工程制圖第三章 點、直線、平面的投影

1、第三章第三章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影第一節(jié)第一節(jié) 點的投影點的投影1-1 兩投影面體系中點的投影兩投影面體系中點的投影一、兩投影面體系的建立VXO水平投影面 H 正面投影面 V 投 影 軸 OX二、兩投影面體系中點的投影點A的水平投影 a點A的正面投影 aaAZYXa三、點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置四、兩面投影圖的畫法HXHVOa aaxxzya五、兩面投影圖的性質(zhì)1) aaOX 2) aax =Aa , aax =Aa 通常不畫出投影面的邊界1-2 三投影面體系中點的投影三投影面體系中點的投影一、三投影面體系的建立水平投影面 - H HV - OX正面投影面 - V

2、 V W - OZ 側(cè)面投影面 - W HW - OY ZYWOO二、 三投影面體系中點的投影點A的水平投影 a 點A的正面投影 a點A的側(cè)面投影 aHa aa VWXOZYWYHaaaA 1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA 三、點的直角坐標與三面投影的關(guān)系VXZYWOayaxazxyzaaaA1. aa X軸，aaz = aay = xA2. aaZ軸， aax =aa y = zA3. aax = aaz =yA四、三投影面體系中點的投影規(guī)律五、特殊點的投影HVOXb bc cCcca bBb Aa

3、a a1-3 兩點的相對位置兩點中x值大的點 在左兩點中y 值大的點 在前 兩點中z 值大的點 在上a a ab b bBA1- - 4 重影點的投影重影點的投影cd(c)dCDa(b)abAB例題例題1 已知點A的正面與側(cè)面投影，求點A的水平投影。a注：因為平面是無限大的，所注：因為平面是無限大的，所 以一般以一般不畫出平面邊框。不畫出平面邊框。例題例題2 已知點A在點B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求點A的投影。a a a985第二節(jié)第二節(jié) 直線的投影直線的投影基本要求2-1 直線的投影 直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點。abc(d)2-2 直線對投影面的相對位置一、特殊位置直線

4、1.直線平行于一個投影面 (1) 水平線 (2) 正平線 (3) 側(cè)平線2.直線垂直于一個投影面 (1) 鉛垂線 (2) 正垂線 (3) 側(cè)垂線3.從屬于投影面的直線 從屬于投影面的直線 從屬于投影面的鉛直線 從屬于投影軸的直線二、一般位置直線(1) 水平線 只平行于水平投影面的直線aababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：1ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2 ab=AB。 3反映、 角的真實大小。（2）正平線只平行于正面投影面的直線Xabab baOZYHYW 投影特性： 1 ab 平行于 OX ; a b平行于 OZ。 2 a b=AB。 3 反映、角的真實

5、大小aababbAB投影特性： 1 ab 平行于 OZ ; ab平行于 OYH 。 2 ab =AB。 3反映 、 角的真實大小。（3）側(cè)平線只平行于側(cè)面投影面的直線aa b a bbABXZa b bbaOYHYWaZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1 a b 積聚 成一點。 2 a bOX ; a b OYW 。 3 a b = a b = AB。（1）鉛垂線 垂直于水平投影面的直線b a(b)a abAB（2）正垂線 垂直于正面投影面的直線投影特性： 1 a b 積聚 成一點。 2 ab OX ; ab OZ。 3 ab = ab =AB。bababaABZXab baOYHY

6、Wab（3）側(cè)垂線 垂直于側(cè)面投影面的直線投影特性： 1 ab 積聚 成一點。 2 ab OYH ; ab OZ。 3 ab = ab =AB。baababZXabbaOYHYWabAB從屬于V 面的直線ZXabaOYHYWabbBbbabaA a從屬于V 投影面的鉛直線ZYWbXaba(b)OYHa從屬于OX軸的直線ZXabaOYHYWabb二、一般位置直線ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：1 a b、 ab、a b均小于實長。 2 a b、ab、a b均傾斜于投影軸。 3不反映 、 、 實角。四、作圖1 求直線的實長及對水平投影面的夾角角2 求直線的實長及對正面投影面的夾

