數(shù)學(xué)物理方法：第十四章 分離變量法

1、第十四章 分離變量法數(shù)學(xué)物理方法定解問(wèn)題最常用的解法分離變量法核心思想：將未知函數(shù)按多個(gè)單元函數(shù)分開(kāi)偏微分方程若干常微分方程 求解常微分方程： 特解線性無(wú)關(guān)的特解疊加出通解用定解條件定出疊加系數(shù)求解一階線性偏微分方程： 轉(zhuǎn)化為一階線性常微分方程二階及高階偏微分方程：難以定出待定系數(shù)分離變量法： 滿足方程及一部分定解問(wèn)題的全部特解 用另一部分定解條件定出疊加系數(shù)14.1 兩端固定弦的自由振動(dòng)長(zhǎng)為 l 、兩端固定的弦，發(fā)生自由振動(dòng)的方程及定解條件為方程和邊界條件是齊次的，初始條件為非齊次的。 第一步：分離變量 所希望的特解 代入方程 得 移項(xiàng)，兩端同除以 有 與 x 無(wú)關(guān)的函數(shù) = 與 t 無(wú)關(guān)的

2、函數(shù) 與 x、t 均無(wú)關(guān)的常數(shù) 可知 一維波動(dòng)方程 兩個(gè)常微分方程 選取相應(yīng)的齊次定解條件，與其中一個(gè)常微分方程構(gòu)成本征值問(wèn)題。 將代入邊界條件，得常微分方程含有一個(gè)待定常數(shù) 定解條件是一對(duì)齊次邊界條件 X(x) 的常微分方程的定解問(wèn)題稱為本征值問(wèn)題 既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解 X(x) ，稱為本征函數(shù)，相應(yīng)的 值稱為本征值。 即 當(dāng) 時(shí)，方程 為 第二步：求解本征值方程的通解為 由邊界條件 ， 知 即 因此， 不是本征值。 當(dāng) 時(shí)，常微分方程的通解是 由邊界條件 ， 知 ， 相應(yīng)的本征函數(shù)為 取 第三步：求特解，并進(jìn)一步疊加出一般解將 代入方程 得 可知滿足偏微分方程和

3、邊界條件的特解為： ，特解有無(wú)窮多個(gè)，將特解疊加，只要保證級(jí)數(shù)收斂可得一般解。 一般解既滿足偏微分方程又滿足邊界條件，因而不同于通解。 將一般解代入初始條件，得 第四步：利用本征函數(shù)的正交性定出疊加系數(shù)本征函數(shù)的正交性： 對(duì)于 兩端同乘以 ，并積分，得 定義：本征函數(shù)的模方 同理，對(duì)于 可得兩端同乘以 ，并逐項(xiàng)積分 由以上討論可知該定解問(wèn)題的解為： 小 結(jié)分離變量法求解偏微分方程的基本步驟： 分離變量（齊次條件） 求解本征值 求出所有特解，疊加出一般解 利用本征函數(shù)正交性定出疊加系數(shù)驗(yàn)證： 解函數(shù)是否滿足偏微分方程級(jí)數(shù)解的收斂性 （是否可以逐項(xiàng)求偏微商）。 解函數(shù)是否滿足邊界條件級(jí)數(shù)解的和函數(shù)

4、是否連續(xù)。 定疊加系數(shù)時(shí)，逐項(xiàng)積分是否合法。求如下定解問(wèn)題的一般解 第一步令 ，代入方程 得 移項(xiàng)，兩端同除以 ，有 例題解可知， 將 代入邊界條件，得 即 有本征值問(wèn)題 第二步 可知 即 因此， 不是本征值。 即 本征函數(shù)為 第三步 將 代入方程 得 滿足偏微分方程的特解為 一般解， 第四步按照已推出的系數(shù)公式可知 由三角函數(shù)正交性知， 時(shí)， 或者將一般解直接代入初始條件 各點(diǎn)的振幅分布 .相位因子 a 為角頻率，與初始條件無(wú)關(guān)， 稱為固有頻率或本征頻率。 波數(shù)為1（ x 的系數(shù)） 初相位為 ，由初始條件決定。 分離變量法的先決條件： 本征值問(wèn)題有解 定解問(wèn)題的解一定可以按照本征函數(shù)展開(kāi)本征

