數(shù)字信號(hào)處理第六章

1、第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第六章第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)作業(yè)：作業(yè)：5(2)，9, 10 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 本章思路：本章思路：1.濾波是信號(hào)處理中最為重要的方法，數(shù)字濾波器與模擬濾波器相比有很多優(yōu)勢2.IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有兩種方法：間接設(shè)計(jì)法和直接設(shè)計(jì)法3.間接設(shè)計(jì)法借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，是本章的重點(diǎn)4.所以本章內(nèi)容： a.濾波的基本概念 b.模擬濾波器設(shè)計(jì) c.模擬濾波器到數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法6.1濾波的基本概念濾波的基本概念濾波就是提取輸入信號(hào)中的有用頻率成分，抑制無

2、用頻率成分的信號(hào)處理過程。所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對比例，數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序?；蛘邽V除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。所謂數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，就是要找出滿足濾波要求的系統(tǒng)所謂數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，就是要找出滿足濾波要求的系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，或者系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，或者系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z).正因?yàn)閿?shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾正因?yàn)閿?shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重

3、量輕、靈活、不波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。特殊濾波功能。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 傅立葉分析告訴我們，任何波形的時(shí)域信號(hào)都是由不同頻率的正弦信號(hào)疊加形成的。通過頻域分析我們可以發(fā)現(xiàn)該波形是單一頻率正弦波調(diào)制的雙邊帶信號(hào)與寬帶噪聲干擾的疊加，雙邊帶信號(hào)的載波頻率為100 Hz，而干擾噪聲的頻率大于170 Hz第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 濾濾波波器器模擬濾波器模擬濾波器(AF)數(shù)字?jǐn)?shù)字濾波濾波器器(DF)經(jīng)典濾

4、波器經(jīng)典濾波器根據(jù)濾波特性來分：根據(jù)濾波特性來分：低通；高通；帶通；帶阻低通；高通；帶通；帶阻 (理想濾波器是不可實(shí)現(xiàn)的理想濾波器是不可實(shí)現(xiàn)的,只能在一定程度上去逼近只能在一定程度上去逼近)從單位脈沖響應(yīng)長度來分：從單位脈沖響應(yīng)長度來分：IIR-DF；FIR-DF現(xiàn)代濾波器現(xiàn)代濾波器尋找在某種準(zhǔn)則下的最優(yōu)解尋找在某種準(zhǔn)則下的最優(yōu)解維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適應(yīng)濾波維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適應(yīng)濾波器器從對信號(hào)處理的作用來分：從對信號(hào)處理的作用來分：選頻；其他選頻；其他第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)常用的數(shù)字濾波器一般

5、屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)用下式表示：用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej()式中，式中，|H(ej)|稱為幅頻特性函數(shù)稱為幅頻特性函數(shù); ()稱為相頻特性函稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分振數(shù)。幅頻特性表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。因此，即使兩個(gè)濾波器幅頻后在時(shí)間上的延時(shí)情況。因此，即使兩個(gè)濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器特性相

6、同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號(hào)波形也是不一樣的。輸出的信號(hào)波形也是不一樣的。1. p和和s分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。2. 從從p到到s稱為過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調(diào)下降的稱為過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調(diào)下降的3. 通帶頻率范圍為通帶頻率范圍為0|p，在通帶中要求，在通帶中要求(11)|H(ej)|1，阻帶頻率范圍為，阻帶頻率范圍為s|，在阻帶中要求，在阻帶中要求|H(ej)|2。pj0pj(e )20lgdB(e)HHsj0sj(e )20lgdB(e)HH4.當(dāng)幅度下降到當(dāng)幅度下降到 時(shí)，標(biāo)記時(shí)，標(biāo)記=c，此時(shí)，此時(shí)

7、 dB，稱，稱c為為3 dB通帶截止頻率。對其他類型的濾波器，通帶截止頻率。對其他類型的濾波器，(6.1.3b)式和式和(6.1.4b)式中的式中的H(ej0)應(yīng)改成應(yīng)改成2/23p)(0jeH第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 片段常數(shù)特性：片段常數(shù)特性： 對于選頻型濾波器，一般對通帶和對于選頻型濾波器，一般對通帶和阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒有具體要求，只要求其波阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個(gè)常數(shù)，通常將這種要求稱為紋幅度小于某個(gè)常數(shù)，通常將這種要求稱為“片段常數(shù)片段常數(shù)特性特性”。所謂片段，是指。所謂片段，是指“通帶通帶”和和“阻帶阻