7、角角3 求直線的實長及對側(cè)面投影面的夾角角 例題12-3 一般位置線段的實長及其與投影面的夾角1 求直線的實長及對水平投影面的夾角角|zA-zB |AB|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|abO|yA-yB|a bABABa b|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|2 求直線的實長及對正面投影面的夾角 角O3 求直線的實長及對側(cè)面投影面的夾角 角|xA-xB|xA-xB|例題例題1 已知 線段的實長AB，求它的水平投影。a|zA-zB|abABab|zA-zB|O直線上的點具有兩個特性： 1從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直

8、線上找點，或判斷已知點是否在直線上。 2定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點或判斷已知點是否在側(cè)平線上。 例題2 例題3 例題42-4 屬于直線的點例題例題2 2 已知線段AB的投影圖，試將AB分成21兩段，求分點C的投影c、c 。ccOac例題例題3 3 已知點C在線段AB上，求點C 的正面投影。cabccO例題例題4 已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點C的投影， 使BC 的實長等于已知長度L。cLABzA-zBcabO2-5

9、 兩直線的相對位置 一、平行兩直線二、相交兩直線 三、交叉兩直線四、交叉兩直線重影點投影的可見性判斷 例題5 例題6 例題7一、平行兩直線 1若空間兩直線相互平行，則它們的同名投影必然相互平行。反之，如果兩直線的各個同名投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。 2平行兩線段之比等于其投影之比。dcdcXbaabO二、相交兩直線 當兩直線相交時，它們在各投影面上的同名投影也必然相交，且交點符合空間一點的投影規(guī)律。反之亦然。cbXaabkddckO三、 交叉兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 bXaabcddc11(2)2O四、交叉兩直線重影點投影的可見性判斷(3 )4 1(

10、2)43341 2 判斷兩重影點其積聚性投影的可見性時，需要看兩重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。例題例題5 5 判斷兩直線的相對位置dacbOYWYHz例題例題6 6 判斷兩直線的相對位置11dc 11O例題例題7 7 判斷兩直線重影點的可見性3(4)34121(2)O2-6 直角投影定理一、垂直相交的兩直線的投影定理一定理一垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二定理二 相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。二、交叉垂直的兩直線

11、的投影定理三定理三相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四定理四兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。例題8例題9例題10一、垂直相交的兩直線的投影AB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab accXbacbaOAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab ac二、交叉垂直的兩直線的投影O例題例題8 8 過點A作線段EF的垂線AB，并使AB平行于V 面。bb例題例題9 9 過點E作線段AB、CD的公垂線EF。ffO 例題例題1010 作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BC AB

12、 =2 3。bbcABab|yA-yB|bc=BCcO第三節(jié)第三節(jié) 平面的投影平面的投影基本要求3-1 平面的表示法一、用幾何元素表示平面 用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。二、平面的跡線表示法 平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。 一、用幾何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcddXXXXXOOOOO二、 平面的跡線表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ3-2 各種位置平面的投影特性一、投影面的垂直面1鉛垂面2正垂面3側(cè)垂面二、投影面的平行

13、面1水平面2正平面3側(cè)平面三、一般位置平面PPH1鉛垂面投影特性 (1) abc積聚為一條線。 (2) abc、 abc為ABC的類似形。 (3) abc與OX、 OY的夾角反映、角的真實大小。 ABCacbabab bab ccc鉛垂面跡線表示法PPHPHPVPWXZOYHYWQQV 2正垂面 投影特性 (1) abc 積聚為一條線。 (2) abc、 abc為 ABC的類似形。 (3) abc與OX、 OZ的夾角反映、 角的真實大小。 AcCabBbababaccc正垂面的跡線表示法 QQVQHXQVYHQWOZYWSWS 3側(cè)垂面投影特性 (1) abc積聚為一條線。 (2) abc、

14、abc為 ABC的類似形。 (3) abc與OZ、 OY的夾角反映、角的真實大小。 CabABcbababaccc側(cè)垂面的跡線表示法VWSwSSHYHXSVOSWYWZ1水平面投影特性： (1) abc、 abc積聚為一條線，具有積聚性。 (2) 水平投影 abc反映 ABC實形。 CABabcbacabccabbbaacc2正平面投影特性： (1) abc 、 abc 積聚為一條線，具有積聚性。 (2) 正平面投影 abc反映 ABC實形。 cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性： (1) abc 、 abc 積聚為一條線，具有積聚性。 (2) 側(cè)平面投影 abc 反映 ABC實