5、函數(shù)的全體是完備的 本征函數(shù)一定具有正交性對(duì)于任一時(shí)刻 t，有界弦的總能量是：動(dòng)能+勢(shì)能將一般解代入 E(t)，并利用正交性得顯然與 t 無(wú)關(guān)，即弦的總能量守恒求如下擴(kuò)散場(chǎng)的定解問(wèn)題。（1）分離變量，令方程化為 例題解（2）求本征值問(wèn)題由邊界條件可知 l=0 不是本征值， ln=n2 是 本征值，本征函數(shù)為 Xn(x)=sinnx將 l =n2 代入（3）求一般解滿足擴(kuò)散方程的特解是因此，一般解為（4）定系數(shù)將一般解代入初始條件比較兩邊sinnx及系數(shù)，得可知定解問(wèn)題的一般解為擴(kuò)散場(chǎng)的濃度是一個(gè)隨空間和時(shí)間連續(xù)變化的物理量14.2 分離變量法的物理詮釋特解是一個(gè)駐波表示弦上各點(diǎn)的振幅分布表示相

6、位因子是駐波的角頻率，與初始條件無(wú)關(guān)，稱為固有頻率或本征頻率為波數(shù)，（單位長(zhǎng)度上波的周期數(shù)）是初位相，由初始條件決定波節(jié)：的各點(diǎn)上，振幅0共有 n +1 個(gè)波節(jié)（含兩個(gè)端點(diǎn)）波峰：的各點(diǎn)上，振幅 max共有 n 個(gè)波峰這種解法也稱為駐波法基頻：固有頻率中的最小值 決定音調(diào)（ ，材料一定，改變張力 T ）倍頻：基頻和倍頻的疊加系數(shù) 、 的相對(duì)大小頻譜分布聲強(qiáng)齊次的波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程14.3 矩形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定問(wèn)題一維情況：二維情況：三維情況：在穩(wěn)定態(tài)U與t無(wú)關(guān)拉普拉斯方程二維情況下的穩(wěn)定問(wèn)題（平面直角坐標(biāo)） 矩形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定問(wèn)題設(shè)有定解問(wèn)題邊界條件xyba(1) 令 ，代入方程 得即將 代入一對(duì)

7、齊次邊界條件有構(gòu)成本征值問(wèn)題(2) 方程 的通解為由邊界條件 知本征函數(shù)(3) 由 可求出定解問(wèn)題的特解為一般解為(4) 將一般解代入一對(duì)非齊次條件定義函數(shù)由正交性 可知所以可見(jiàn)，對(duì)于穩(wěn)定問(wèn)題（與 t 無(wú)關(guān)），采用一對(duì)齊次邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題，用另一對(duì)齊次邊界條件定系數(shù)。 例題解均勻薄板 0 x a ，0 y ，邊界上溫度為 求解般的穩(wěn)定溫度分布。 令 則兩邊同除以 X(x)Y(y)， 由邊界條件 知 X(0) = X(a) = 0 將一般解代入 y 的邊界條件利用正交性知以矩形介質(zhì)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題為例，假設(shè)介質(zhì)四周絕熱，定解問(wèn)題為14.4 多于兩個(gè)自變量的定解問(wèn)題邊界條件初始條件令 代入方程得

8、解兩邊同除以 X(x)Y(y)T(t) 得相當(dāng)于引入常數(shù) m g l = 0 則對(duì)邊界條件分離變量可得得到 X(x) 和 Y(y) 的兩個(gè)本征值問(wèn)題本征值：求解 X(x) 和 Y(y) 的兩個(gè)本征值問(wèn)題本征函數(shù)：本征值：本征函數(shù)： 代入初始條件 的通解為其中一般解：特解：可得：當(dāng) n 0 、m 0 時(shí)，兩邊同乘以積分后，由正交性可知當(dāng) n 0 、m = 0 時(shí)，初始條件變?yōu)椋寒?dāng) n = 0 、m 0 時(shí)，初始條件變?yōu)椋簝蛇呁艘?積分后，由正交性可知兩邊同乘以 積分后，由正交性可知當(dāng) n = m = 0 時(shí)，由初始條件直接可知：利用 d 函數(shù)的性質(zhì)將以上四種情況合并為：純粹由外力引起的兩端固定

