《工程力學(xué)》課件第4章

1、第4章 平面一般力系4.1 力的平移定理4.2 平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化4.3 簡化結(jié)果分析4.4 平面一般力系的平衡條件及平衡方程4.5 物體系統(tǒng)的平衡4.6 考慮摩擦?xí)r的平衡問題14.1 力的平移定理力的平移定理：作用于剛體上的力,可以平行地移動(dòng)到剛體上任一指定點(diǎn)，為使該力對剛體的作用效果不變，必須同時(shí)附加一力偶,其力偶矩等于原力對該指定點(diǎn)的力矩。24.1 力的平移定理力的平移定理的逆定理一個(gè)力平移的結(jié)果可得到同平面的一個(gè)力和一個(gè)力偶。反之同平面的一個(gè)力F和一個(gè)力偶矩為M的力偶也一定能合成為一個(gè)大小和方向與力F相同的力。 其作用點(diǎn)到力作用線的距離為34.2 平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)

2、簡化 設(shè)在剛體上作用一平面一般力系F1 ,F2 ,Fn各力作用點(diǎn)分別為 A1 , A2 , An 如圖所示。在平面上任選一點(diǎn)O為簡化中心。4原力系轉(zhuǎn)化為作用于O點(diǎn)的一個(gè)平面匯交力系F1 , F2 ， Fn 以及相應(yīng)的一個(gè)力偶矩分別為M1, M2, Mn的附加平面力偶系。根據(jù)力的平移定理,將各力平移到簡化中心O。4.2 平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化5F1= F1 , F2= F2 ,Fn= FnM1= Mo(F1), M2= Mo(F2),Mn= Mo(Fn)其中：4.2 平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化6 一般情況下平面匯交力系 F1, F2, Fn 可合成為作用于O點(diǎn)的一個(gè)力,其力矢量R稱為

3、原力系的主矢。FR = Fi = Fi4.2 平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化74.2 平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化一般情況下附加平面力偶系可合成一個(gè)力偶,其力偶矩 Mo 稱為原力系對于簡化中心O的主矩。Mo= Mi= Mo(Fi) 8平面一般力系向其作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，一般可以得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力作用線過簡化中心，大小和方向等于該力系的主矢；這個(gè)力偶的力偶矩等于該力系對簡化中心的主矩。結(jié)論4.2 平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化 力系的主矢 FR只是原力系中各力的矢量和,所以它的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān) 。 力系對于簡化中心的主矩Mo ,一般與簡化中心的位置有關(guān)。9主矢的計(jì)算:M

4、o = Mo(Fi) F/Rx = F/xi = FxiF/Ry = F/yi = Fyi主矩的計(jì)算:4.2 平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化10 固定端約束:既能限制物體移動(dòng)又能限制物體轉(zhuǎn)動(dòng)的約束 當(dāng)被固定端約束的物體所受的主動(dòng)力是平面一般力系時(shí)， 物體所受的約束反力也一定形成一個(gè)與主動(dòng)力有關(guān)的 平面一般力系。4.2 平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化114.3 簡化結(jié)果分析(1) FR 0 , Mo = 0：FR = FioFR MOoFR原力系簡化為一個(gè)作用于簡化中心O的合力 FR 12原力系簡化為一個(gè)力偶.此力偶即為原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo 。Mo = Mo(Fi)oFR MOo

5、 MO(2) FR = 0 , Mo 0 ：4.3 簡化結(jié)果分析13oFRo1力系可以簡化為一個(gè)合力FR ,其大小和方向均與FR/ 相同，但是作用在另一點(diǎn)O1。即： FR=FRoFR MOd(2) FR 0 , Mo 0：根據(jù)力的平移定理的逆定理：4.3 簡化結(jié)果分析14其作用線位置與簡化中心點(diǎn)O 的距離為:4.3 簡化結(jié)果分析Mo(FR) = FRd = Mo而 Mo = Mo(Fi)Mo(FR) = Mo(Fi)O FR01d合力對O點(diǎn)的矩：xy(x,0)FRxFRyx15合力矩定理： 當(dāng)平面一般力系簡化為一個(gè)合力時(shí),合力對力系所在平面內(nèi) 任一點(diǎn)的矩,等于力系中各力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。M

