選修4-5-41數(shù)學(xué)歸納法

1、數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于一些與無(wú)限多個(gè)正整數(shù)相關(guān)的命題，如果不易用以前學(xué)習(xí)過(guò)的方法證明，用數(shù)學(xué)歸納法可能會(huì)收到較好的效果. ：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法 結(jié)論一定可靠結(jié)論不一定可靠考察全體對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法考察部分對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法歸納法分為完全歸納法 和 不完全歸納法歸納法提出問(wèn)題：如何找到一個(gè)科學(xué)有效的方法證明結(jié)論的正確性呢？.第1張骨牌倒下.假設(shè)第k張骨牌倒下保證第k+1張倒下第n張骨牌倒下骨牌倒下第一塊骨牌倒下任意相鄰的兩塊牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊牌倒下 對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性：（1）證明

2、當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1) 時(shí)命題成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN* ,k n0)時(shí)命題成立 證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.最后由（1）（2）得出結(jié)論全體自然數(shù)成立 數(shù)學(xué)歸納法【命題成立的連續(xù)性】【命題成立的必要性】這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題？-1+3=_;-1+3-5=_-1+3-5+7=_-1+3-5+7-9=_2-34-5數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為： 驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立。若n = k ( k n0 ) 時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。 命題對(duì)從n0開始的所有的正整數(shù)n都成立。歸納奠基歸納遞推 注：兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論,缺一不可137951+3

3、+5+(2n1)=n2 (nN*)證明：練習(xí)：觀察歸納猜想：你能得出什么結(jié)論？并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。nn（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1,右邊=12=1，等式成立.（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2 ,則n=k+1時(shí)， 1+3+5+2(k+1)1= 1+3+5+(2k1)+2(k+1)-1= k2+2k+1=(k+1)2.即n=k+1時(shí)等式也成立.根據(jù)（1）,（2）知等式對(duì)一切nN*都成立.135（2n1）用數(shù)學(xué)歸納法證明n2即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何都成立。證明：135（2k1）+2(k+1)1那么當(dāng)n=k+1時(shí)（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，

4、等式成立，即（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立。135（2k1）k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2（k+1）2（假設(shè)）（利用假設(shè)）注意：遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)要用到， 結(jié)論寫明莫忘掉。證明傳遞性（湊結(jié)論）用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”，在證題的過(guò)程中，歸納假設(shè)一定要起到條件的作用，即證明n=k+1成立時(shí)必須用到歸納假設(shè)這一條件.特別提示:用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題特別提示:用數(shù)學(xué)歸納法證幾何問(wèn)題，應(yīng)特別注意語(yǔ)言敘述正確，清楚，一定要講清從n=k到n=k+1時(shí)，新增加量是多少. 一般地，證明第二步常用的方法是加一法，即在原來(lái)的基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)，也可以從k+1個(gè)中分出一個(gè)來(lái)，剩下的k個(gè)利用假設(shè).1.數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法.主要有兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論: （1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（如