8、帶”，常數(shù)是，常數(shù)是指指“通帶波紋幅度通帶波紋幅度1”和和“阻帶波紋幅度阻帶波紋幅度2”，而通帶最，而通帶最大衰減大衰減 p和阻帶最小衰減和阻帶最小衰減 s是與是與1和和2完全等價(jià)的兩個(gè)常完全等價(jià)的兩個(gè)常數(shù)。片段常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設(shè)計(jì)中很重要，數(shù)。片段常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設(shè)計(jì)中很重要，尤其有助于理解尤其有助于理解IIR數(shù)字濾波器的雙線性變換設(shè)計(jì)思想。數(shù)字濾波器的雙線性變換設(shè)計(jì)思想。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) FIR濾波器不能采用間接法，常用的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、濾波器不能采用間接法，常用的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。頻率采

9、樣法和切比雪夫等波紋逼近法。3 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有間接法和直接法濾波器設(shè)計(jì)方法有間接法和直接法間接法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的間接法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的其設(shè)計(jì)步驟是：其設(shè)計(jì)步驟是： 先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha (s)，然后將，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù)H(z)。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法間接設(shè)計(jì)法（從模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器）直接設(shè)計(jì)法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變

10、換法零極點(diǎn)累試法頻域逼近法時(shí)域逼近法第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)濾波器濾波器:具有單調(diào)下降的幅頻特性；具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫型(Chebyshev)濾波器：通帶內(nèi)有等波紋幅頻特性函數(shù)，阻帶內(nèi)有單調(diào)下降的幅頻特性函數(shù)。切比雪夫型(Chebyshev)濾波器：阻帶內(nèi)有等波紋幅頻特性函數(shù)，通帶內(nèi)有單調(diào)下降的幅頻特性函數(shù)。橢圓橢圓(Ellipse)濾濾波器波器:選擇性是最好的，但通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋幅頻特選擇性是最好的，但通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍

11、嚴(yán)重。性，相位特性的非線性也稍嚴(yán)重。貝塞爾貝塞爾(Bessel)濾波器濾波器:通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖圖6.2.1 各種理想模擬濾波器幅頻特性各種理想模擬濾波器幅頻特性 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.2.1 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法本書中，分別用本書中，分別用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模擬濾波表示模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)，三者的器的單位沖激響應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)，三者的關(guān)系如下：關(guān)系如

12、下： 可以用可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(j)中任一個(gè)描述模擬濾波器，中任一個(gè)描述模擬濾波器，也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。但是設(shè)也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。但是設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由幅頻響應(yīng)函數(shù)計(jì)模擬濾波器時(shí)，設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由幅頻響應(yīng)函數(shù)|Ha(j)|給出，而模擬濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求系統(tǒng)函給出，而模擬濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù)數(shù)Ha(s)。aaajaaa( )LT( )( )ed(j)FT( )( )edsttHsh th ttHh th tt第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2aa()20lg(j)10

13、lg(j) dB AHH損耗函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是對幅頻響應(yīng)損耗函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是對幅頻響應(yīng)|Ha(j)|的取值非線性壓縮，的取值非線性壓縮，放大了小的幅度，從而可以同時(shí)觀察通帶和阻帶頻響特性的放大了小的幅度，從而可以同時(shí)觀察通帶和阻帶頻響特性的變化情況。直接畫出的損耗函數(shù)曲線圖正好與幅頻特性曲線變化情況。直接畫出的損耗函數(shù)曲線圖正好與幅頻特性曲線形狀相反，所以，習(xí)慣將形狀相反，所以，習(xí)慣將A()曲線稱為損耗函數(shù)曲線稱為損耗函數(shù)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2pap10lg|(j)|H 2sas10lg|(j)|H )1lg(201p2slg20第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波

14、器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 低通濾波器指標(biāo)示意圖用數(shù)學(xué)方法描述低通濾波器的指標(biāo)如下：通帶內(nèi)(0|p),paajHjH)0()(lg20()aHj 2()lg()asaHjHj 200阻帶內(nèi)(s|), 111)(1jHaps通帶最大衰減阻帶最小衰減當(dāng)2()1/2acHj時(shí)1( 0)20lg3()aacHjdBHj第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 如果能由如果能由 p、p、 s和和s求出求出|Ha(j)|2，那么就可以求，那么就可以求出出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的，由此可求出所需要的Ha(s)。 )j ()j (| )()(| )j (|*aajaa2aH

15、HsHsHHs(6.2.6)2a16|(j )|H2 222（25-）(49+)(36+)222aaa16( )()(j )ssHs HsHs 2 222（25+ ）(49-s )(36)極點(diǎn)：極點(diǎn)：零點(diǎn)：零點(diǎn)：7, 65j二階a4( )6sHss2（25+ ）(s+7)()第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.2.2 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)1 巴特沃斯低通模擬濾波器設(shè)計(jì)原理巴特沃斯低通模擬濾波器設(shè)計(jì)原理巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2用下用下式表示：式表示： (6.2.7)式中，式中，N稱為濾