15、形 。 3側(cè)平面abbbacccabcbacabcCABa三、一般位置平面投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均為 ABC的類似形。 (2) 不反映、 的真實角度。 abccabbaaabbccbacABC3-3 屬于平面的點和直線一、屬于一般位置平面的點和直線二、屬于特殊位置平面的點和直線三、屬于平面的投影面平行線四、屬于平面的最大斜度線一、屬于一般位置平面的點和直線1平面上的直線 直線在平面上的幾何條件是：通過平面上的兩點；通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。2平面上的點 點在平面上的幾何條件是：點在平面內(nèi)的某一直線上。 在平面上取點、直線的作圖，實質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔

16、助線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以解決三類問題：判別已知點、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點和直線的投影；完成多邊形的投影。例題1 例題2 例題31取屬于平面的直線 取屬于定平面的直線，要經(jīng)過屬于該平面的已知兩點；或經(jīng)過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。EDFddeeff 2取屬于平面的點 取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線EDddee例題例題1 已知給定一平面 ABC ，試判斷點D是否屬于該平面。ddee例題例題2 已知點D在 ABC上，試求點D的水平投影 。dd例題例題3 已知點E在 ABC上，試求點E的正面投影 。ee二、屬于特殊位置平面的點

17、和直線 1取屬于投影面垂直面的點和直線 2過一般位置直線總可作投影面的垂直面 (1) 幾何元素表示法 (2) 跡線表示法 3過特殊位置直線作平面 (1) 過正垂線作平面 (2) 過正平線作平面 bb1 取屬于投影面垂直面的點和直線aaeffeabbaSbaabAB2過一般位置直線總可作投影面的垂直面過一般位置直線AB作鉛垂面PH過一般位置直線AB作正垂面SVPPHSVAB(1) 過一般位置直線作投影面的垂直面(幾何元素表示法)mn(n)(m)(2) 過一般位置直線作投影面的垂直面(跡線表示法)baSVQWPH(1) 過正垂線作平面 (跡線表示法)PVSVQVRV（a ）給題（c）作側(cè)平面（ b

18、）作水平面（d）作正垂面（有無窮多個）(2) 過正平線作平面PHSHgg（a ）給題（c）作正垂面（ b）作正平面（d）作一般位置平面（有無窮多個）三、屬于平面的投影面平行線屬于平面的水平線和正平線 例題4 例題5P屬于平面的水平線和正平線PVPH例題例題4 已知 ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面 的水平線。mnnm例題例題5 已知點E 在ABC平面上，且點E距離H面15，距離V 面10，試求點E的投影。mnmnrsrs1015ee四、屬于平面的最大斜度線1平面上的投影面最大斜度線平面上對某個投影面傾角最大的直線。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的傾角。2平

19、面上對某投影面的最大斜度線與該平面上對某投影面的平行線相互垂直。3平面上的投影面最大斜度線有三組，即分別對正面投影面、水平投影面及側(cè)面投影面三組最大斜度線。 （1）平面上對水平投影面的最大斜度線 （2）平面上對正面投影面的最大斜度線 （3）平面上對側(cè)面投影面的最大斜度線 例題6 例題7 例題8 例題9PCDE1 SaAE（1）平面上對水平投影面的最大斜度線 EF AB平行于 H， EF垂直于 ABPEFBA（2）平面上對正面投影面的最大斜度線 CD AB平行于V， CD垂直于 ABPCDBA（3） 平面上對側(cè)面投影面的最大斜度線 MN AB 平行于W， MN垂直于ABPBAMN例題例題6 求作

20、 ABC平面上對水平面的最大斜度線BE 。bddee例題例題7 求 ABC平面與水平投影面的夾角 。BEZb-Zebe 例題例題8 過正平線作平面與正面投影面成 30。30ABYb-Yaaabbb例題例題9 已知直線EF為某平面對H面的最大斜度線，試作出該平面。aa給題第四節(jié)第四節(jié) 直線與平面的相對位置直線與平面的相對位置 兩平面的相對位置兩平面的相對位置基本要求（一）平行問題 1熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； 2熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問題 1熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影

