四川大學自動化專業(yè)英語 微分方程模型(1階段)ppt課件

1、微分方程模型2普通方程 其中(0)1、微分方程穩(wěn)定性實際簡介345斷定平衡點穩(wěn)定性的兩種方法： 直接法求出解的表達式，再由穩(wěn)定性的定義斷定平衡點的穩(wěn)定性。(2) 間接法不求解，直接利用微分方程的性質(zhì)斷定平衡點的穩(wěn)定性6(2)一階自治方程的平衡點及穩(wěn)定性72 、人口模型8根本假設(shè): 人口的相對增長率為常數(shù) r.B：出生率D：死亡率人口函數(shù)：Malthus模型Malthus模型特點: 在有限的時間內(nèi), 在生存空間和食物供應充足的環(huán)境下, Malthus人口模型是比較準確的; 但是, 由于生存空間有限、食物短缺、戰(zhàn)爭、疾病、自然災禍, 以及人為控制人口增長等等緣由, Malthus人口模型不能準確地

2、反映出人口的實踐增長情況.9美國人口的Malthus預測值(單位:百萬)比較準確誤差增大整整高出一倍！10Logistic阻滯增長模型根本假設(shè): 人口的相對增長率隨著人口數(shù)量的添加而減少, 當人數(shù)超越某飽和值 N 后, 相對增長率為負. 故x=0是不穩(wěn)定平衡點, x=N是穩(wěn)定平衡點.A. 直接法分析平衡點r: 固有增長率11拐點12B. 間接法分析平衡點故N是穩(wěn)定平衡點.13美國人口的Logisitc預測值(單位:百萬)很吻合14153 、捕魚模型16直接法分析平衡點：17圖解法：固定曲線調(diào)理E產(chǎn)量模型1819魚量方程同產(chǎn)量模型：效益模型2021比較：22當漁場向眾多的盲目運營者開放，只需有微

3、薄利潤，運營者也會去捕撈，稱為盲目捕撈或開放式捕撈，這將導致捕撈過度。捕撈過渡23242526一階自治方程組的平衡點及穩(wěn)定性1、線性系統(tǒng) 稱為系數(shù)矩陣(5)當特征根的實部均小于零時，平衡點是穩(wěn)定的；當存在實部大于零的特征根時，平衡點是不穩(wěn)定的。 27記鞍點區(qū) 穩(wěn)定結(jié)點區(qū)不穩(wěn)定結(jié)點區(qū)穩(wěn)定焦點區(qū)不穩(wěn)定焦點區(qū)中心區(qū)282、非線性系統(tǒng) (4)(5)2930以兩種群為例：A、捕食者-食餌系統(tǒng)；B、相互依存；C、相互競爭Lotka-Volterra 模型:4 、生態(tài)數(shù)學模型313233捕食者(Predator)食餌(Prey)系統(tǒng)平衡點： (1)用matlab軟件編程, 可得x(t), y(t)及相軌線y

4、(x). 可以猜測, x(t), y(t)是周期函數(shù). 相應地, y(x)是閉曲線.34(1) 用一階近似方程討論平衡點的穩(wěn)定性在原點(0,0)附近的一階近似方程為：特征根為a(0)和c, 所以原點是不穩(wěn)定平衡點.平衡點及相軌線35特征根為 P 點的穩(wěn)定性不能由其一階近似方程斷定，所以直接討論原方程。在 點附近的一階近似方程為：36相平面上的軌線滿足微分方程：(2)(k是常數(shù) )(2) 相軌線37記38當x，y在第一象限時，有根據(jù)k值調(diào)查相軌線的外形：此時軌線退化為一點，即平衡點。394041k 減小42同理可得：即：43引入捕魚影響，模型變?yōu)椋宏U明捕撈量增大對食餌有利。44模型的延伸運用: 殺蟲濟的影響模型的局限性 :多數(shù)p-p系統(tǒng)無周期震蕩, 而是趨于某穩(wěn)定的平衡點. 呈周期變化的生態(tài)系統(tǒng)應該是構(gòu)造穩(wěn)定的. 極限環(huán)45平衡點 競爭模型r1, r2: 固有增長率; N1, N2:飽和量; 1