16、波器的階數(shù)。當(dāng)稱為濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，時(shí)，|Ha(j)|=1； =c時(shí)，時(shí)， ，c是是3 dB截止頻率。在截止頻率。在=c附近，隨附近，隨加大，幅度迅速下降。加大，幅度迅速下降。 NH2c2a11| )j (|2/1| )(|jHa第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 幅度特性與幅度特性與和和N的關(guān)系如圖的關(guān)系如圖6.2.4所示。幅度下降所示。幅度下降的速度與階數(shù)的速度與階數(shù)N有關(guān)，有關(guān)，N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快, 總的頻響特總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。性與理

17、想低通濾波器的誤差愈小。以以s替換替換j，將幅度平方函數(shù)，將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成寫成s的函數(shù)：的函數(shù)： (6.2.8)NssHsH2caaj11)()(22()NNcsj 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (6.2.9)式中，式中，k=0，1，2，2N-1。)21221(jcc21e)j () 1(NkNks第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 1. S平面上有平面上有2N個(gè)極點(diǎn)等角距分布在半徑為個(gè)極點(diǎn)等角距分布在半徑為c的圓的圓上，上，2. 極點(diǎn)對稱于實(shí)軸和虛軸，虛軸上無極點(diǎn)，極點(diǎn)對稱于實(shí)軸和虛軸，虛軸上無極點(diǎn)，N為奇為奇數(shù)時(shí)實(shí)軸上

18、有極點(diǎn)數(shù)時(shí)實(shí)軸上有極點(diǎn), N為偶數(shù)時(shí)實(shí)軸上沒有為偶數(shù)時(shí)實(shí)軸上沒有 極點(diǎn)極點(diǎn)3. 各極點(diǎn)之間的角距為各極點(diǎn)之間的角距為Ncaaa210c1( )()( )()1jNNNkkHs HsHssss第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (6.2.11) 令令p=+j=s/c，=/c，稱為歸一化頻率，稱為歸一化頻率， p稱為歸稱為歸一化復(fù)變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型一化復(fù)變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)為 (6.2.12)a1c0cc1NkksGss10a)(1)(NkkpppG第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 式中，

19、式中，pk=sk/c, 為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：為歸一化極點(diǎn)，用下式表示： (6.2.13)顯然顯然, 這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N，按照，按照(6.2.13)式求式求出出N個(gè)極點(diǎn)，再按照個(gè)極點(diǎn)，再按照(6.2.12)式得到歸一化低通原型系統(tǒng)式得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)Ga(p)，如果給定，如果給定c，再去歸一化，即將，再去歸一化，即將p=s/c代入代入Ga(p)中中(或由或由(6.2.14)式求出式求出sk=cpk)，便得到期望設(shè)計(jì)的，便得到期望設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。110 e21221j,N, ,kpNkkckksp(6.2.14)第六章

20、第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 將極點(diǎn)表示式將極點(diǎn)表示式(6.2.13)代入代入(6.2.12)式，得到式，得到Ga(p)的的分母是分母是p的的N階多項(xiàng)式，用下式表示：階多項(xiàng)式，用下式表示： （6.2.15）歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)的系數(shù)bk，k=0，1，N1，以及極點(diǎn)，以及極點(diǎn)pk，可以由表，可以由表6.2.1得到。另外，表中還給得到。另外，表中還給出了出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出階數(shù)階數(shù)N，查表可得到，查表可得到Ga(p)及各極點(diǎn)及各極點(diǎn), 而且可以選擇級(jí)聯(lián)而且可以選擇級(jí)聯(lián)型和直

21、接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解型和直接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解運(yùn)算工作。運(yùn)算工作。a1212101( )NNNNNGppbpbpb pb第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 1) 計(jì)算階數(shù)N和3 dB截止頻率c的公式并考慮巴特沃斯濾波器的單調(diào)下降特性(邊界頻率點(diǎn)若滿足指標(biāo)，則其他頻率點(diǎn)必然滿足要求。)以及H(j0)=1，可以得到 由于巴特沃斯濾波器的幅度

22、平方函數(shù)為 22)(lg10)(lg20)(lg10)(lg20sasaspapapjHjHjHjHNcajH22)(11)(第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 因此 上式兩邊取指數(shù)得到：)(1lg10)(lg10)(1lg10)(lg102222NcSsasNcppapjHjH0.120.120.120.12101 ()101 ()()101()101pspspNcNscpNcNsc 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 兩式相除消去c, 得到只有一個(gè)未知量N的方程：令 則 sp/10s/10p101101Nssppsp/10sp/1010110

