函數(shù)單調(diào)與凹凸教學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)單調(diào)與凹凸教學(xué)函數(shù)單調(diào)與凹凸教學(xué)一、函數(shù)的單調(diào)性定理1設(shè))(xf在區(qū)間I上連續(xù),在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo).(1)若在I內(nèi), 0)( xf則)(xf在區(qū)間I上單調(diào)增加.(2)若在I內(nèi), 0)( xf則)(xf在區(qū)間I上單調(diào)減少.證明(1)任取,21Ixx 且21xx 則)(xf在,21xx上連續(xù),在),(21xx內(nèi)可導(dǎo).由拉格朗日中值定理得:至少存在一點(diǎn)),(21xx 使得 )()(12xfxf)( 12xxf 內(nèi)內(nèi)在在又又內(nèi)內(nèi)在在IxfI , 0)( 0)( f)()(12xfxf 0 第1頁(yè)/共23頁(yè)即)()(21xfxf :按定義得按定義得)(xf在區(qū)間I上單調(diào)增加.(2)類似可證注：反

2、之不然.即)(xf在區(qū)間I上單調(diào)增加在I內(nèi)0)( xf(單調(diào)減少) 0)( ( xf反例:,),()(3上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在 xxf0)0( f但但,),()(31上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在 xxg.)0( 不存在不存在但但g第2頁(yè)/共23頁(yè)在討論)(xf的單調(diào)性時(shí),在定義域中如有使得導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn),應(yīng)先求出它們.例1討論函數(shù)xxysin 在2 , 0 上的單調(diào)性解 yxcos1 )2 , 0( x時(shí),xycos1 0 xxysin 在2 , 0 上是單調(diào)增加的.第3頁(yè)/共23頁(yè)例2討論函數(shù)593)(23 xxxxf的單調(diào)性解定義域:),( )( xf9632 xx )32(3

3、2 xx )3)(1(3 xx )3)(1( 3 xx令)( xf0 解得 x, 1 3它們將定義域分為:,1,( ,3 , 1 ), 3)1,( x時(shí),)( xf0 在1,( 上,)(xf是單調(diào)增加的.)3 , 1( x時(shí),)( xf0 在3 , 1 上,)(xf是單調(diào)減少的.), 3( x時(shí),)( xf0 在), 3上,)(xf是單調(diào)增加的.第4頁(yè)/共23頁(yè)例3證明:當(dāng))2, 0( x時(shí),有xx tan分析:即證0tan xx令xxxf tan)(即)0()(fxf 所以,只需證:.,)2, 0)(即即可可上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在 xf第5頁(yè)/共23頁(yè)證令xxxf tan)( )(

4、 xf1sec2 x x2tan)2, 0( x時(shí),xxf2tan)( 0 上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在)2, 0)( xf當(dāng))2, 0( x時(shí),有)0()(fxf 即xx tan 0即xx tan第6頁(yè)/共23頁(yè)二. 函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)先看兩條曲線:它們有何不同？向上彎向下彎彎曲的方向不同怎樣描述曲線的彎曲方向？函數(shù)的凹凸性（凹的）（凸的）第7頁(yè)/共23頁(yè)xyoxyoabab1x2x221xx )(xfy )(1xf)(2xf2)()(21xfxf )(xfy 1x2x221xx )2(21xxf )(1xf)(2xf2)()(21xfxf 2)()()2(2121xfxfxxf 2)(

5、)()2(2121xfxfxxf )2(21xxf 第8頁(yè)/共23頁(yè)定義設(shè))(xf在區(qū)間I上連續(xù).如果對(duì)于任意兩點(diǎn)Ixx 21,都有2)()()2(2121xfxfxxf 則稱函數(shù))(xf在區(qū)間上上 I的圖形 是凹的.) ( ( 凸 )()定理2設(shè))(xf在區(qū)間I上連續(xù),在區(qū)間I內(nèi)二階可導(dǎo),那么(1)若在I內(nèi), 0)( xf則)(xf在I上是凹的.(2)若在I內(nèi), 0)( xf則)(xf在I上是凸的.第9頁(yè)/共23頁(yè)證(1)任取兩點(diǎn),21Ixx 不妨設(shè)21xx )(xf在I內(nèi)二階可導(dǎo),因而在I內(nèi)一階可導(dǎo),又)(xf在I上連續(xù)在2,211xxx 上,應(yīng)用拉格朗日中值定理得:至少存在一點(diǎn), )2,

