1712圓錐曲線的基本性質(zhì)

1、內(nèi)部資料，不得翻?。「咧袛?shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)講稿第 PAGE 8 頁 共 NUMPAGES 9 頁第 PAGE 9 頁 共 NUMPAGES 9 頁高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)本資源由專人彭劍平整理，未經(jīng)允許不得復(fù)制影印，資源僅供教師研習(xí)，歡迎批評(píng)指正說明：Level A為基本（要求熟悉掌握），Level B為高考（?？家?guī)律總結(jié)），Level C為競(jìng)賽（拓展的課外知識(shí)）注： 本資源僅提供pdf版本 交流： 博客： HYPERLINK /ansontop /ansontop 郵箱： HYPERLINK mailto:anson_ anson_專題： 圓錐曲線的基本性質(zhì) 基本知識(shí)點(diǎn)（Level A）【1】中心

2、在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程1定義（1）第一定義：若、是兩定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，且 （為常數(shù)）則點(diǎn)的軌跡是橢圓（2）第二定義：若為定點(diǎn)，為定直線，動(dòng)點(diǎn)到的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)（），則點(diǎn)的軌跡是橢圓（3）焦半徑：，2標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在軸上： ；焦點(diǎn)在軸上： （2）焦點(diǎn)的位置標(biāo)準(zhǔn)方程形式3幾何性質(zhì)（以焦點(diǎn)在軸上為例）（1）范圍： 、（2）對(duì)稱性：長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距（3）離心率，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁；準(zhǔn)線方程（4）有用的結(jié)論：， ，頂點(diǎn)與準(zhǔn)線距離、焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離分別與有關(guān)（5）中經(jīng)常利用余弦定理、三角

3、形面積公式將有關(guān)線段、，有關(guān)角結(jié)合起來，建立、等關(guān)系（6）橢圓上的點(diǎn)有時(shí)常用到三角換元：（橢圓的參數(shù)方程）_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為 答案：（2）若，且，則的最大值是 ，的最小值是 答案：（3）若橢圓的離心率，則的值是 答案：或（4）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為 答案：【2】中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)1定義：（1）第一定義：平面上一動(dòng)點(diǎn)到平面上兩個(gè)定點(diǎn)、的距離差為定值，且，則點(diǎn)軌跡為雙曲線（2）第二定義：若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離之比是常數(shù)（），則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線（3）焦半徑（點(diǎn)在

4、右支）：，2標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點(diǎn)在軸上： ；焦點(diǎn)在軸上： （2）焦點(diǎn)的位置標(biāo)準(zhǔn)方程形式3幾何性質(zhì)（以焦點(diǎn)在軸上為例）（1）范圍：或、（2）對(duì)稱性：實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距（3）離心率等軸雙曲線；越小，開口越小；越大，開口越大；準(zhǔn)線方程（4）漸近線方程：（5）等軸雙曲線：當(dāng)離心率兩漸近線互相垂直，分別為，此時(shí)雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為；（6）注意中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、和角結(jié)合起來_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程 答案：（2）設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線C過點(diǎn)，則的方程為 答案：（3）雙曲線的漸近線方程是

5、，則該雙曲線的離心率等于 答案：或（4）雙曲線的離心率為，則 答案：或（5）設(shè)雙曲線中，離心率,則兩條漸近線夾角的取值范圍是 答案：【3】頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)1定義：到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線即：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比是常數(shù)（）2標(biāo)準(zhǔn)方程（以焦點(diǎn)在軸的正半軸為例）：（其中為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦參數(shù)）開口向右時(shí)；開口向左時(shí)；開口向上時(shí)；開口向下時(shí)3幾何性質(zhì)，以為例：（1）范圍：；焦點(diǎn)：，通徑，準(zhǔn)線：；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸，沒有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)；離心率：焦半徑：；過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)（2）幾何特征：焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；通徑長(zhǎng)（通徑是最短的焦點(diǎn)

6、弦），頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段中點(diǎn)（3）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為或或，其中_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：設(shè)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 答案：【4】圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上（2）雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開口方向特別提醒： 在求解橢圓、雙曲線問題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)、的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；而方程中的兩個(gè)參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題