23、1kspsplglgkN 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 用上式求出的用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于或等于或等于N的最小整數(shù)。關(guān)于的最小整數(shù)。關(guān)于3 dB截止頻率截止頻率c，如，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照(6.2.16)式或式或(6.2.17)式求出。由式求出。由(6.2.16)式得到：式得到： (6.2.19) N211 . 0pc) 110(p由由(6.2.17)式得到：式得到：(6.2.20)N211 . 0sc) 110(s第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 請注意，

24、如果采用請注意，如果采用(6.2.19)式確定式確定c，則通帶指標(biāo)剛好，則通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余；滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余； 如果采用如果采用(6.2.20)式確定式確定c，則阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余。，則阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余?？偨Y(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下： (1) 根據(jù)技術(shù)指標(biāo)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p、 p、s和和 s，用，用(6.2.18)式式求出濾波器的階數(shù)求出濾波器的階數(shù)N。(2) 按照按照(6.2.13)式，求出歸一化極點(diǎn)式，求出歸一化極點(diǎn)pk，將，將pk代入代入(6.2.12)式，得到歸一化低

25、通原型系統(tǒng)函數(shù)式，得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。也可。也可以根據(jù)階數(shù)以根據(jù)階數(shù)N直接查表直接查表6.2.1得到得到pk和和Ga(p)。 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (3) 將將Ga(p)去歸一化。將去歸一化。將p=s/c代入代入Ga(p)，得到，得到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)這里這里c為為3 dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出c，可以按照可以按照(6.2.19)式或式或(6.2.20)式求出。式求出?！纠?.2.1】 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5 kHz，通帶，通帶最大衰減最大衰減 p=2 dB，

26、阻帶截止頻率，阻帶截止頻率fs=12 kHz，阻帶，阻帶最小衰減最小衰減 s=30 dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。斯低通濾波器。c| )()(asppGsH第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 解解 (1) 確定階數(shù)確定階數(shù)N。sp0.1sp0.1sspp10141.322310122.42lg41.32234.25lg2.4kffN取取N=5第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (2) 按照按照(6.2.13)式，其極點(diǎn)為式，其極點(diǎn)為按照按照(6.2.12)式，歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為式，歸一化低通原型系

27、統(tǒng)函數(shù)為上式分母可以展開成五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在上式分母可以展開成五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解式。這里不如直接查表一起，形成因式分解式。這里不如直接查表6.2.1簡單，簡單，由由N=5直接查表得到：直接查表得到： 57j456j3j254j153j0e ee eeppppp，40a)(1)(kkpppG第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 極點(diǎn)：極點(diǎn)：0.3090j0.9511， 0.8090j0.5878, 1.0000歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為式中式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3

28、=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式為分母因式分解形式為以上公式中的數(shù)據(jù)均取小數(shù)點(diǎn)后四位。以上公式中的數(shù)據(jù)均取小數(shù)點(diǎn)后四位。012233445a1)(bpbpbpbpbppG) 1)(16180. 1)(16180. 0(1)(22appppppG第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (3) 為將為將Ga(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3 dB截止頻率截止頻率c。按照按照(6.2.19)式，得到：式，得到： 將將c代入代入(6.2.20)式，得到式，得到:10.12cp(101)2 5.2755 krad/spN s10.12sc(101)2 10.525

29、 krad/sN第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 此時(shí)算出的此時(shí)算出的比題目中給的比題目中給的s小，因此，過渡小，因此，過渡帶小于指標(biāo)要求?；蛘哒f，在帶小于指標(biāo)要求?；蛘哒f，在s=212 krad/s時(shí)衰減時(shí)衰減大于大于30 dB，所以說阻帶指標(biāo)有富余量。，所以說阻帶指標(biāo)有富余量。將將p=s/c代入代入Ga(p)中中, 得到：得到： s5c04c123c232c34c455ca)(bsbsbsbsbssH第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2. 用用MATLAB工具箱函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器工具箱函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器 MATLAB信號(hào)處理工具箱

30、函數(shù)buttap, buttord和butter是巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)。其5種調(diào)用格式如下。1） Z，P, K=buttap(N)該格式用于計(jì)算N階巴特沃斯歸一化（3 dB截止頻率c=1）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益因子。返回長度為N的列向量Z和P，分別給出N個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，K表示濾波器增益。得到的系統(tǒng)函數(shù)為如下形式: （6.2.21）a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G (p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 式中，Z(k)和P(k)分別為向量Z和P的第k個(gè)元素。如果要從計(jì)算得到的零、極點(diǎn)得到系統(tǒng)函數(shù)的分