6、o(FR)= Mo(FRx)+ Mo(FRy) = FRyx= Mo 4.3 簡化結(jié)果分析(4) FR = 0 , Mo = 0 原力系為平衡力系，其簡化 結(jié)果與簡化中心的位置無關(guān)。 16四、平行分布的線荷載的簡化均布線荷載非均布線荷載-三角形荷載4.3 簡化結(jié)果分析174.3 簡化結(jié)果分析沿同向分布的平行力系必然可以合成一個(gè)合力。它是分布荷載集度曲線與x軸圍成的曲邊梯形的面積。由合力矩定理，可以得到合力作用線位置合力作用線通過該曲邊梯形的形心，方向同分布力方向。18AabBql1、均布線荷載的簡化FRCl / 2合力大小:FR = ql合力作用線通過中心線AB的中點(diǎn)C4.3 簡化結(jié)果分析19

7、ABbqml 2、三角形荷載的簡化：C2l / 3FR合力大小:合力作用點(diǎn)C的位置：4.3 簡化結(jié)果分析20例題1 求圖示力系合成的結(jié)果。xyF1(2,1)512cos=12/13sin=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)O4.3 簡化結(jié)果分析214.3 簡化結(jié)果分析解:1、取0點(diǎn)為簡化中心，建立圖示坐標(biāo)系：主矢： FR/= Fi主矩： MA = mA(Fi)xyF1(2,1)512cos=12/13sin=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OF/R22xyF1(2,1)512cos=12/13sin=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)O2、求力系的主

8、矢F/RF/Rx = FiX=F1cos -F2cos45o + F3 = 70NF/Ry= Fiy= F1sin + F2sin45o = 150N4.3 簡化結(jié)果分析23xyF1(2,1)512cos=12/13sin=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OF/R3、求力系的主矩MO = MO(Fi) = - F1 cos 1 + F1 sin 2 + F2 cos 450 2 - F2 sin 450 3 +M+F3 4 =580Nm因?yàn)橹魇?、主矩均不?，所以簡化的最終結(jié)果為一個(gè)合力，此合力的大小和方向與主矢相同。F1xF1yF2yF2yMO4.3 簡化結(jié)果分析24xyF1

9、(2,1)512cos=12/13sin=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OF/RF1XF1yF2xF2yMO4、求合力的作用線位置：所以簡化的最終結(jié)果為一個(gè)合力FR 。FRXO14.3 簡化結(jié)果分析254.4 平面一般力系的平衡條件及平衡方程 一、平面一般力系的平衡條件 平面一般力系平衡的必要和充分條件是:力系的主矢和力系對任一點(diǎn)的主矩都等于零。FR = 0MO = 0二、平面一般力系的平衡方程=0= 0主矩：Mo = Mo(Fi)26(b) 二矩式要求：投影軸 x不能與矩心 A 和 B的連線垂直。(c) 三矩式要求：三個(gè)矩心A ,B 和 C 不在一直線上。MA(Fi) =

10、0MB(Fi) = 0Fx = 0MA(Fi) = 0MB(Fi) = 0MC(Fi) = 0 xABABC4.4 平面一般力系的平衡條件及平衡方程(a) 一矩式 Fx = 0 Fy= 0Mo(Fi) = 027三、平面平行力系的平衡方程:F1FnFiF2 Fx 0 Fy= 0Mo(Fi) = 0(a) 一矩式AB(b) 二矩式MA(Fi) = 0MB(Fi) = 0 xyO4.4 平面一般力系的平衡條件及平衡方程281、審題，確定研究對象，取分離體，畫受力圖；2、適當(dāng)選取投影軸和矩心或矩軸，列平衡方程；3、解平衡方程，得未知量。最好做到列一個(gè)方程，就能解出一個(gè)未知量。4.4 平面一般力系的平

11、衡條件及平衡方程四、平衡問題求解步驟29l /2l /2ABCMP解: 取水平梁AB為研究對象畫受力圖。l /2l /2ABCMPFAxFAyRB例 在水平梁AB上作用一力偶矩為M 的力偶,在梁的中點(diǎn)C處作用一集中力P它與水平的夾角為, 如圖所示。梁長為 l 且自重不計(jì)。求支座A和B的反力。4.4 平面一般力系的平衡條件及平衡方程30l /2l /2ABCMPFAxFAyRBFAx - P cos = 0FAx = P cos MA(Fi) = 0FAy - P sin + RA = 0 Fx = 0 Fy= 0列平衡方程求解:dxy04.4 平面一般力系的平衡條件及平衡方程31例：塔式起重機(jī)

