量子力學課件：第六章 電子自旋及一般角動量

1、6.1 電子自旋的引出 6.2 電子自旋算符和自旋態(tài)矢量6.3 計入自旋的電子運動態(tài)矢量及運動方程6.4 一般角動量的基本知識 6.5 兩個角動量的耦合第六章 電子自旋及一般角動量6.1 電子自旋的引出電子自旋是 Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年作為假設(shè)提出來的主要的兩個實驗事實:1.氫原子和堿金屬原子光譜的精細(雙線)結(jié)構(gòu)2.反常塞曼效應(yīng):弱磁場中光譜線的復雜分裂1.電子繞核運動-軌道角動量2.繞自身軸轉(zhuǎn)動-自轉(zhuǎn)角動量(電子自旋)6.1-1 Uhlenbeck 和 Goudsmit 假設(shè)自旋角動量在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值.用s表示自旋角量子數(shù),則2s+1=2與

2、電子自旋方向相反,大小等于一個玻爾磁子自轉(zhuǎn)角動量在空間取值量子化的,取值為:自旋磁量子數(shù)與自旋對應(yīng)的磁矩稱為自旋磁矩斯特恩-蓋拉赫實驗證實了電子自旋假設(shè)的正確性6.1-2 Stern and Gerlach 實驗電子、質(zhì)子、中子: 費米子:玻色子:6.2 電子的自旋算符和自旋波矢量6.2-1 電子的自旋算符電子自旋的算符:三個分量算符:本征值都是本征值是平方算符:定義電子自旋對易關(guān)系:自旋角動量軌道角動量算符關(guān)系式:電子自旋磁矩算符:一般地:6.2-2 泡利算符分量形式令對易關(guān)系:分量形式:線性厄密算符:的本征值都是1。 本征值譜: 的本征值都是/2，在空間任意方向的投影的算符 的本征值為 故

3、 的本征值為 。單位算符所以 和 的本征值為1.即么正算符反對易關(guān)系證：從左乘 右乘二式相加同理可證:由對易關(guān)系和反對易關(guān)系還可以得到和6.2-3 （ )表象和泡利矩陣:對角矩陣,對角元為其本征值泡利算符的矩陣形式求 的矩陣形式令利用由厄密性得:b = c*令( 為實）,則又求 的矩陣形式:得習慣上取 得到泡利矩陣自旋算符在泡利表象中的矩陣表示令6.2-4 電子自旋的本征矢量分別為 的本征值 對應(yīng)的本征矢量 即1. 的本征矢量本征值方程為由歸一化條件確定c1:所以滿足正交性由稱為電子自旋向上電子自旋向下同理對于的矩陣形式2. 電子自旋在空間任一方向投影的算符 的本征矢量的本征值方程可寫為對于

4、，有展開為即給出利用歸一性有即取則正交歸一性 對應(yīng)的本征值分別為 的歸一化本征矢量為3. 的本征矢量取得 的歸一化本征矢量為xz球 坐 標ry一般地寫成:取得 的歸一化本征矢量為本征值為:6.2-5 電子自旋態(tài)的一般態(tài)矢量按 的本征矢量組展開電子自旋態(tài) 的歸一化表示:自旋向上幾率；:自旋向上幾率6.3 計入自旋的電子運動態(tài)矢量和運動方程6.3-1 電子運動的態(tài)矢量軌道運動的基矢量組自旋算符 的基矢量組在 的共同表象中,基矢量組為:任意一個態(tài)矢量, 按上述基矢量組作展開歸一化:t時刻自旋取為 在點 處出現(xiàn)的幾率t時刻自旋取為 在點 處出現(xiàn)的幾率算符 在 表象中表示為22矩陣，即在任意態(tài) 中的期望

5、值力學量 的期望值僅對自旋：6.3-2 運動方程 可以包含電子的自旋算符,如氫原子置于外磁場 中，取外磁場方向沿Z方向，則 可寫為：這里， 都要乘以一個22的單位矩陣這樣含時的薛定諤方程為具體寫成：(6.3-7)6.3-3 方程的分離變量解法若 可寫為分離變量代回到 (6.3-7)有得到兩部分波函數(shù)滿足的薛定諤方程6.3-4 電子自旋共振設(shè)磁場為沿z軸方向的恒定均勻磁場，即自旋磁矩與外磁場作用的哈密頓量 為:注：自旋磁矩可表示為定態(tài)本征值方程為即其本征值為：二能級能級間隔為令躍遷玻爾角頻率在垂直z軸方向加一弱的交變磁場當 ，體系在兩能級間躍遷稱為電子自旋共振設(shè)t時刻，電子自旋的態(tài)矢量滿足躍遷玻