31、子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B和A,可以調(diào)用結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換函數(shù)B, A=zp2tf(Z, P, K)。2） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As)該格式用于計(jì)算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。調(diào)用參數(shù)wp和ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示數(shù)字頻率（對應(yīng)模擬頻率Fs/2，F(xiàn)s表示采樣頻率）。Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。當(dāng)wswp時(shí)，為高通濾波器； 當(dāng)wp和ws為二元矢量時(shí)，為帶通或帶阻濾波器，這時(shí)wc也是二元向量。N和wc作為butter函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾

32、波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As, s) 該格式用于計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。wp、ws和wc是實(shí)際模擬角頻率（rad/s）。其他參數(shù)與格式2）相同。4） B, A=butter(N, wc, ftype)計(jì)算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3 dB截止頻率的歸一化值（關(guān)于歸一化），一般按格式2）調(diào)用函數(shù)buttord計(jì)算N和wc。由系數(shù)向量B和A可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)： 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器

33、的設(shè)計(jì) 式中，B(k)和A(k)分別為向量B和A的第k個(gè)元素。5） B, A=butter(N, wc, ftype, s)計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3 dB截止頻率（實(shí)際角頻率）。由系數(shù)向量B和A寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為（6.2.23）（6.2.22）1(N 1)N1(N 1)NB(z)B(1)B(2)zB(N)zB(N1)zH(z)A(z)A(1)A(2)zA(N)zA(N1)zNN 1aNN 1B(s)B(1)sB(2)sB(N)sB(N 1)H (s)A(s)A(1)sA(2)sA(N)sA(N

34、1)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 由于高通濾波器和低通濾波器都只有一個(gè)3 dB截止頻率wc，因此僅由調(diào)用參數(shù)wc不能區(qū)別要設(shè)計(jì)的是高通還是低通濾波器。當(dāng)然僅由二維向量wc也不能區(qū)分帶通和帶阻。所以用參數(shù)ftype來區(qū)分。ftype=high時(shí)，設(shè)計(jì)3 dB截止頻率為wc的高通濾波器。缺省ftype時(shí)默認(rèn)設(shè)計(jì)低通濾波器。ftype=stop時(shí)，設(shè)計(jì)通帶3 dB截止頻率為wc的帶阻濾波器，此時(shí)wc為二元向量wcl, wcu，wcl和wcu分別為帶阻濾波器的通帶3 dB下截止頻率和上截止頻率。缺省ftype時(shí)設(shè)計(jì)帶通濾波器，通帶為頻率區(qū)間wclwcu。應(yīng)當(dāng)注意，設(shè)計(jì)的帶

35、通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)是2N階的。這是因?yàn)閹V波器相當(dāng)于N階低通濾波器與N階高通濾波器級(jí)聯(lián)。 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) （6.2.21）、（6.2.22）和（6.2.23）式也適用于后面要介紹的切比雪夫和橢圓濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)函數(shù)?！纠?.2.2】 調(diào)用buttord和butter設(shè)計(jì)巴特沃斯低通模擬濾波器。要求與例6.2.1相同。設(shè)計(jì)程序ep622.m如下: wp=2*pi*5000; ws=2*pi*12000; Rp=2; As=30; %設(shè)置濾波器參數(shù)N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); %計(jì)算濾波器階數(shù)N和3

36、dB截止頻率B, A=butter(N, wc, s); %計(jì)算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) k=0:511; fk=0:14000/512:14000; wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B, A, wk); subplot(2, 2, 1); plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid onxlabel(頻率(kHz); ylabel(幅度(dB)axis(0, 14, -40, 5)運(yùn)行結(jié)果: N=5，wc=3.7792e+004，B=7.7094e+022A =11.2230e+0057

37、.4785e+0092.8263e+0146.6014e+0187.7094e+022第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 將B和A代入（6.2.23）式寫出系統(tǒng)函數(shù)為與例6.2.1計(jì)算結(jié)果形式相同。濾波器的損耗函數(shù)曲線如圖6.2.6所示。由圖可以看出，阻帶剛好滿足指標(biāo)要求，通帶指標(biāo)有富余。這就說明buttord函數(shù)使用（6.2.20）式計(jì)算3 dB 截止頻率。a5432BH (s)sA(2)sA(3)sA(4)sA(5)sA(6)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖6.2.6 程序ep622.m運(yùn)行輸出的損耗函數(shù)(例6.2.1的設(shè)計(jì)結(jié)果)第六章