12、如圖所示。設(shè)機(jī)身的重力為G1，載重的重力為G2 ，距離右軌的最大距離為L，平衡重物的重量為G3 ，求起重機(jī)滿載和空載均不致翻倒時(shí)，平衡重物的重量G3所滿足的條件。 G2G1CeabLG3AB4.4 平面一般力系的平衡條件及平衡方程32G2G1CeabLFAFBG3AB解：取起重機(jī)為研究對象，畫出受力圖1、滿載時(shí)，當(dāng)重物距離右軌最遠(yuǎn)時(shí)，當(dāng)起重機(jī)平衡時(shí) mB(F) = 0 -G1e - G2 L - FAb +G3(a+b) = 0FA = -G1 e- G2 L+ G3 （ a+ b）/b起重機(jī)不翻倒的條件為：FA 0G3 ( G1 e+ G2 L)/（ a+ b） 4.4 平面一般力系的平衡條

13、件及平衡方程332、空載時(shí)， G2=0，當(dāng)起重機(jī)平衡時(shí)： mA(F) = 0 G3 a - G1 (b+ e)+FB b = 0FB=-G3 a + G1 ( b+ e)/b起重機(jī)不翻倒的條件為：FB 0G3 G1 ( b+ e)/ a ( G1 e+ G2 L)/( a+ b) G3 G1 ( b+ e)/ a 所以，兩種情況下起重機(jī)均不翻倒的條件為：G2G1CeabLFAFBG3AB4.4 平面一般力系的平衡條件及平衡方程344.5 物體系統(tǒng)的平衡 當(dāng)物體系統(tǒng)處于平衡時(shí)，其中的每一部分也一定處于平衡。 因此，在解決物體系統(tǒng)的平衡時(shí)，既可選取整體為研究對 象，也可選取其中的某部分為研究對象，

14、然后列出相應(yīng)的 平衡方程以解出所需的未知量。物體系統(tǒng)是指由若干個(gè)物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng)。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)物體之間的作用力。外力：系統(tǒng)外其它物體對系統(tǒng)內(nèi)物體的作用力。內(nèi)力不出現(xiàn)在整體的受力圖中。35例：圖示平面結(jié)構(gòu)，由懸臂剛架ABC和梁CD鉸接而成。已知F =10kN,qB = 6kN/m。求A、C和D的約束反力。CqBF1m2m2mAB2mD4.5 物體系統(tǒng)的平衡36CDqCFCxFCyFDFq1MC(Fi) = 0FD=1KNFx = 0Fcx=0Fy = 0Fcy+ FD -Fq1=0Fcy= 2KN 解：（1）取梁CD為研究對象，受力分析：4.5 物體系統(tǒng)的平衡37FAy

15、FqFAxMAMA(Fi) = 0MA=-8KN.mFx = 0FAx-F=0Fy = 0FAy+ FD -Fq=0 FAy= 11KN （2）取整體為研究對象，受力分析：FAx=10KNFDADxy0BCqBF4.5 物體系統(tǒng)的平衡38例：組合梁ABC的支承與受力情況如圖所示。已知 P = 30kN,Q = 20kN, = 45o。 求支座A和C的約束力。2m2m2m2mPQABC4.5 物體系統(tǒng)的平衡392m2mQBCFBxFByRC解：1、取BC桿為研究對象畫受力圖。MB(Fi) = 0- Q2sin +4RC = 0RC = 7.07 kNd4.5 物體系統(tǒng)的平衡402、取整體為研究對

16、象畫受力圖2m2m2m2mPQABCMARCFAxFAy4.5 物體系統(tǒng)的平衡Fx = 0FAx - Q cos = 0 Fy = 0FAy - P - Q sin + RC = 0 14.14 kNFAx = Q cos =FAy = 37.07 kNMA(Fi) = 0 MA - 2P - Q6sin +8RC = 0 MA = 31.72 kN.m414.5 物體系統(tǒng)的平衡構(gòu)架尺寸如圖所示。已知C為BD的中點(diǎn)，物重為G，各桿及滑輪的重量不計(jì),鉸鏈均為光滑,繩子不可伸長。試求A、B處的約束力及C處所受的力。424.5 物體系統(tǒng)的平衡解：（1）以BD為研究對象，受力如右圖。434.5 物體系

17、統(tǒng)的平衡（2）再以ACE桿為研究對象，受力如右圖。44解物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:(a) 分析系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成。(b) 按照便于求解的原則,適當(dāng)選取整體或部分為研究對象進(jìn)行受力分析并畫受力圖。(c) 列平衡方程并解出未知量。4.5 物體系統(tǒng)的平衡45DCAB2m1m1m2m0.5mPqOq例：鋼架ABC和梁CD,支承與荷載如圖所示.已知P=5kN,q=200N/m,qO=300N/m.求支座A和B的反力.4.5 物體系統(tǒng)的平衡46解:取整體為研究對象Xi = 0XA - Q2 = 0XA = 300NDCAB2m1m1m2m0.5mPqOqRDRBXAYAQ1=500N1.25mQ2=30