9、弦的受迫振動(dòng)，弦的初始位移和初速度均為零。定解問(wèn)題為：14.5 兩端固定弦的受迫振動(dòng)邊界條件初始條件非齊次方程的分離變量法處理方法本征函數(shù)展開(kāi)法方程齊次化法適用于非齊次項(xiàng) f(x, t) 的形式簡(jiǎn)單，通常為單變量函數(shù) g(x) 或 g(t) 。方程齊次化法：邊界條件保持齊次，而將方程齊次化。先求出非齊次方程的一個(gè)特解 v(x, t) ，即設(shè)代入原方程有可知，w(x, t) 是相應(yīng)齊次方程的解：使用分離變量法前提條件：w(0, t) = 0 ，w(l, t) = 0 。即 v(x, t) 同時(shí)滿足非齊次方程和齊次邊界條件。對(duì)于 w(x, t) 的定解問(wèn)題：w(x, t) 的一般解為： U(x,

10、t) 的一般解為： 代入初始條件有： 即由正交性定出系數(shù)：方程齊次化法的適用范圍： 非齊次方程齊次化時(shí)，必須保持原有的邊界條件不變 非齊次項(xiàng) f(x, t) 的形式較簡(jiǎn)單 初始條件可以是非齊次的 例題解求定解問(wèn)題：非齊次項(xiàng)為 f(x) ，設(shè) U(x, t) = v(x) + w(x, t)邊界條件初始條件v(x) 是方程的特解：且 v(0) = 0 ，v (x) = 0 ，可求出 v(x)而 w(x, t) 則滿足定解問(wèn)題：按照齊次方程定解問(wèn)題的分離變量法求解步驟即可求出 w(x, t) 的一般解，最后：關(guān)于 U(x, t) 的非齊次方程的定解問(wèn)題關(guān)于 w(x, t) 的齊次方程的定解問(wèn)題 例

11、題解長(zhǎng)為 p ，兩端固定的弦，在單位質(zhì)量上受力 sinx 的作用下由靜止?fàn)顟B(tài)從水平位置開(kāi)始做小振動(dòng)，求其橫振動(dòng)的定解問(wèn)題。邊界條件初始條件令 U (x, t) = v (x) + w (x, t) ，代入定解問(wèn)題定解問(wèn)題為：視 v(x) 為原方程的特解：則 w(x, t) 滿足的定解問(wèn)題為： v(0) = 0 ， B = 0 v(p) = 0 ， 即 A = 0由分離變量法可得 w (x, t) = X (x)T(t) ，代入 w (x, t) 的定解問(wèn)題將 w (x, t) 的一般解代入 w (x, t) 的初始條件因而有所以 例題解求解定解問(wèn)題：其中 a、A0、w 均為已知常數(shù)。邊界條件初

12、始條件令 U (x, t) = v (x, t) + w (x, t) ，代入定解問(wèn)題視 v(x, t) 為原方程的特解，考慮到非齊次項(xiàng)，取特解 v(x, t) 不可以為 v(t) ，必須保證邊界條件的齊次性不改變。將 代入原方程：則特解 v(x, t) 為：而 w(x, t) 滿足的定解問(wèn)題為：按照齊次方程的分離變量法可求出：由初始條件定出：由正交性知：即 n 為奇數(shù)時(shí) Cn 不為零，所以： 例題解長(zhǎng)為 p ，兩端固定的弦，在單位質(zhì)量上受力 sint 的作用下由靜止?fàn)顟B(tài)從水平位置開(kāi)始做小振動(dòng)，求其橫振動(dòng)的定解問(wèn)題。邊界條件初始條件令 U (x, t) = v (x) + w (x, t) ，

13、代入定解問(wèn)題定解問(wèn)題為：視 v(x, t) 為原方程的特解，考慮到非齊次項(xiàng)，取特解 v(x, t) 不可以為 v(t) ，必須保證邊界條件的齊次性不改變。代入原方程：則特解 v(x, t) 為：而 w(x, t) 滿足的定解問(wèn)題為：按照齊次方程的分離變量法可求出：由初始條件定出：由正交性知：即 n 為偶數(shù)時(shí)，Cn 為零， n 為奇數(shù)時(shí)，本征函數(shù)展開(kāi)法：按相應(yīng)齊次問(wèn)題本征函數(shù)作展開(kāi)非齊次方程的分離變量法處理方法本征函數(shù)展開(kāi)法方程齊次化法當(dāng)方程的非齊次項(xiàng) f(x, t) 形式復(fù)雜，很難求出特解 v(x, t) 時(shí)，尋找一組完備的本征函數(shù) Xn(x), n = 1, 2, 3, ，將 U(x, t)