21、具有積聚性）。 2熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。 3掌握利用重影點判別投影可見性的方法。（三）垂直問題 掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。（四）點、線、面綜合題 1熟練掌握點、線、面的基本作圖方法； 2能對一般畫法幾何綜合題進行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。4-1 直線與平面平行 兩平 面平行一、直線與平面平行幾何條件幾何條件 若平面外的一條直線平行于屬于定平面的一條直線，則該直線與該平面平行。 有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。 例題1 例題2二

22、、平面與平面平行幾何條件幾何條件 若一個平面內(nèi)的相交二直線與另一個平面內(nèi)的相交二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。 兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。 例題3 例題4 例題5一、直線與平面平行 若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行。例題例題1 試判斷直線AB是否平行于定平面。 fgfg結(jié)論：直線AB不平行于定平面。例題例題2 試過點K作水平線AB平行于CDE平面。 baaffb二、兩平面平行 若屬于一平面的相交兩直線對應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行。EFDACB例題例題3 試判

23、斷兩平面是否平行。mnmnrrss結(jié)論：兩平面平行。例題例題4 已知定平面由平行兩直線AB和CD給定，試過點K作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrkk例題例題5 試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因為PH平行SH，所以兩平面平行。4-2 直線與平面的交點、兩平 面的交線一、直線與平面相交只有一個交點二、兩平面的交線是直線三、特殊位置線面相交四、一般位置平面與特殊位置平面相交五、直線與一般位置平面相交六、兩一般位置平面相交一、直線與平面相交直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。BKAM二、平面與平面相交兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有。FKNL三、特殊位置線面

24、相交直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點可直接求出。bbaaccmmnnkk判斷直線的可見性 特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。 kbbaaccmmnnk( ) 求鉛垂線EF與一般位置平面ABC的交點并判別其可見性。k21k21四、一般位置平面與特殊位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交線可直接求出。一般位置平面與特殊位置平面相交判斷平面的可見性一般位置平面與特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkMm

25、nlPBCacbPHAFKNLkf判斷平面的可見性判斷平面的可見性五、直線與一般位置平面相交 以正垂面為輔助平面求線面交點 示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點 示意圖判別可見性 示意圖1 1 2 2 以正垂面為輔助平面求線面交點QV2 21 1kk步驟：1過EF作正垂平面Q。2求Q平面與ABC的交線。3求交線與EF的交點K。示意圖ABCQ過MN作正垂面Q以正垂面為輔助平面求線面交點 示意圖MN1 12 2以鉛垂面為輔助平面求線面交點。PH1 1 步驟：1過EF作鉛垂平面P。2求P平面與ABC的交線。3求交線與EF的交點K。kk2 2 示意圖CAB過MN作鉛垂面PPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面

26、交點 示意圖NMfee直線EF與 ABC相交，判別可見性。利用重影點判別可見性12 24 4 kk示意圖( )2 2 1 （ ）3 3 3 34 4直線EF與平面 ABC相交，判別可見性示意圖1 1 (2 2 )(4 4)3 3利用重影點判別可見性六、兩一般位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題, 因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。 兩一般位置平面相交求交線 示意圖 判別可見性 例題6 兩一般位置平面相交，求交線步驟：1用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。求兩平面的交線llnmmnPVQV1 1 2 2 2

27、 21 1kkee2連接兩個共有點，畫出交線KE。示意圖兩一般位置平面相交求交線的方法 示意圖 利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性3 3 4 4 ( )3 4 3 4 2 21 1( )1 1 2 2 例題例題6 試過點K作一直線平行于已知平面ABC，并與直線EF相交 。分析 過已知點K作平面P平行于 ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH作圖mnhhnmPV11221過點K作平面KMN/ ABC平面。2求直線EF與平面KMN的交點H 。3連接KH，KH即為所求。4-3

28、 直線與平面垂直、兩平面垂直直線與平面垂直、兩平面垂直直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。 定理1 若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。knkn定理2（逆） 若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。例題例題7 平面由 BDF給定，試過定點K作平面的法線。acacnnkkh例題例題8 試過定點K作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b）例題例題9 平面由兩平行線AB、CD給

