結構力學穩(wěn)定理論課件2

1、14-3 有限自由度體系的穩(wěn)定 靜力法和能量法1穩(wěn)定計算最基本最重要的方法靜力法：考慮臨界狀態(tài)的靜力特征。 （平衡形式的二重性）能量法：考慮臨界狀態(tài)的能量特征。 （勢能有駐值，位移有非零解）PlABk要點是利用臨界狀態(tài)平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外尋找新的平衡位置，列平衡方程，由此求臨界荷載。l=0，原始平衡0，新平衡形式特征方程（穩(wěn)定方程）臨界荷載MA=k 確定體系變形形式(新的平衡形式)的獨立位移參數(shù)的數(shù)目即穩(wěn)定體系的自由度.PAB轉動剛度系數(shù)kBEI=1、靜力法 對于具有n個自由度的結構，新的平衡形式需要n個獨立的位移參數(shù)確定，在新的平衡形式下也可列出n個獨立的平衡方程，它們是以n

2、個獨立的位移參數(shù)為未知量的齊次代數(shù)方程組。根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征，該齊次方程組除零解外（對應于原有平衡形式），還應有非零解（對應于新的平衡形式），故應使方程組的系數(shù)行列式為零，D=0即為穩(wěn)定方程，從穩(wěn)定方程求出的最小根即為臨界荷載Pcr。2 例1：圖示體系中AB、BC、CD各桿為剛性桿。使用兩種方法求其臨界荷載。lllPkkABCDPkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：1）靜力法設變形狀態(tài) 求支座反力列變形狀態(tài) 的平衡方程（a）如果系數(shù)行列式=0y1，y2不為零，對應新的平衡形式。ABCD1-1對稱問題可利用對稱性做。P32、能量法靜力法對等截面壓桿的穩(wěn)定分

3、析較為簡單，而對變截面桿、有軸向分布荷載作用的桿就較為麻煩。也可從穩(wěn)定與能量的關系來分析穩(wěn)定性。剛性小球運動穩(wěn)定性與能量的關系設靜止點A、B、C點=0ABCA點為穩(wěn)定平衡，偏離A點其勢能將增加，故知穩(wěn)定平衡位置的勢能為最小。B點為隨遇平衡，偏離B點=勢能不變。C點為不穩(wěn)定平衡，偏離C點其勢能將減小，故知不穩(wěn)定平衡位置的勢能為最大。4 對于彈性變形體系，其穩(wěn)定性與能量的關系與剛性小球情況相似。設原始平衡狀態(tài)為零勢能點，讓體系微小偏移，荷載在位移上做功W（外力勢能UP=W）使體系偏移，內力在變形上產(chǎn)生變性能U，使體系恢復原位置?？倓菽?U+ UP即總勢能的增量。 如總勢能=U+ UP 0（0），體

4、系能恢復原位置，平衡是穩(wěn)定的； 如總勢能=U+ UP =0（=0），體系能在任意位置平衡，平衡為中性的； 如總勢能=U+ UP 0（0），體系不能恢復原位置，平衡是不穩(wěn)定的。 用能量法求臨界荷載，依據(jù)于臨界狀態(tài)的平衡條件，它等價于勢能駐值原理：彈性體系在臨界狀態(tài)，其總勢能為駐值，即=0或：=0 （單自由度體系）（用于多自由度體系）PlABklMA=kPABBEI=05彈性體系的平衡方程勢能駐值原理：對于彈性體系， 在一切微小的可能位移中，同時又滿足平衡條件的位移（真實位移）使結構的勢能為駐值，即：=0 , =應變能U+外力勢能UPMA=k22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=

5、k彈性應變能荷載勢能:應用勢能駐值條件:位移有非零解得：PlABkBEI=單自由度體系也可由=0解得：6 總勢能是位移的二次函數(shù)，1）PUP表示體系具有足夠的應變能克服荷載勢能，使壓桿恢復到原有平衡位置)當=0，為極小值0。對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，真實的位移使為極小值2）Pk/l ，當0，恒小于零（為負定） (即UUP表示體系缺少足夠的應變能克服荷載勢能，壓桿不能恢復到原有位置) 。當=0，為極大值0。原始的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。3）P=k/l ，當為任意值時，恒等于零(即U=UP) 。 體系處于中性平衡（臨界狀態(tài)）這時的荷載稱為臨界荷載Pcr=k/l 。PPcrP=Pcr 結論：1）當體系處于穩(wěn)定平

6、衡狀態(tài)時，其總勢能必為最小。2）臨界狀態(tài)的能量特征是：勢能為駐值=0 ，且位移有非零 解。即在荷載達到臨界值前后，總勢能由正定過渡到非正定。3）如以原始平衡位置作為參考狀態(tài)，當體系處于中性平衡P=Pcr 時，必有總勢能=0。對于多自由度體系，結論仍然成立。7Pkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2）能量法在新的平衡位 置各桿端的相 對水平位移)(1222121+-=yyyyl)(212221221+-+=yyyyllD點的水平位移彈性支座應變能:)(22221+=yykU荷載勢能:)(222121+-=-=yyyylPPUPl體系總勢能:)2(2)2(2

7、1222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP勢能駐 值條件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=yyPP以后的計算步驟同靜力法能量法步驟:給出新的平衡形式;寫出總勢能表達式;建立勢能駐值條件;應用位移有非零解的條件,得出特征方程; 解出特征值,其中最小的即臨界荷載Pcr。勢能駐值條件等價于以位移表示的平衡方程。8體系總勢能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP總勢能是位移y1 、y2的對稱實數(shù)二次型。1）如果Pkl/3=Pcr，是正定的。5）如果kl/3 Pkl，是負定的。由此可見，多自由度體系在臨界狀態(tài)的

8、能量特征仍然是：在荷載達到臨界值的前后，勢能由正定過渡到非正定。（或說：勢能達駐值，位移有非零值）非正定9PPllABCk例2：用兩種方法求圖示體系的臨界荷載。并繪其失穩(wěn)曲線。1、靜力法：兩個自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設失穩(wěn)曲 線如圖。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程并求解：求失穩(wěn)曲線：實際失穩(wěn)曲線只是理論上存在的失穩(wěn)曲線102、能量法：外力勢能：PPllABCk2qk()21qq-k應變能：總勢能：根據(jù)勢能駐值條件：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：以下計算同靜力法。11例3：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。兩個自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設

9、失穩(wěn)曲 線如圖。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP12例3：用能量法求圖示體 系的臨界荷載。兩個自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設失穩(wěn)曲 線如圖。求變形能和外力勢能：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP當桿件上無外荷載作用時，桿端力的功=變形能。13P例4：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。EI=兩個自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設失穩(wěn)曲 線如圖。分析受力列平衡方程：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC141-1P例4：用能量法求圖示體系的臨界荷載。 EI=兩個自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設失穩(wěn)曲 線如圖。由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD(