導(dǎo)數(shù)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)、經(jīng)典例題與解析、近年高考題帶答案

1、WORD格式PAGE2 / NUMPAGES14導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【考綱說(shuō)明】1、了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。2、熟記八個(gè)基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3、理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào))；會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值?！局R(shí)梳理】導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算數(shù)函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的極值函數(shù)的

2、最值一、導(dǎo)數(shù)的概念y函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量y=f（x0+x）f（x0），比值x叫做函yf(x0 x)f(x0)y數(shù)y=f（x）在x0到x0+x之間的平均變化率，即x有極限，我們=x。如果當(dāng)x0時(shí)，xx。x就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f（x0）或y|0ylimxx即f（x0）=0f(x0 x)f(x0)limxx=0。說(shuō)明：1yy（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是指x0時(shí)，x有極限。如果x不存在極限，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。（2）x是自變量x在x0處的改變量，x0時(shí)，而y是函數(shù)值

3、的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟：（1）求函數(shù)的增量y=f（x0+x）f（x0）；yf(x0 x)f(x0)（2）求平均變化率x=x；ylim（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f(0 x)=xx0。二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（x0）處的切線的斜率。也就是說(shuō)，曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（x0）處的切線的斜率是f（x0）。相應(yīng)地，切線方程為yy0=f/（x0）（xx0）。三、幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)C0;nnxnx1;(sinx)cosx;(cosx)sinx;xxxx(e)e;(a)alna;ln

4、x1x;1logaxlogaex.四、兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，uv即：(uv).法則2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，uvuv即：().uv若C為常數(shù),則0(CuCuCuCuCu.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：)(CuCu).法則3：兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：uuvuvv=2v（v0）。形如y=f(x)的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解求導(dǎo)回代。法則：y|x=y|uu|x

5、五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，2如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)為常數(shù)；2、極點(diǎn)與極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；3、最值：一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值。求函數(shù)?(x)在(a，b)內(nèi)的極值；求函數(shù)?(x)在區(qū)間端點(diǎn)的值?(a)、?(b)；將函數(shù)?(x)的各極值與?(a)、?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定積

6、分(1)概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0 x1xi1xixnb把區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，nf在每個(gè)小區(qū)間xi1，xi上取任一點(diǎn)i（i1，2，n）作和式Ini1(i)x（其中x為小區(qū)間長(zhǎng)度），把nnbaf(x)dx，即baf(x)dxlimni1f即x0時(shí)，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式?；镜姆e分公式：0dxxC；mdx1m1xm1C（mQ，m1）；1xdxlnxC；xedxxeC；xadxxalnC；c

7、osxdxsinxC；sinxdxcosxC（表中C均為常數(shù)）。a(2)定積分的性質(zhì)babkf(x)dxkf(x)adx（k為常數(shù)）；babbf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)aadx；bacbf(x)dxf(x)dxf(x)dx（其中acb)。ac(3)定積分求曲邊梯形面積3由三條直線xa，xb(ab)，x軸及一條曲線yf(x)(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積bSf(x)dxa。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設(shè)f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（a0，且x1時(shí)，f(x)Inxx1kx，求k的取值X圍。x1a(Inx)b1x,(x)=，且過(guò)點(diǎn)(1,1)，【解析

8、】(1)f由于直線x+2y-3=0的斜率為22(x1)x2f(x)=1b=1故即解得a=1，b=1。1a1,f(1)=b=2222lnx1lnxk1(k1)(x1)，所以()()(2ln)fxx。(2)由（1）知2x1xx1x1xx考慮函數(shù)h(x)2lnx2(k1)(x1)x(x0)，則h(x)2(k1)(x1)2x2x。(i)設(shè)k0，由h(x)22k(x1)(x1)2x知，當(dāng)x1時(shí)，h(x)0。而h(1)0，故當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0，可得112xh(x)0；當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）04從而當(dāng)x0,且x1時(shí)，f（x）-（lnxx1+kx）0，即f（x）lnxx1+kx.（ii）設(shè)0k0

9、,故h（x）0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，2+1）+2x0,故h（x）0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，11k）時(shí)，h（x）0，可得112xh（x）0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）0，可得（x）0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）0，可得矛盾。綜合得，k的取值X圍為（-，0.112xh（x）0,與題設(shè)【例4】（2012XX）已知函數(shù)f(x)=f(1)）處的切線與x軸平行。（）求k的值；lnxxek（k為常數(shù)，e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f(x)在點(diǎn)（1，（）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)g(x)=(x2+x)f(x),其中f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，

10、證明：對(duì)任意x0，2g(x)1e。【解析】由f(x)=lnxxek可得f(x)1xklnxxe1k，而f(1)0，即0e，解得k1；（）f(x)1x1lnxxe，令f(x)0可得x1，11當(dāng)0 x1時(shí)，f1ln0；當(dāng)x1時(shí)，1ln0(x)xf(x)x。xx于是f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為增函數(shù)；在(1,)內(nèi)為減函數(shù)。（）2g(x)(xx)1x1lnx221x(xxexex)lnx，2xxxex2當(dāng)x1時(shí)，10,ln0,0,0 x，2g(x)01e.當(dāng)0 x1時(shí)，要證11lnx2221()ln1xxxxxg(x)(xx)exxee2。只需證22x21x(xx)lnxe(1e)，然后構(gòu)造函數(shù)即可證

11、明。【例5】（2012）已知函數(shù)f(x)a(x1)2x，其中a0.（）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）若直線xy10是曲線yf(x)的切線，XX數(shù)a的值；（）設(shè)2gxxxxfx，求g(x)在區(qū)間1,e上的最大值.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）()ln()5【解析】（）a(2x)f(x)x0(,0)(2,)f(x)0(0,2)f(x)0 x，（），在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.3所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)和(2,)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2).a(x1)0y02x0 xy0010（）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則a(2x)0 x031解得x01，a1.（）g(x)xlnxa(x1)，則g()xl

12、nx1a解g(x)0，得a1xe，所以，在區(qū)間a1(0,e)上，g(x)為遞減函數(shù)，在區(qū)間a1(e,)上，g(x)為遞增函數(shù).當(dāng)a1e1，即0a1時(shí)，在區(qū)間1,e上，g(x)為遞增函數(shù)，所以g(x)最大值為g(e)eaae.當(dāng)a1ee，即a2時(shí)，在區(qū)間1,e上，g(x)為遞減函數(shù)，所以g(x)最大值為g(1)0.當(dāng)a11e0;當(dāng)x213，時(shí)，f(x)0,所以f(x)在x=12處取得極大值，在x=32處取得極小值。（2）若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)則f(x)恒大于等于零或f(x)恒小于等于零，因?yàn)閍0所以=（-2a）2-4a0，解得0a1.【課堂練習(xí)】一、選擇題1.（2011全國(guó)）曲線y=e-2x+1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為（）A13B12C23D12.（2010課標(biāo)全