6、爾角頻率為：及令展開上式，有初始條件為：所以方程的解為：式中：所以電子在任意時刻的自旋態(tài)矢量(已歸一化)即自旋向上幾率自旋向下幾率當滿足共振條件時，當即自旋向上即自旋向下從翻轉(zhuǎn)當從低能級到高能級，從外場吸收能量，吸收能量；當從高能級到低躍遷能級，放出能量。電子自旋共振當?shù)钠谕捣謩e為：(1)自旋態(tài) (2)期望值例：(習題6-9)只考慮自旋運動。設(shè)電子處于恒定均勻磁場中，初始 時刻處于態(tài) 下，求在 時刻解：(3)經(jīng)過多少時間 ，電子處于(4) 在時刻t，電子自旋向上的幾率與向下的幾率。(1) 電子自旋態(tài)矢量滿足的薛定諤方程為(1)則方程(1)為這里，哈密頓算符為其中則設(shè)t時刻電子自旋態(tài)矢量為展開

7、,有(2)(3)由(3)可得初始條件為令故得 (3) 式的解為可得代入上式得滿足歸一化(2)(3) 在 時刻，當即自旋向下在 時，(4) 在 時刻，自旋向上的幾率自旋向下的幾率6.4 一般角動量的基本知識一個線性厄密矢量算符6.4-1 角動量算符的定義式其直角坐標系的分量算符 滿足對易關(guān)系：角動量算符角動量平方算符 的定義為：引入兩個線性非厄密算符：算符關(guān)系式:6.4-2 角動量算符的本征值問題和 的共同本征矢量組，記為：本征值方程寫為:角量子數(shù)j的可能取值為：0,正整數(shù)和半正整數(shù)磁量子數(shù)m的可能取值為：軌道角動量角量子數(shù) 取零和正整數(shù)，電子自旋角量子數(shù)s 取1/2。個6.4-3 角動量算符的

8、矩陣形式給出 在 共同表象中的矩陣形式算符 在自身表象中是對角矩陣，對角元是各自算符的本征值，即對于 在 共同表象中的矩陣形式，利用故又又故左邊為約定 取正實數(shù)，得即右邊為左右相等得即于是 的矩陣元為由此得到 的矩陣元為:由 的矩陣元表達式中可以看到,對于, 的矩陣元都為零， 的矩陣元可能不為零所以只需要在固定 的子空間中給出算符的表示矩陣給出 的表示矩陣矩陣元的排列順序按照磁量子數(shù)從大到小矩陣元的排列順序按照磁量子數(shù)從大到小下面普遍討論兩個獨立角動量的耦合問題6.51 兩個獨立角動量耦合而成的總角動量算符 6.52 無耦合表象和耦合表象6.53 總角動量算符的本征值問題6.54 克累布施-戈

9、登系數(shù) (C-G系數(shù))6.5 兩個獨立角動量的耦合;克累布施-戈登系數(shù)設(shè) 為兩個獨立角動量，其角動量對易關(guān)系為：相互對易，即6.5-1 兩個獨立角動量耦合而成的總角動量算符角動量之和構(gòu)成總角動量算符其分量對易關(guān)系可寫為(1)同理可證算符關(guān)系式證：即(2)(3)同理證：證：(4)但證：6.5-2 耦合表象和無耦合表象共同的正交歸一化的本征矢量完備組記為取力學量完全集為滿足兩兩對易.(1)無耦合表象共 個基矢無耦合表象基矢(2) 耦合表象取力學量完全集合為耦合表象基矢兩兩對易滿足因為：共同的正交歸一化的本征矢量完備組記為共 個基矢不是 的本征矢量而即 的可能取值有 個重復的m對應(yīng)不同的j值.當體系

10、的哈密頓算符包含項 時,使用耦合表象此時 是 的本征矢量(固定 )6.5-3 總角動量算符的本征值問題在耦合表象中討論總角動量算符的本征值磁量子數(shù) 共 個 的取值范圍（ 與 的關(guān)系）(1)對給定 ，求因為 取值范圍分別是：又則于是次一個 對應(yīng)的即再次一個 對應(yīng)的即得到因為m的可能取值數(shù)目為(2) 求 :對于一個 值， 取值有 個，那末 的所有m取值數(shù)目為：等差級數(shù)求和公式解得 (3) j的取值范圍共有 個共有 個6.5-4 克累布施-戈登系數(shù)這兩組正交歸一化完備的基矢可以相互變換變換矩陣的矩陣元所以上式求和可只對 進行C-G系數(shù)因為對于 時的C-G系數(shù)對于 時的C-G系數(shù)見書p320表6.5-2例6.5-1: 兩個電子的自旋耦合態(tài)兩個電子的自旋角量子數(shù)為所以總自旋角量子數(shù)當 時,自旋平行態(tài),總自旋三重態(tài)當 時,自旋反平行態(tài),總自旋單態(tài)用兩個電子的單電子的自旋態(tài)，即無耦合表象來表示第一行第一列第二項第一項第一行第二列