7、時(shí)，首先要判斷開口方向 在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是 答案：【5】點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)【6】焦點(diǎn)三角形橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦點(diǎn)的面積為1在橢圓中： ，且當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大為； ，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為2對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有： ； _ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：（1）短軸長(zhǎng)為，離心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為、，過作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為

8、 答案：（2）設(shè)是等軸雙曲線右支上一點(diǎn)，、，是左右焦點(diǎn)，若，則該雙曲線的方程為答案：（3）橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是答案：（4）雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，離心率，、是它的左右焦點(diǎn)，若過F1的直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，且是與等差中項(xiàng)，則答案：（5）已知雙曲線的離心率為，、是左右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案： 拓展知識(shí)點(diǎn)（Level B）【1】定義解題（1）橢圓：第一定義：平面上一動(dòng)點(diǎn)到平面上兩個(gè)定點(diǎn)、的距離和為定值，且，則點(diǎn)軌跡為橢圓（2）雙曲線：第一定義：平面上一動(dòng)點(diǎn)到平面上兩個(gè)定點(diǎn)、的距離差為定值，且，則點(diǎn)軌跡為雙曲線（3）三種圓錐曲線的

9、統(tǒng)一定義：，為橢圓；為拋物線；為雙曲線【2】過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法（1）“中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程”或者“過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程”可設(shè)為（，同時(shí)大于時(shí)表示橢圓，時(shí)表示雙曲線）方程表示橢圓的充要條件是：，且、，同號(hào)且方程表示雙曲線的充要條件是：，且、異號(hào)（2）當(dāng)雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為（3）若雙曲線與有公共漸近線，即以為漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上；，焦點(diǎn)在軸上）_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線方程為 答案： 深化知識(shí)點(diǎn)（Level C）【1】圓錐曲線中的精要結(jié)論橢圓（1）

10、內(nèi)接矩形最大面積：； （2），為橢圓上任意兩點(diǎn)，且，則 （3）橢圓焦點(diǎn)三角形： = 1 * roman i ； = 2 * roman ii點(diǎn) 是內(nèi)心，交于點(diǎn)，則（4）當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)最大（5）共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程（是大于的參數(shù)，的離心率也是，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程【2】圓錐曲線中的精要結(jié)論雙曲線（1）雙曲線的漸近線：（2）共漸進(jìn)線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為（為參數(shù)，）（3）雙曲線焦點(diǎn)三角形：1），（）；2）是雙曲線的左（右）支上一點(diǎn)，、分別為左、右焦點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為（4）等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為 （漸近線互相垂直），離心

11、率（5）共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為（6）共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：（7） 若在雙曲線，常用結(jié)論1：到焦點(diǎn)的距離為，則到兩準(zhǔn)線的距離比為簡(jiǎn)證：常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于（8）直線與雙曲線的位置關(guān)系：過雙曲線外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：區(qū)域：即點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，條與雙曲線一支相切的切線，條與漸近線平行的直線，合計(jì)條；區(qū)域：即定點(diǎn)在雙曲線上，條切線，條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；

12、區(qū)域：即點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，條切線，條與漸近線平行的直線，合計(jì)條；區(qū)域：即點(diǎn)在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，條切線，條與漸近線平行的直線，合計(jì)條；區(qū)域：即點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，無切線，無與漸近線平行的直線小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有、條若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為兩個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入“”法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào)【3】圓錐曲線中的精要結(jié)論拋物線（1）拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)：1）；2） ；3）以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；4）以（或）為直徑的圓與軸相切；5） 6）設(shè)為焦點(diǎn)弦， 為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，則；7）設(shè)為焦點(diǎn)弦，、在準(zhǔn)線上的射影分別為，若為的中點(diǎn)，則；8）若的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于，則平行于軸，反之，若過點(diǎn)平行于軸的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則、三點(diǎn)共線（2）拋物線內(nèi)接直角三角形的性質(zhì)： 或認(rèn)為直角三角形的形成是這樣的：、是過拋物線頂點(diǎn)的兩條互相垂直的弦1），；2）恒過定點(diǎn)；3），中點(diǎn)軌跡方程：；4），則軌跡方程為：；5）（3）拋物線，對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，則：1）當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)到點(diǎn)距離最小，最小值為；2）當(dāng)時(shí)，拋物線上有關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)距離最小，最小值為【3】?jī)蓚€(gè)常見的曲線系方程（1