概率與過(guò)程課件：第二章 隨機(jī)變量及其分布 第一節(jié) 隨機(jī)變量的概念與離散型隨機(jī)變量

1、 1、隨機(jī)變量 2、離散型隨機(jī)變量 3、隨機(jī)變量的分布函數(shù) 4、連續(xù)型隨機(jī)變量 5、隨機(jī)變量函數(shù)的分布第二章 隨機(jī)變量及其分布對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問(wèn)題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量實(shí)例: 做試驗(yàn)拋一枚均勻硬幣，其樣本空間SH,T 可規(guī)定映射 隨機(jī)變量實(shí)際上是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)函數(shù)。2.1 隨機(jī)變量定義. 設(shè)S是試驗(yàn)的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對(duì)于每一個(gè)eS，有一實(shí)數(shù)X=X(e)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)X為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用X、Y、Z 或 、等表示。隨機(jī)變量的特點(diǎn): 2 X的每個(gè)可能取值所對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互不相容的 1 X的部分可能

2、取值可用來(lái)描述隨機(jī)事件 例1：引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件： 將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中，事件 A=有1個(gè)空格，B=有2個(gè)空格， C=全有球。 進(jìn)行5次試驗(yàn)，事件 D=試驗(yàn)成功一次， F=試驗(yàn)至少成功一次，G=至多成功3次解： 設(shè)X為將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子后的空格數(shù)，則A=X=1，B=X=2，C=X=0 設(shè)Y為進(jìn)行5次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則D=Y=1，F(xiàn)=Y1,G=Y3隨機(jī)變量的例子1例2 擲一顆骰子，令 X：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)則 X 就是一個(gè)隨機(jī)變量它的取值為1，2，3，4，5，6 表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超過(guò) 4 這一隨機(jī)事件； 表示擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)這一隨機(jī)事件隨機(jī)變量的例子2例3 上午 8:009

3、:00 在某路口觀察，令： Y：該時(shí)間間隔內(nèi)通過(guò)的汽車(chē)數(shù)則 Y 就是一個(gè)隨機(jī)變量，它的取值為 0，1， 表示通過(guò)的汽車(chē)數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件；表示通過(guò)的汽車(chē)數(shù)大于 50 輛但不超過(guò) 100 輛這一隨機(jī)事件注意 Y 的取值是可列無(wú)窮個(gè)！隨機(jī)變量的例子3例 4 觀察某電子元件的壽命（單位：小時(shí)），令 Z：該電子元件的壽命則Z 就是一個(gè)隨機(jī)變量它的取值為所有非負(fù)實(shí)數(shù)表示該電子元件的壽命不超過(guò)500小時(shí)這一隨機(jī)事件表示該電子元件的壽命大于 1000小時(shí)這一隨機(jī)事件注意 Z 的取值是不可列無(wú)窮個(gè)！隨機(jī)變量的例子4本節(jié)小結(jié)1）隨機(jī)變量的概念要求：1）會(huì)用隨機(jī)變量表示事件內(nèi)容： 隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類(lèi)2

4、.2離散型隨機(jī)變量定義如果隨變量的全部可能取值只有有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，這種隨機(jī)變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量。設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 取值x1, x2, , xn, ( )且取這些值的概率依次為p1, p2, , pn,( ,) ，則稱(chēng)PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為X的分布律或概率分布?？杀頌?PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或Xx1 x2xKPkp1p2pk2.2離散型隨機(jī)變量定義 若隨機(jī)變量X取值x1, x2, , xn, ( )且取這些值的概率依次為p1, p2, , pn,( ,) 則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量，而稱(chēng)PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為X的分

5、布律或概率分布。可表為 PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或Xx1 x2xKPkp1p2pk(1) 非負(fù)性： pk 0, k1, 2, (2) 歸一性： 2. 分布律的性質(zhì)例0 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為求常數(shù)c。解：由分布律的性質(zhì)，得該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有所以 c=3隨機(jī)變量分布律的例子1例1 設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解: X的可能取值為0，1，2超幾何分布作業(yè)5.1和5.2參照此例題例2 從110這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令X：取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值試求X的分布律解： X 的可能取值為5，6，7,8，9，1

6、0具體寫(xiě)出，即可得 X 的分布律：隨機(jī)變量分布律的例子2解：設(shè)Ai第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5則A1,A2,A5,相互獨(dú)立且P(Ai)=p,i=1,2,5. X的可能取值為0,1,2,3,4,5(1-p)5 例3.某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。隨機(jī)變量分布律的例子3例1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為試求:解：0.87 0.72 0.7作業(yè)6.1參照此例離散型隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率幾個(gè)常用的離散型分布1、（0-1）分布若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱(chēng)X服從（01）分布(兩點(diǎn)分布) X的分布律為伯努利試驗(yàn)：若試驗(yàn)E只

7、有兩個(gè)結(jié)果，記為 n重伯努利試驗(yàn)：獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行n次貝努利試驗(yàn)。每次試驗(yàn)均為貝努利試驗(yàn)，只有兩個(gè)結(jié)果。重復(fù)，指每次試驗(yàn)P(A)不變，為定值。獨(dú)立，指某次試驗(yàn)事件A發(fā)生與否與其它次試驗(yàn) 事件A發(fā)生與否互不影響。伯努利 （ Bernoulli）試驗(yàn)（二）定義 設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱(chēng)這n次試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).若以X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記作XB（n,p),其分布律為：（01）分布是二項(xiàng)分布的特例.2、二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布分布律的證明非負(fù)性歸一性幾個(gè)二項(xiàng)分布的分布律圖示例 1 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出

8、4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)4道題以上的概率是多少？解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn)二項(xiàng)分布的例子1所以例2.從某大學(xué)到火車(chē)站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車(chē)行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車(chē)行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解:(1)由題意,X B(6,1/3),于是,X的分布律為:作業(yè)5.3和5.4參照此例題二項(xiàng)分布的例子2上例中以Y表示汽車(chē)行駛途中在停止前所通過(guò)的路口數(shù)，求Y的分布律。 解： Y的可能取值為0,1，63

9、、 泊松(Poisson)分布P()如果隨機(jī)變量X 的分布律為 則稱(chēng)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的泊松分布泊松分布分布律的歸一性思考：參數(shù)可不可以是零或負(fù)數(shù)？Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分布之一自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間隔內(nèi)來(lái)到某服務(wù)臺(tái)要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的例1.設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)1個(gè)孩子的概率為3e-2.求任選一對(duì)

10、夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。解:由題意,泊松分布的例子1例2：設(shè)書(shū)中每一頁(yè)上印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)服從參數(shù)為=1/2的泊松分布，求（1）一頁(yè)上至少有一處印錯(cuò)的概率？(2) 10頁(yè)中至多有一頁(yè)有錯(cuò)的概率？解: (1) 設(shè)X為一頁(yè)上印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)，則 所求概率為：(2) 設(shè)Y為10頁(yè)中有錯(cuò)的頁(yè)數(shù)，則 所求概率為：泊松分布的例子2泊松定理 泊松定理： 設(shè)隨機(jī)變量XnB(n, p), 且n很大，p很小，記=np，則 泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布。例3. 某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。解

11、:設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，則XB(400, 0.02)，故PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.98399)=0.997165作業(yè)5.6參照此例題用泊松定理 取 =np(400)(0.02)8, 故近似地有 PX21 PX0P X11(18)e80.996981泊松分布的例子34、幾何分布若隨機(jī)變量 X 的分布律為幾何分布的概率背景在貝努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)進(jìn)行到 事件A 首次出現(xiàn)為止則稱(chēng)X服從參數(shù)為p的幾何分布則X服從參數(shù)為p的幾何分布令X為所需試驗(yàn)次數(shù)，歸一性例6. 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。解:m=1時(shí),m1時(shí),X的全部取值為:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第m+1次試驗(yàn)時(shí)成功并且 在前m次試驗(yàn)中成功了m-1次超幾何分布如果隨機(jī)變量 X 的分布律為超幾何分布的概率背景 一批產(chǎn)品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件為正品現(xiàn)從中取出 n 件令 X：取出 n 件產(chǎn)品中的次品數(shù)， 則 X 的分 布律為其中N,M,n均為自