14、 和 f(x, t) 均按本征函數(shù)展開(kāi)只要求出 Tn(t)，就可知 U(x, t) 了求解思路非齊次偏微分方程定解問(wèn)題非齊次常微分方程定解問(wèn)題引入本征函數(shù)展開(kāi)的試探解純粹由外力引起的兩端固定弦的受迫振動(dòng)，弦的初始位移和初速度均為零。定解問(wèn)題為：邊界條件初始條件其中 a 和 f(x, t) 已知。先求出相應(yīng)齊次方程定解問(wèn)題的本征函數(shù) Xn(x), n = 1, 2, 3, 邊界條件初始條件按照本征函數(shù)作展開(kāi)，并代入原方程設(shè)由本征函數(shù)的展開(kāi)性可知 f(x, t) 已知的展開(kāi)系數(shù) gn(t) ：代入原方程，得：又知：則結(jié)合正交性可知：將 代入初始條件：非齊次常微分方程定解問(wèn)題采用積分變換法求解，對(duì)方

15、程兩邊同時(shí)做 L再求反演，由卷積定理可知：所以：求解非齊次常微分方程定解問(wèn)題 例題解長(zhǎng)為 l ，兩端固定的弦，在單位長(zhǎng)度上受橫向力 g(x) sinwx 的作用下做小振動(dòng)，已知弦的初始位移 和 速度分別為j (x) 和 f (x) ，求其橫振動(dòng)的規(guī)律。邊界條件初始條件令 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解問(wèn)題定解問(wèn)題定解問(wèn)題為：即定解問(wèn)題定解問(wèn)題定解問(wèn)題的特解為：將 v(x, t) 按本征函數(shù)寨開(kāi)，令將非齊次項(xiàng)按本征函數(shù)展開(kāi)由正交性可知?jiǎng)t定解問(wèn)題的方程化為：由正交性可知相應(yīng)的初始條件為：定解問(wèn)題對(duì)定解問(wèn)題的方程兩邊作拉式變換：由卷積定理可知為突出非齊次邊

16、界條件的處理，假定方程和初始條件是齊次的14.6 非齊次邊界條件的齊次化邊界條件初始條件仍以一維波動(dòng)方程為例處理方法：非齊次邊界條件定解問(wèn)題齊次邊界條件非齊次偏微分方程定解問(wèn)題尋找一個(gè)特解邊界條件的齊次化 例題解求定解問(wèn)題：邊界條件初始條件考慮到非齊次邊界條件的具體形式，令 v (x, t) = C1 x + C2 ，由邊界條件知令 ，代入原定解問(wèn)題邊界條件初始條件則 w (x, t) 滿足的定解問(wèn)題為：邊界條件初始條件將 w (x, t) 和方程的非齊次項(xiàng)按本征函數(shù)展開(kāi)：將w (x, t) 和非齊次項(xiàng)的展開(kāi)式代入 w (x, t) 滿足的定解問(wèn)題，有由正交性可知， w (x, t) 滿足的定

17、解問(wèn)題化簡(jiǎn)為了 Tn(t) 的定解問(wèn)題：采用積分變換法求解，做拉普拉斯變換，得方程和邊界條件同時(shí)齊次化 例題解求定解問(wèn)題：一端固定另一端作周期運(yùn)動(dòng)的弦的振動(dòng)問(wèn)題邊界條件初始條件設(shè) U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解問(wèn)題視 v(x, t) 為原方程的特解，考慮到非齊次項(xiàng)，取邊界條件初始條件將 v(x, t) 代入原方程和邊界條件：可知 w(x, t) 所滿足的定解問(wèn)題為：邊界條件初始條件 即 當(dāng) 時(shí)，方程 為 方程的通解為 由邊界條件 ， 知 即 因此， 不是本征值。 當(dāng) 時(shí)，常微分方程的通解是 由邊界條件 ， 知 ， 相應(yīng)的本征函數(shù)為 取 分離變量，將

18、w(x, t) = X(x) T(t) 代入 w(x, t)的方程將 代入方程 得 可知 w(x, t) 的一般解為： 由 w(x, t) 的初始條件知： 例題解有一長(zhǎng)為 l ，側(cè)面絕熱而初始溫度為零度的均勻細(xì)桿，它的一端保持溫度始終為零度，而另一端溫度隨時(shí)間直線上升，求桿的溫度分布。邊界條件初始條件令 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解問(wèn)題設(shè)桿長(zhǎng)方向?yàn)?x 軸，x = l 端保持溫度始終為零度， x = 0 端溫度隨時(shí)間直線上升，比例系數(shù)為常數(shù) c ，則定解問(wèn)題為：視 v(x, t) 為原方程的特解，考慮到非齊次邊界條件，取將 v(x, t) 代入原定解問(wèn)題的邊界條件，得可