量子力學(xué)課件：第三章 量子力學(xué)原理(Ⅱ)力學(xué)量算符及量子條件

1、3.1 算符及其運(yùn)算規(guī)則 3.2 力學(xué)量用算符表示3.3 幾個基本的力學(xué)量算符3.4 量子條件 3.5 兩個力學(xué)量同時有確定值的條件 3.6 體系的守恒量 第三章 量子力學(xué)原理() 力學(xué)量算符及量子條件3.1 算符及其運(yùn)算規(guī)則3.1-1 黑伯特空間及算符3.1-2 量子力學(xué)中常用的幾類算符（1）單位算符 （2）零算符（3）算符相等 （4）算符之和（5）算符數(shù)乘和乘積 （6）交換律結(jié)合律（7）對易關(guān)系單位算符:零算符：算符相等：算符之和：運(yùn)算: 作用于(波)函數(shù)3.1-1 算符的基本性質(zhì)算符數(shù)乘：算符相乘：算符相加滿足：交換律：結(jié)合律：一般不滿足交換律：算符對易子：算符與通常數(shù)運(yùn)算規(guī)則不同之處若

2、稱 對易，此時若稱 不對易對易子的恒等式(1) 線性算符滿足如下運(yùn)算規(guī)律的算符微商運(yùn)算, 積分算符都是線性算符開方運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算就不是線性算符(2) 逆算符設(shè) 對 作用的結(jié)果為即若 有作用則稱 互為逆算符，記為3.1-2 量子力學(xué)中常見的幾類算符注：復(fù)共軛：把算符表達(dá)式中的所有量換成復(fù)共軛量如(3) 厄密共軛算符若記即定義內(nèi)積即因?yàn)橛?4) 么正算符 滿足下面條件的算符性質(zhì)：對任意兩個矢量作用，不改變這兩個矢量的內(nèi)積故不改變矢量的模和相互正交矢量的正交性(5) 厄密算符兩個性質(zhì)：有1) 厄密算符的本征值全是實(shí)數(shù)設(shè) 的本征值方程為取代入到(29)式中，有：實(shí)數(shù)(29)2) 厄密算符的相應(yīng)于不同本

3、征值的本征矢量必定正交代入到上面的積分式中，有：正交對于兩個不同的本征值和本征矢量僅證明非簡并情況3.2 力學(xué)量用算符表示3.2-1 力學(xué)量在體系一個運(yùn)動狀態(tài)下的期望值3.2-2 力學(xué)量的可能取值3.2-3 力學(xué)量在體系一個運(yùn)動狀態(tài)下可能 取值的幾率分布3.2-4 表示力學(xué)量算符必須滿足的條件3.2-5 量子力學(xué)的第三條假設(shè)坐標(biāo)和動量的期望值 (及勢能，動能，哈密頓量)任意力學(xué)量的期望值為有經(jīng)典對應(yīng)的力學(xué)量：其算符為3.2-1 力學(xué)量在體系一個運(yùn)動狀態(tài)下的期望值 沒有經(jīng)典的力學(xué)量對應(yīng)：設(shè)算符表示為期望值仍為某時刻在體系一個狀態(tài)下測量力學(xué)量 ，測量值有一系列的可能取值，所有可能取值構(gòu)成可能值譜；

4、可能取值有確定的幾率分布。若測量時某取值 的幾率為1，其它的均為零，記為力學(xué)量 有確定值的狀態(tài)：3.2-2 力學(xué)量的可能取值在具有確定值 的狀態(tài) 下，力學(xué)量 的期望值 ,而且均方偏差 等于零，即設(shè)算符 線性厄密，上式可寫成上式成立的充要條件為此為力學(xué)量 的本征值方程一個力學(xué)量算符 的所有本征值就是這個力學(xué)量 的所有可能取值 若體系處于力學(xué)量算符 的一個本征函數(shù)描述的狀態(tài)下， 將有確定值即該本征函數(shù)對應(yīng)的本征值。設(shè)力學(xué)量 的本征值譜完全分立，記為本征函數(shù)組記為設(shè)本征函數(shù)組沒有簡并且已正交歸一化，即將體系任一運(yùn)動狀態(tài)的波函數(shù)作展開，即求展開系數(shù)3.2-3 力學(xué)量在體系一個運(yùn)動狀態(tài)下 可能取值的幾率