6、(2111xxx 使得)2)( )()2(1211121xxxfxfxxf 即2)( )()2(121121xxfxfxxf (1)第10頁(yè)/共23頁(yè)同理,在,2221xxx 上,應(yīng)用 拉格朗日中值定理得:至少存在一點(diǎn)),2(2212xxx 使得)2)( )2()(2122212xxxfxxfxf 即2)( )2()(122212xxfxxfxf (2)(2)-(1)得)2(2)()(2112xxfxfxf 2)( )( 1212xxff 2).()( 1212|xxxfx ) (21 2)( 1212xxf (拉格朗日中值定理)第11頁(yè)/共23頁(yè) 在區(qū)間I內(nèi)0)( f)2(2)()(2112

7、xxfxfxf 2)( 1212xxf 0 即2)()()2(2121xfxfxxf 按定義得:)(xf在I上是凹的.(2)類似可證.第12頁(yè)/共23頁(yè)注:反之不然.反例:4)(xxf 在),( I上是凹的,但0)0( f ), 0(,0 ,(,)(32xxxxxg在),( I上是凹的,但)0( g不存在.在討論凹凸性時(shí),應(yīng)先求出使0)( xf或)( xf不存在的點(diǎn).第13頁(yè)/共23頁(yè)例4討論下列函數(shù)的凹凸性（1）xyln （2）3xy 解（1）定義域：), 0(xy1 21 xy ,), 0(時(shí)時(shí) x21 xy 0 )(xf在), 0( 上是凸的.第14頁(yè)/共23頁(yè)（2）定義域：),(23x

8、y xy6 令0 y解得0 x它將定義域分為：,0 ,(), 0,)0 ,(時(shí)時(shí) xxy6 0 )(xf在0 ,(上是凸的.,), 0(時(shí)時(shí) xxy6 0 )(xf在), 0上是凹的.第15頁(yè)/共23頁(yè)定義曲線上凹凸性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)稱為拐點(diǎn).在上例中,點(diǎn))0 , 0(是曲線3xy 的拐點(diǎn).例5求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn) （1）14334 xxy（2）31xy 解(1)定義域:),(231212xxy xxy2436 2 )32(36 xx令0 y解得32 , 0 x第16頁(yè)/共23頁(yè)它們將定義域分為：,0 ,(,32, 0),32,)0 ,(時(shí)時(shí) x)32(36 xxy0 14334 xxy在0 ,

9、(上是凹的.,)32, 0(時(shí)時(shí) x)32(36 xxy0 14334 xxy在32, 0上是凸的.,),32(時(shí)時(shí) x)32(36 xxy0 14334 xxy在),32上是凹的.第17頁(yè)/共23頁(yè)點(diǎn))2711,32( ),1 , 0(是拐點(diǎn)凹區(qū)間:,0 ,(),32凸區(qū)間:32, 0（2）定義域：),(, 31313232xxy 3592 xy0 x時(shí), y3592x 不存在它將定義域分為：,0 ,( ), 0 第18頁(yè)/共23頁(yè),)0 ,(時(shí)時(shí) x3592 xy 0 )(xf在0 ,(上是凹的.,), 0(時(shí)時(shí) x3592 xy 0 )(xf在),0 上是凸的.拐點(diǎn):)0,0(凹區(qū)間:0 ,(凸區(qū)間:), 0第19頁(yè)/共23頁(yè)定理若點(diǎn))(,(00 xfx是曲線)(xfy 的拐點(diǎn),且)(xfy 在0 x處二階可導(dǎo),則0)( 0 xf反之不然.反例:,4xy 0)0( y但點(diǎn))0 , 0(不是4xy 的拐點(diǎn).第20頁(yè)/共23頁(yè)小 結(jié)1. 函數(shù)的單調(diào)性的判別單調(diào)區(qū)間，即：?jiǎn)卧鰠^(qū)間，