38、第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.2.3 切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)1 切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)原理切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)原理巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶還是阻帶都是頻率的單調(diào)減函數(shù)。因此，當(dāng)通帶邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí)，通帶內(nèi)肯定會(huì)有較大富余量。因此，更有效的設(shè)計(jì)方法應(yīng)該是將逼近精確度均勻地分布在整個(gè)通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個(gè)阻帶內(nèi)，或者同時(shí)均勻分布在兩者之內(nèi)。這樣，就可以使濾波器階數(shù)大大降低。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達(dá)到。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性就具有這種等波紋特性。它有兩種形

39、式： 振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的切比雪夫型濾波器； 振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)下降、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫型濾波器。采用何種形式的切比雪夫?yàn)V波器取決于實(shí)際用途。圖6.2.7(a)和(b)分別畫出不同階數(shù)的切比雪夫型和型濾波器幅頻特性。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖6.2.7 不同階數(shù)的切比雪夫型和型濾波器幅頻特性 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2. 用MATLAB設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)cheb1ap，cheb1ord和cheby1是切比雪夫型濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)。其調(diào)用格式如下: 1） z,

40、 p, k= cheb1ap(N, Rp)2） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As)3） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s)4） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype)5） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype, s)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 【例例6.2.3】 設(shè)計(jì)切比雪夫型和切比雪夫型模擬低通濾波器。要求與例6.2.2相同。 解解 設(shè)計(jì)程序ep623.m如下: 例6.2.3設(shè)計(jì)程序: ep623.m設(shè)計(jì)切比雪夫型模擬低通濾波器wp=2*pi*30

41、00; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; 設(shè)置指標(biāo)參數(shù)N1, wp1=cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s); 計(jì)算切比雪夫型模擬低通濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率B1, A1=cheby1(N1, Rp, wp1, s); 計(jì)算切比雪夫型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) subplot(2, 2, 1); fk=0:12000/512:12000; wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B1, A1, wk); plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid onxlabel

42、(頻率(kHz); ylabel(幅度(dB)axis(0, 12, -70, 5)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 運(yùn)行結(jié)果: N=5切比雪夫型模擬低通濾波器通帶邊界頻率: wp1 =1.8850e+004切比雪夫型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù): B=1.2187e+011A = 1 3.2873e+004 9.8445e+008 1.6053e+013 1.8123e+017 9.7448e+020 濾波器損耗函數(shù)如圖6.2.9所示。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖6.2.9 五階切比雪夫型模擬低通濾波器損耗函數(shù) （例6.

43、2.3的設(shè)計(jì)結(jié)果 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.2.4 橢圓濾波器的設(shè)計(jì)橢圓濾波器的設(shè)計(jì)橢圓（Elliptic）濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋幅頻響應(yīng)特性。由于其極點(diǎn)位置與經(jīng)典場論中的橢圓函數(shù)有關(guān)，所以由此取名為橢圓濾波器。又因?yàn)樵?931年考爾（Cauer）首先對這種濾波器進(jìn)行了理論證明，所以其另一個(gè)通用名字為考爾（Cauer）濾波器。橢圓濾波器的典型幅頻響應(yīng)特性曲線如圖6.2.10所示。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 由圖6.2.10(a)可見，橢圓濾波器通帶和阻帶波紋幅度固定時(shí)，階數(shù)越高, 過渡帶越窄； 由圖6.2.10(b

44、)可見，當(dāng)橢圓濾波器階數(shù)固定時(shí)，通帶和阻帶波紋幅度越小, 過渡帶就越寬。所以橢圓濾波器的階數(shù)N由通帶邊界頻率p、阻帶邊界頻率s、通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減 s共同決定。后面對五種濾波器的比較將證實(shí)，橢圓濾波器可以獲得對理想濾波器幅頻響應(yīng)的最好逼近，是一種性能價(jià)格比最高的濾波器，所以應(yīng)用非常廣泛。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖6.2.10 橢圓濾波器幅頻響應(yīng)特性曲線第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 橢圓濾波器逼近理論是復(fù)雜的純數(shù)學(xué)問題，該問題的詳細(xì)推導(dǎo)已超出本書的范圍。只要給定濾波器指標(biāo)，通過調(diào)用MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的橢圓濾

45、波器設(shè)計(jì)函數(shù)，就很容易得到橢圓濾波器系統(tǒng)函數(shù)和零極點(diǎn)位置。MATLAB信號(hào)處理工具箱提供橢圓濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)ellipap、 ellipord和ellip。其調(diào)用格式如下: 1） z, p, k= ellipap(N, Rp, As)用于計(jì)算N階歸一化（通帶邊界頻率wp=1）模擬低通橢圓濾波器的零點(diǎn)向量z、極點(diǎn)向量p和增益因子k。Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。返回長度為N的列向量z和p分別給出N個(gè)零點(diǎn)和N個(gè)極點(diǎn)的位置。 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2） N, wpo= ellipord(wp, ws, Rp, As)用于計(jì)算滿足指標(biāo)的橢圓數(shù)字