29、定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。efef例題例題10 試過點N作一平面，使該平面與V面的夾角為60 ，與H面的夾角為45 。分析：平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角直徑任取NM 作圖過程|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|30304545m nmnkhnn兩平面垂直的幾何條件 若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD 反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。兩平面垂直兩平面不垂直g例題例題11 平面由 BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面。hacachg例題例題1

30、2 試判斷 ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否 垂直。ffdd結(jié)論：因為AD直線不在 ABC平面上，所以兩平面不垂直。例題例題13 試過定點A作直線與已知直線EF正交。分析 過已知點A作平面垂直于已知直線EF，并交于點K，連接AK，AK即為所求。QAFEK作圖2 2 1PV1 1 2 22 2 1 1a efaf e 1 1 2 2kk第五節(jié)第五節(jié) 投影變換投影變換 基本要求 （1）掌握換面法的基本原理和換面法作圖的投影變換規(guī)律。 （2）掌握用換面法求線段實長、平面圖形實形及其對投影面的傾角基本作圖方法。 （3）掌握用換面法解決一般空間幾何元素間的定位和度量問題。5-1 概 述 aa

31、bb 兩點之間距離aabbcc三角形實形aabbccdd 直線與平面的交點abcdabcd 兩平面夾角5-2 換面法一、換面法的基本概念二、新投影面的選擇原則三、點的投影變換規(guī)律四、六個基本問題VACB c bX aa bc一、換面法的基本概念 換面法空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替舊的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H 體系變?yōu)閂1/H 體系a1c1b1V1X1X1bcabacXc1b1a1一、換面法的基本概念 換面法空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替舊的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，然后找出其

32、在新投影面上的投影。V/H 體系變?yōu)閂1/H 體系a1c1b1V1X1X1bcabacXc1b1a1（二）、新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件：1新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。2新投影面必須垂直于一個不變投影面。二、新投影面的選擇原則三、點的投影變換規(guī)律1點的一次變換2點的投影變換規(guī)律3點的兩次變換1點的一次變換X1V1a1a1X1 V1a1X1HV1 V1a12 點的投影變換規(guī)律（1） 點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。（2） 點的新投影到新投影軸的距離等于點的舊投影到舊投影軸的距離。H1X1 點在V/H1體系中的投影 X1H1Va1a1a23 點的兩次變換X

33、2H2V12X2a2四、六個基本問題四、六個基本問題（一） 把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€ 例題1（二） 把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€（三） 把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€ 例題2 例題3（四） 把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?例題4 例題5（五） 把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻妫?把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?例題6V1X1（一） 把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€ a1 b1a1b1 X1V1H例題例題1 把一般位置直線變?yōu)镠1投影面平行線 X1H1Va1b1X1H1Va1 b1（二） 把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€ bb1X1a1b1 （三） 把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€V1X1

34、a1 b1作圖過程2a2 b2把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€X2H2V1a2 b2X1HV1a1b1 例題例題2 求點C到直線AB的距離提示作圖過程c2作圖c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2 k2a2距離211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b例題例題3 求兩直線AB與CD的公垂線 。 a cXVHbb ac（四） 把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?c ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d1k1X1H1Vb1a1c1 d1s1例題例題4 求點S到平面ABC的距離距離Ne ddX1VH1k1e1例題例題5 已知E到

35、平面ABC的距離為N，求E點的正面投影e。b1a1c1d1（五）（五） 把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻姘淹队懊娲怪泵孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻?V1c1b1a1X1作圖過程X1V1c1b1a1a1c1b1X1 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1（六） 把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?實形例題例題6 已知E點在平面ABC上，距離A、B為15，求點E的投影。 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e25-3 旋轉(zhuǎn)法繞投影面垂直軸旋轉(zhuǎn)一、旋轉(zhuǎn)法的基本概念二、點旋轉(zhuǎn)時的投影變換規(guī)律三、直線和平面的旋轉(zhuǎn)四、四個基本問題 一、旋轉(zhuǎn)法的基本概念 旋轉(zhuǎn)法就是投影面保持不動，使空間幾何元素