5、分布兩邊乘以有所以的物理意義：1）將展開式代入歸一化表達(dá)式中有2）將展開式代入到 的期望值公式中，有量子力學(xué)假設(shè)：展開系數(shù) 的絕對值平方 是體系在由歸一化波函數(shù) 描述的運(yùn)動狀態(tài)下，在時刻t，力學(xué)量 取值為 的幾率。(參見補(bǔ)例2.4-2)1）線性算符：態(tài)疊加原理決定2）厄密算符：力學(xué)量算符的本征值為測量力學(xué)量的可能取值，應(yīng)為實(shí)數(shù)。厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)3.2-4 量子力學(xué)算符必須滿足的條件厄密算符的期望值為實(shí)數(shù)3）本征函數(shù)組構(gòu)成完備組3.2-5 量子力學(xué)的第三條假設(shè)微觀體系的力學(xué)量由體系運(yùn)動狀態(tài)波函數(shù)張開的黑伯特空間中相應(yīng)的線性厄密、并且其本征函數(shù)組構(gòu)成完備組的算符表示。含義是:1. 一個力學(xué)量

6、算符的本征值譜給出這個力學(xué)量 的所有可能取值;2. 體系的一個運(yùn)動狀態(tài)的歸一化波函數(shù)按一個 力學(xué)量算符的正交歸一化本征函數(shù)完備組展 開,式中展開系數(shù)的絕對值平方給出體系的這 個力學(xué)量在這個運(yùn)動狀態(tài)下取所有可能取值 的幾率分布;3. 可以計算出這個力學(xué)量在這個運(yùn)動狀態(tài)下的 期望值.3.3 幾個基本的力學(xué)量3.3-1 坐標(biāo)算符及坐標(biāo)算符的函數(shù)3.3-2 動量算符及動量算符的函數(shù)3.3-3 體系的哈密頓算符3.3-4 角動量算符3.3-3 宇稱算符坐標(biāo)算符：直角坐標(biāo)系分量：3.3-1 坐標(biāo)算符及坐標(biāo)算符的函數(shù)坐標(biāo)算符 滿足本征值方程正交歸一化函數(shù)：有性質(zhì)：坐標(biāo)算符的函數(shù)：如勢能函數(shù)三維空間：其本征值

7、方程為本征值方程分別為這里動量算符：直角坐標(biāo)系分量：3.3-2 動量算符及動量算符的函數(shù)一維運(yùn)動： 的本征值方程為歸一化的本征函數(shù)為本征值在區(qū)域 連續(xù)取值正交歸一化三維空間正交歸一化動能算符動量算符的函數(shù)本征值方程哈密頓算符3.3-3 體系的哈密頓算符本征值方程3.3-4 角動量算符直角坐標(biāo)系分量角動量平方算符坐標(biāo)變換xz球 坐 標(biāo)ry得？給出 和 在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式計算 和 的本征函數(shù)和本征值即的本征值方程：此方程就是球諧函數(shù)方程其求解方法在數(shù)學(xué)物理方法中已有詳細(xì)的講述，其結(jié)論是：滿足波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件，要求方程的解是球諧函數(shù)式中 是締合勒讓德多項式是歸一化常數(shù)，由歸一化條件確定可得角動量平方

8、算符的本征值譜為本征函數(shù)為本征值方程本征值的簡并度為算符 的本征值方程方程的解解應(yīng)單值，需滿足所以m 容許的取值為本征值譜為 ，正交歸一化正交歸一化的本征函數(shù)組故故算符 和 有共同的正交歸一化本征函數(shù)完備組正交歸一化也是算符 的本征函數(shù)，其中例3.3-1 平面轉(zhuǎn)子和空間轉(zhuǎn)子一質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)在 平面上繞固定點(diǎn) (坐標(biāo)原點(diǎn))并與 點(diǎn)保持恒定距離 運(yùn)動，該體系稱為平面轉(zhuǎn)子。平面轉(zhuǎn)子的哈密頓算符為本征值方程為能量的本征值譜為本征函數(shù)組為如果該質(zhì)點(diǎn)在 三維空間中繞固定點(diǎn) (坐標(biāo)原點(diǎn))并與點(diǎn)保持恒定距離 運(yùn)動，該體系則稱為空間轉(zhuǎn)子?？臻g轉(zhuǎn)子的哈密頓算符為本征函數(shù)組為能量的本征值譜為沒有經(jīng)典對應(yīng)3.3-5

9、宇稱算符坐標(biāo)空間反演性質(zhì)：定義即設(shè)本征值方程為再作用，有求 本征值譜和本征函數(shù)組左邊右邊球坐標(biāo)系本征值譜將本征值回代到本征值方程中，有偶函數(shù) 是 的本征值為1的本征函數(shù)奇函數(shù) 是 的本征值為1的本征函數(shù)任意波函數(shù)波函數(shù)的宇稱當(dāng)本征值方程宇稱3.4-1 基本量子條件3.4-2 兩個有經(jīng)典對應(yīng)的力學(xué)量算符之 間的對易關(guān)系3.4-4 量子力學(xué)的第四條假設(shè)3.4 量子條件3.4-1 基本量子條件坐標(biāo)算符和動量算符之間的對易關(guān)系其余的均為零驗(yàn)證又 是任意的其余的類似驗(yàn)證考慮到3.4-2 兩個有經(jīng)典對應(yīng)的力學(xué)量算符 之間的對易關(guān)系設(shè)兩個力學(xué)量 F 和 G對應(yīng)的算符為其對易子 的計算:冪級數(shù)展開角動量分量算

10、符的對易關(guān)系利用基本量子條件和恒等式證：同理合記為角動量平方算符的對易關(guān)系同理定義非厄密算符非幺正算符3.4-3對易關(guān)系關(guān)系式力學(xué)量算符之間有確定的對易關(guān)系，稱為量子條件3.4-4 量子力學(xué)的第四條假設(shè)坐標(biāo)算符的三個直角坐標(biāo)系分量 和動量算符的三個直角坐標(biāo)系分量 之間的對易關(guān)系為稱為基本量子條件3.5 兩個力學(xué)量同時有確定值的條件3.5-1 兩個力學(xué)量算符對易是它們有共同 的本征函數(shù)完備組的充要條件3.5-2 兩個力學(xué)量算符不對易與測不準(zhǔn)關(guān)系必要條件:3.5-1 兩個力學(xué)量算符對易是它們有共同的本征函數(shù)完備組的充要條件設(shè)兩個力學(xué)量算符 和 有一組共同的本征函數(shù)完備組 。設(shè)本征值譜是分立的。即因

11、為 是特定函數(shù), 非任意波函數(shù)此時將任一狀態(tài)波函數(shù) 按本征函數(shù)完備組則展開為因?yàn)?是任意波函數(shù)充分條件:兩個力學(xué)量算符對易， 則此二個算符有共同的本征函數(shù)完備組證:設(shè)的本征函數(shù)組為(非簡并情況)即 也是 的一個本征函數(shù),與 一樣,本征值亦為考察應(yīng)只與 差一個常數(shù)因子故 的本征函數(shù)組是 的共同本征函數(shù)組所以 也是 的本征函數(shù)本征值分別為(簡并情況略)例1：例2：兩兩不對易,沒有共同的本征函數(shù)組分別對易,有共同的本征函數(shù)組的共同的本征函數(shù)組為問題：按上面證明， 有共同的本征函數(shù)；也有共同的本征函數(shù)，故 有共同的本征函數(shù)？設(shè)兩算符對易關(guān)系為：記引入實(shí)參量 的輔助積分顯然3.5-2 兩個力學(xué)量算符不對

12、易與測不準(zhǔn)關(guān)系該不等式成立的條件是其中：滿足兩個不對易算符方均根偏差關(guān)系式測不準(zhǔn)關(guān)系最后有：其中：坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系簡記為海森堡測不準(zhǔn)關(guān)系3.6 體系的守恒量3.6-1 力學(xué)量的期望值隨時間的變化3.6-2 體系的守恒量3.6-3 體系的力學(xué)量完全集合期望值根據(jù)薛定諤方程3.6-1 力學(xué)量的期望值隨時間的變化代入有隨t的變化規(guī)律若力學(xué)量 不顯含t且和 對易,即則性質(zhì): 可能取值的幾率分布也不隨時間變化證明：若 為守恒量,則所以具有共同的本征函數(shù)組對于任一波函數(shù)，作展開3.6-2 體系的守恒量相應(yīng)的幾率展開系數(shù)為:即則能量是守恒量。動量 是守恒量有不隨時間變化例3.6-1：體系的哈密頓算符 如果與時間無關(guān)， 則體系的能量是守恒量例3.6-2：粒子自由運(yùn)動，哈密頓算符為角動量分量算符與動量分量算符的對易關(guān)系:自證其中意義：Levi-Civita 符號及所以可推出都是守恒量宇稱：又 與t無關(guān),故宇稱守恒例3.