定積分的應(yīng)用通用課件[通用]

1、內(nèi)容提要 1.元素法； 2.平面圖形的面積； 3.立體的體積。教學(xué)要求 1.熟練掌握應(yīng)用微元法去解決積分中的實際應(yīng)用題 ； 2.熟悉各種平面面積的積分表達方法； 3.熟練掌握應(yīng)用微元法求體積的方法； 4. 能用定積分表達某些物理量 。 定積分的應(yīng)用 回顧用定積分求曲邊梯形面積的問題：及直線所圍成的曲邊梯形的面積其求解步驟如下：abxyo一、 定積分的微元法abxo第一步：分割將區(qū)間任意分成個小區(qū)間由此曲邊梯形就相應(yīng)地分成個小曲邊梯形。第二步：近似形面積之和即所求的曲邊梯形面積A為每個小曲邊梯為底的小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積第三步： 求和第四步： 取極限總結(jié)：上述四步中，由第一步知，有關(guān)，

2、部分量的和，可加性.分成許多小區(qū)間，的面積A這個量就相應(yīng)地分成許多部分量，如果把區(qū)間具有這種性質(zhì)稱為所求量A對區(qū)間則所求而A是所有abxo所求面積A這個量與就是定積分的被積表達式abxo上述第二步中的近似表達式可確定定積分的被積表達式方法是：于是有再將區(qū)間則可寫為稱為面積A的微元，于是即記為一般地，當(dāng)所求量F符合下列條件：以上方法稱為這就給出了定積分的被積表達式于是“微元法”微元法解決實際問題的一般步驟如下：(1) 根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如取為積分變量， 并確定它的變化區(qū)間以上步驟要熟練掌握!如：平面圖形的面積；引力和平均值;液體的壓力；變力做功；平面曲線的弧長；體積；注意 微元法

3、解決實際問題的使用對象：具有可加性的量等等.二、平面圖形的面積1）如果則SS即（一）、在直角坐標(biāo)系下的面積問題如圖則 熟記用微元法：cd 熟記用微元法：所圍成的圖形例1 計算由拋物線的面積A . 解用微元法確定積分區(qū)間：解方法一：選擇 x 作積分變量1從而得到積分區(qū)間區(qū)間上任取一小區(qū)間dA面積微元oxy確定積分區(qū)間：面積微元方法二：選擇 y 作積分變量解得 y=0, y=1從而得到積分區(qū)間區(qū)間上任取一小區(qū)間1yy+dydA解求兩曲線的交點選 為積分變量選 x 作積分變量時，需求兩塊面積yy+dy作面積微元 dAdA成的圖形的面積.解由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積注意：如果曲邊梯形的曲

4、邊的方程為參數(shù)方程：o曲邊梯形的面積由上例可知：解由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積注意：練習(xí)面積微元曲邊扇形的面積（二）、在極坐標(biāo)系下的面積問題所圍成的圖形，稱為曲邊扇形.解用微元法解解所圍平面圖形的面積A .例2 求心形線 解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積求雙紐線所圍平面圖形的面積.練習(xí)2. 在極坐標(biāo)系下的面積問題三、 體積旋轉(zhuǎn)體圓柱圓錐圓臺（一）、旋轉(zhuǎn)體的體積由一個平面圖形繞這個平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸取橫坐標(biāo)x為積分變量, 一般地,軸所圍成的曲邊梯形,及x軸旋轉(zhuǎn)一周而成繞x由連續(xù)曲線 直線的立體,它的變化區(qū)間為相應(yīng)于上任一小區(qū)小曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而

5、成的薄片近似地等于以f(x)為底面半徑、dx為高的圓柱體的體積，即體積微元為于是，在閉區(qū)間a,b上作定積分，得所求旋轉(zhuǎn)體體積為的體積例1圓錐體的體積解直線 的方程為利用旋轉(zhuǎn)體體積公式，知： 例2 計算橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解這個旋轉(zhuǎn)體可以看成以半個橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體取積分變量為x,利用旋轉(zhuǎn)體體積公式，知：所求的體積為求星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，知： 練習(xí) 類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(yxj=直線cy=、dy=及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)體積為熟記一周而成的立體，例3 旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.圖形解（二）、平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)一立體位于 過點x=a, x=b 且垂直于 x 軸的兩平面之間， 從而用垂直于 x 軸的任一平面截此立體所得的截面積 A(x) 是 x 的已知函數(shù)，x取 x 為積分變量，在區(qū)間 a, b 上任取一小區(qū)間過其端點作垂直 x 軸的平面，xx+dx作體積微元：xx+dxx , x+dx ，以A(x) 為底，dx 為高作柱體，用微元法：解取坐標(biāo)系如圖底半圓方程為截面面積立體體積而垂直于底面上一條固