46、濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率wpo，指標(biāo)要求由參數(shù)(wp, ws, Rp, As)給定。參數(shù)(wp, ws, Rp, As)的定義與巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)buttord中的相應(yīng)參數(shù)相同。3） N, wpo= ellipord(wp, ws, Rp, As, s) 用于計(jì)算滿足指標(biāo)的橢圓模擬濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率wpo。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype)當(dāng)wpo是表示濾波器通帶邊界頻率的標(biāo)量，而且缺省參數(shù)ftype時(shí)，該格式返回N階低通橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B和A，

47、濾波器通帶波紋為Rp dB； 當(dāng)ftype=high時(shí)，返回N階高通橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A。當(dāng)wpo是表示帶通濾波器通帶邊界頻率的二元向量，而且缺省參數(shù)ftype時(shí)，該格式返回2N階帶通橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B和A，濾波器通帶波紋為Rp dB。當(dāng)ftype=stop時(shí)，返回2N階帶阻橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A。二元向量參數(shù)wpo表示阻帶上下邊界頻率。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 5） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype, s) 計(jì)算橢圓模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A。當(dāng)然，其中的邊界頻率均

48、為實(shí)際模擬角頻率值（rad/s）。 【例例6.2.4】 設(shè)計(jì)橢圓模擬低通濾波器。要求與例6.2.2相同。設(shè)計(jì)程序ep624.m如下: % 橢圓濾波器設(shè)計(jì)程序wp=2*pi*3000; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; %設(shè)置指標(biāo)參數(shù)N, wpo=ellipord(wp, ws, Rp, As, s); %計(jì)算橢圓低通模擬濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率B, A=ellip(N, Rp, As, wpo, s); 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) %計(jì)算低通模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)省去以下繪圖部分運(yùn)行結(jié)果: 橢圓模擬低通濾波器階數(shù): N=4模擬低通濾波器

49、通帶邊界頻率: wpo=1.8850e+004橢圓模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù): B=0.0010 8.3913e015 2.9126e+007 8.0051e004 1.0859e+017A= 1 3.3792e+004 9.3066e+008 1.3646e+013 1.0984e+017第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 濾波器損耗函數(shù)如圖6.2.11所示。雖然本例中橢圓濾波器階數(shù)是4，但從圖6.1.11可以看出，四階橢圓模擬低通濾波器的過渡帶寬度小于7 kHz，比指標(biāo)要求（9 kHz）窄2 kHz。 而例6.2.3中需要五階切比雪夫模擬低通濾波器，且

50、其過渡帶寬度大于7 kHz。對于本例的設(shè)計(jì)指標(biāo)，如果用巴特沃斯模擬低通濾波器，計(jì)算所要求的階數(shù)N=7。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖6.2.11 四階橢圓模擬低通濾波器損耗第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.2.5 五種類型模擬濾波器的比較五種類型模擬濾波器的比較 前面討論了四種類型的模擬低通濾波器（巴特沃思、切比雪夫型、切比雪夫型和橢圓濾波器）的設(shè)計(jì)方法，這四種濾波器是主要考慮逼近幅度響應(yīng)指標(biāo)的濾波器，第五種（貝塞爾濾波器）是主要考慮逼近線性相位特性的濾波器。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 當(dāng)階數(shù)相同時(shí)，

51、對相同的通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減s，巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。兩種類型的切比雪夫?yàn)V波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。切比雪夫型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性。切比雪夫型濾波器的通帶幅頻響應(yīng)幾乎與巴特沃思濾波器相同，阻帶是等波紋幅頻特性。橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 相位逼近情況: 巴特沃思和切比雪夫?yàn)V波器在大約3/4的通帶上非常接近線性相位特性，而橢圓濾波器僅在大約半個(gè)通帶上非常接近線性相位特性。貝塞爾濾波

52、器在整個(gè)通帶逼近線性相位特性，而其幅頻特性的過渡帶比其他四種濾波器寬得多。復(fù)雜性: 在滿足相同的濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)條件下，巴特沃思濾波器階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低，而且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)而言，橢圓濾波器的性能價(jià)格比最高，應(yīng)用較廣泛。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.2.6 頻率變換與高通、 帶通、 帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 由于經(jīng)典的模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)資料（公式、圖表）非常成熟，以前在設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，常先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成需要的濾波器類型（高通、帶通、帶阻）。 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾

53、波器的設(shè)計(jì) |HHP(j)|10.50sp圖 高通濾波器高通、帶通、 帶阻濾波器概念及其指標(biāo)參數(shù)。( )( )|ppHHPpsHsG p1p歸一化通帶邊界頻率第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 帶通濾波器|HBP(j)|10.50plslphsh220( )( )|pwBPspsBHsG pwphplB 20plphslsh 通帶寬度中心頻率1p歸一化通帶邊界頻率第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 帶阻濾波器|HBS(j)|10.50plslshph220( )( )|wpBSsBpsHsG pwshslB 20plphslsh 通帶寬度

54、中心頻率1p歸一化通帶邊界頻率第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，現(xiàn)在可以不采用頻率變換的方法，由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，現(xiàn)在可以不采用頻率變換的方法，直接應(yīng)用直接應(yīng)用Matlab工具箱設(shè)計(jì)模擬濾波器（低通、高通、帶工具箱設(shè)計(jì)模擬濾波器（低通、高通、帶通和帶阻）。通和帶阻）。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.3 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 給定一個(gè)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)，要求設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器：1.首先將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)2.設(shè)計(jì)相應(yīng)的模擬濾波器，得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)3.將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H

55、a(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 從模擬濾波器（從模擬濾波器（AF）設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器（）設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器（DF）確定需要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的H(z)指標(biāo)設(shè)計(jì)相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)選擇合適的的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法(脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法)，將DF指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的AF指標(biāo)用選擇的設(shè)計(jì)方法(脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法) ，將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 由模擬變換到數(shù)字的映射必須滿足兩條基 本 要 求：因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(

56、z).為 保 持 濾 波 器 穩(wěn) 定 性，S 平 面 的 左 半 平 面 必 須 映 射 到Z 平 面 的 單 位 圓 內(nèi)， 即Res0 |z|1H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)。S 平 面 的 虛 軸 j 必 須 映 射 到 Z 平 面 的 單 位 圓上，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器條件由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器條件0Sz- 110Sz- 11第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 轉(zhuǎn)換方法介紹兩種：脈沖響應(yīng)不變法，雙線性變換法轉(zhuǎn)換方法介紹兩種：脈沖響應(yīng)不變法，雙線性變換法學(xué)習(xí)這兩種轉(zhuǎn)換方法，著重分析如下幾點(diǎn)1.從Ha(s)到H(z)

57、的公式2.分析這種轉(zhuǎn)換方法的性能 (1)是否實(shí)現(xiàn)模擬因果穩(wěn)定到數(shù)字因果穩(wěn)定轉(zhuǎn)換 (2)模擬系統(tǒng)虛軸是否轉(zhuǎn)換到數(shù)字系統(tǒng)單位圓 (3)得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)的相似程度3.優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 為了簡化推導(dǎo)，設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)sk(k=1, 2, , N), 且分母多項(xiàng)式階次高于分子多項(xiàng)式階次，則Ha(s)可以用如下部分分式表示：(1) 對Ha(s)拉氏逆變換，求得單位沖激響應(yīng)ha(t): NkkkassAsH1)( )(

58、)kNs takkh tA e u t1第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (2) 對ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n): (3) 對h(n)進(jìn)行Z變換得到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z): ( )()()()( )kkNNs nTs Tnakkkkh nh nTA eu nTA eu n11( )()( )kkNNs Tnnkks TnkkAH zA eu n zez 1111111( )( )1(kNNkkas TkkkAAHssH zssezz平面）（ 平面）NkkkassAsH1)( )( )kNs takkh tA e u t1第六章第六章 IIRII

59、R數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) nnTtthth)()()(aa nsnTstnstnThtnTtthdtthsHe )(de)()(e )()(aaaasTsTznznnsnTzHznhnhsHeea| )(|)(e )()(上式表明理想采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的采樣序列上式表明理想采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的采樣序列h(n)的的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：sTez )(ath設(shè)s=+j, z=rej, 則rej=e (+j)T= eT ejT所以r=eT =T表明，數(shù)字頻率與模擬頻率之間是線性關(guān)系，這是脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)之一。 =0時(shí)，r=1，s平

60、面的虛軸映射為z平面的單位圓；0時(shí)，r1, s平面的左半映射為z平面的單位圓內(nèi)； 0時(shí)，r1，s平面的右半映射為z平面的單位圓外。sTze分析脈沖響應(yīng)不變法的性能分析脈沖響應(yīng)不變法的性能第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) () ()aakkHjHjTT 12kajTkjHTeH)2(1)()()jM TsTjTTj TTTzeeeeeeM 2為整數(shù)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益隨T變化，特別是T很小時(shí)增益很大，容易造成溢出，所以，工程實(shí)際中采用以下實(shí)用公式： h(n)=Tha(nT)這時(shí) NkTskzeTAzHk11