18、0N1.33m4.5 物體系統(tǒng)的平衡47取CD為研究對象MC(Fi) = 0DPRDXCYC1m1mCP - 2RD = 0RD = 2.5kN取整體為研究對象mA(Fi) = 0- 4.5RD + 3.5P 2 RB + 1.25Q1 + 0.67Q2 = 0RB = 3538NYi = 0RD P + RB - Q1 + YA = 0YA = -538N4.5 物體系統(tǒng)的平衡48靜定與靜不定問題 對每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。則應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論, 就可以求得全部未知量,這樣的問題稱為靜定問題。 若未知量的數(shù)目超過獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。則單獨(dú)應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,

19、就不能求出全部未知量,這樣的問題稱為靜不定問題。4.5 物體系統(tǒng)的平衡49一、摩擦現(xiàn)象 摩擦是機(jī)械運(yùn)動(dòng)中一種普遍的現(xiàn)象。 摩擦現(xiàn)象廣泛地存在于日常生活中。1、滑動(dòng)摩擦: 兩個(gè)物體接觸面作相對滑動(dòng)或 具有相對滑動(dòng)趨勢時(shí)的摩擦。 動(dòng)滑動(dòng)摩擦-具有相對滑動(dòng)靜滑動(dòng)摩擦-具有相對滑動(dòng)趨勢2、滾動(dòng)摩擦: 一個(gè)物體在另一個(gè)物體上滾動(dòng)時(shí)的摩擦4.6 考慮摩擦?xí)r的平衡問題50A二、滑動(dòng)摩擦 當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體有相對滑動(dòng)或有相對滑動(dòng)趨勢時(shí), 在兩個(gè)物體的接觸面上就有阻礙它們做相對滑動(dòng)的機(jī)械作用出現(xiàn), 這種機(jī)械作用稱為滑動(dòng)摩擦力，這種現(xiàn)象稱為滑動(dòng)摩擦。APT重量為P的物體放在粗糙的固定水平面上,受到一個(gè)水平拉力T

20、的作用PTFNFFx = 0T - F= 0F= T F : 靜滑動(dòng)摩擦力（靜摩擦力）1、靜滑動(dòng)摩擦定律4.6 考慮摩擦?xí)r的平衡問題51F max臨界平衡狀態(tài)：FF max：最大靜摩擦力APTFNF 實(shí)驗(yàn)表明： F max的大小與接觸面上法向反力FN的 大小成正比，方向與物體相對滑動(dòng)趨勢的方向相反。靜滑動(dòng)摩擦定律f - 靜摩擦系數(shù)F max = f FN 4.6 考慮摩擦?xí)r的平衡問題522、動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律F = f FN f - 動(dòng)摩擦系數(shù) 當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體有相對滑動(dòng)時(shí),它們所受的 摩擦力，稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡稱動(dòng)摩擦力。用F 表示。 實(shí)驗(yàn)表明：f f4.6 考慮摩擦?xí)r的平衡問題實(shí)驗(yàn)表明：

21、動(dòng)摩擦力F的大小與接觸面上法向反力FN 的大小成正比，方向與物體相對滑動(dòng)的方向相反。動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律53三、摩擦角與自鎖現(xiàn)象PTF法向反力FN和靜摩擦力F 的合力FR 稱為支承面對物體作用的約束全反力。FNFR:摩擦角1、摩擦角4.6 考慮摩擦?xí)r的平衡問題54PTFmaxFNFR摩擦角是靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí),全反力與支承面法線的夾角。2、自鎖現(xiàn)象FNTFRFfmaxP(1)FRa與FR不可能共線，此時(shí)兩力不符合二力平衡條件,物體將發(fā)生滑動(dòng)。FRaFRFRa4.6 考慮摩擦?xí)r的平衡問題55(2) FRa與FR可能共線，物體將會(huì)處于平衡狀態(tài)。FRaFR 只要物體所受的主動(dòng)力合力 FRa 的作用線在摩擦角的范圍之內(nèi),即 m時(shí),物體僅依靠摩擦總能靜止而與主動(dòng)力大小無關(guān)的現(xiàn)象,稱為自鎖。（3） = m ,物體處于臨界平衡狀態(tài)GNFmax FRm。若用一水平力F使物體平衡，求該力所可能有的最大值和最小值。解：1、下滑的臨界狀態(tài)：對物塊進(jìn)行受力分析：4.6 考慮摩擦?xí)r的平衡問題58GFmi