u0.又y=f(u)在點(diǎn)u=u0連續(xù), 所以 f(x)=f(u0)=f(x0).這就證明了復(fù)合函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù). 例4. 討論函數(shù)的連續(xù)性. 解: 函數(shù)是由y=sin u及復(fù)合而成的. sin u當(dāng)-u+時(shí)是連續(xù)的, 當(dāng)-x0和0 x0, a 1)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都有定義,且在區(qū)間(-, +)內(nèi)是單調(diào)的和連續(xù)的, 它的值域?yàn)?0, +). 冪函數(shù)y=x 的定義域隨的值而異, 但無論為何值, 在區(qū)間(0, +)內(nèi)冪

42、函數(shù)總是有定義的.可以證明, 在區(qū)間(0, +)內(nèi)冪函數(shù)是連續(xù)的. 事實(shí)上, 設(shè)x0, 那么y=x=, 因此, 冪函數(shù)x可看作是由y=au, u=logax 復(fù)合而成的, 由此, 根據(jù)定理6, 它在(0, +)內(nèi)是連續(xù)的.如果對(duì)于取各種不同值加以分別討論, 可以證明冪函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的. 結(jié)論: 根本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的. 最后, 根據(jù)初等函數(shù)的定義, 由根本初等函數(shù)的連續(xù)性以及本節(jié)有關(guān)定理可得以下重要結(jié)論:一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. 所謂定義區(qū)間, 就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. 初等函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應(yīng)用: 如果f(x)是初等函數(shù), 且x0是f(x)

43、的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn),那么f(x)=f(x0). 例5 求 解 初等函數(shù)f(x)=在點(diǎn)是有定義的, 所以 . 例6 求 解 初等函數(shù)f(x)=ln sin x在點(diǎn)是有定義的, 所以 . 例7. 求. 解: . 例8. 求. 解: . 例9. 求. 解: 令a x -1=t, 那么x=log a (1+t), x 0時(shí)t 0, 于是 =.作業(yè)：P69：323457；4245；6 1. 10 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、有界性與最大值與最小值 最大值與最小值: 對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x), 如果有x0I, 使得對(duì)于任一xI都有f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 ), 那么稱f(x0 )是

44、函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值最小值. 例如, 函數(shù)f(x)1sin x在區(qū)間0, 2上有最大值2和最小值0. 又如, 函數(shù)f(x)sgn x 在區(qū)間(, )內(nèi)有最大值 1和最小值1. 在開區(qū)間(0, )內(nèi), sgn x的最大值和最小值都是1. 但函數(shù)f(x)x在開區(qū)間(a, b)內(nèi)既無最大值又無最小值. 定理1最大值和最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值. 定理1說明, 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 那么至少有一點(diǎn)1a, b, 使f(1)是f(x)在a, b上的最大值, 又至少有一點(diǎn) 2a, b, 使f( 2)是f(x)在a, b上的最小值. 注意

45、: 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù), 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn), 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值. 例: 在開區(qū)間(a, b) 考察函數(shù)yx. 又如, 如下圖的函數(shù)在閉區(qū)間0, 2上無最大值和最小值. 定理2有界性定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界. 二、零點(diǎn)定理與介值定理 零點(diǎn): 如果x0 使f(x0 )0, 那么x0 稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn). 定理3零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 且f(a)與f(b)異號(hào), 那么在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使f()0. 定理4介值定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)A及f(b)B

46、,那么, 對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C, 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn) , 使得f()C . 定理4介值定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 且f(a)f(b), 那么, 對(duì)于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C, 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn) , 使得f()C . 證 設(shè)(x)f(x)C, 那么(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 且(a)AC與(b)BC異號(hào). 根據(jù)零點(diǎn)定理, 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn) 使得()0 (ab). 但()f()C, 因此由上式即得f()C (a0, f(1)20. 根據(jù)零點(diǎn)定理, 在(0, 1)內(nèi)至少有一點(diǎn) , 使得f()0, 即 34 210

47、(01). 這等式說明方程x 34x 210在區(qū)間0, 1內(nèi)至少有一個(gè)根是 . 作業(yè)：P74：1，2，5 薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁

48、膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁

49、膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂

50、芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀

51、節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀

52、艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁

53、莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿

54、莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀

55、蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀

56、葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈

57、蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿

58、膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿

59、腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇

60、膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈芄薁螃肇莆螆蠆肆蒈蕿羈膅膈莂襖膄芀薇螀膄蒃莀螆膃膂蚆螞膂芄葿羀膁莇蚄袆膀葿蕆螂腿腿螞蚈羋芁蒅羇羋莃蟻袃芇薆蒃衿芆芅蝿螅袂莈薂蟻袂蒀螇羀袁膀薀袆袀節(jié)螅螁罿莄薈蚇羈蕆莁羆羇膆薇羂羆莈葿袈羆蒁蚅螄羅膀蒈蝕羄芃蚃罿羃蒞蒆裊肂蕆蟻螁肁膇蒄蚇肀艿蝕蚃肀蒂薃羈聿膁螈袇肈