概率課件：第三章多維隨機變量及其分布2

1、3.4 二維隨機變量的函數(shù)的分布Z=X+Y 的分布三、最大值、最小值的分布一、 離散型隨機變量的函數(shù)的分布二、 連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布例1 設(shè)(X,Y)的分布律為XY 0 1 2-1 2 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2解 (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2) -1 0 1 2 3 4(X,Y)Z=X+YZ=XY 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2 0 -1 -2 0 2 4Z=XY 0.1 0.3 0.3 0.1 0.2 -2 -1 0 2 4一、 離散型隨機變量的函數(shù)的分布求 (1) Z=X+Y (2) Z=XY (3)

2、 Z=max(X,Y) (4)Z=min(X,Y) 的分布律.Z= max(X,Y) 0 1 2 2 2 2X與Y獨立，X,Y取0,1,2，則Z=X+Y Z=max(X,Y)的分布律2022/7/1142022/7/115二、 連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)(X,Y)的概率密度為f (x, y), 求Z=g(X,Y)的分布.一般方法：分布函數(shù)法 例2 設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X和Y都是（0，a）上的均勻分布，求Z=X+Y的概率密度。設(shè)(X,Y)的概率密度為f (x, y), Z=X+Y的分布函數(shù)為 1. Z=X+Y 的分布x+y =zyxo Z=X+Y 的概率密度: 卷積公式當(dāng)X,Y 相互獨

3、立時,例1 設(shè) XN(0, 1), YN(0, 1)且X與Y相互獨立，求 Z=X+Y的概率密度。Z=X+YN(0,2).解(2) 若 一般結(jié)論：(1) 若 且相互獨立， 則 X+Y 仍服從正態(tài)分布，且且相互獨立，則 有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.例2 在一簡單電路中，兩電阻R1和R2串聯(lián)聯(lián)接，設(shè) R1, R2相互獨立，它們的概率密度均為求總電阻R=R1+R2的概率密度.解xzz=xz=x+10例3 設(shè)X1, X2相互獨立分別服從參數(shù)為1, ; 2, 的分布, 即X1, X2的概率密度分別為試證：X1 + X2服從參數(shù)為 1+2, 的分布.注 函數(shù): 分布：若隨機變量X

4、的概率密度為分布的性質(zhì)：若X1 (1, )， X2 (2, )，且相互獨立，則 X1 + X2 (1+2, ). 注 函數(shù):則稱X服從參數(shù)為, 的分布.記為 X(, ). 若X1,X2,Xn相互獨立，且Xi 服從參數(shù)為i , (i=1,2,n)的的分布，則X1+X2+Xn服從參數(shù)為1+2+.+n, 的分布.一般結(jié)論：當(dāng) z 0 時,證：A亦即Z=X1+X2服從參數(shù)為1+2, 的分布A的計算：注 函數(shù): 若X1,X2,Xn相互獨立，且Xi服從參數(shù)為i, (i=1,2,n)的的分布，則X1+X2+Xn服從參數(shù)為1+2+.+n, 的分布.一般結(jié)論：2. Z=Y/X 的分布、 Z=XY的分布 設(shè)X,Y

5、是二維連續(xù)型隨機變量,其概率密度為f(x,y),則Z=Y/X 、Z=XY仍為連續(xù)型隨機變量，其概率密度分別為當(dāng)X,Y 相互獨立時, 證: y=xzyxoG1G2y=xzyxo (z0)G1G2 (z0,0,. 試求聯(lián)接方式為： (1) 串聯(lián)，(2) 并聯(lián)（3）備用時 系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度解(1)串聯(lián)系統(tǒng)：此時有 Z=minX,YL2XYL1并聯(lián)系統(tǒng)：L2XYL1此時有 Z=maxX, Y2022/7/1126112022/7/11272022/7/11282022/7/1129例 設(shè)某種商品一周的需求量是一個隨機變量，其概率密度為若各周的需求量相互獨立, 求兩周需求量的概率密度.若X是離散

6、型隨機變量，Y是連續(xù)型隨機變量，且X和Y相互獨立，如何求Z=X+Y的概率密度？2022/7/11322022/7/11332022/7/1134 (1)設(shè)E是一隨機試驗， 是其樣本空間，X1,X2,.Xn是定義 在上的n個隨機變量，則稱n維向量(X1,X2,.Xn )為定義在 上的n維隨機向量或n維隨機變量 (2)對n個任意實數(shù)，令 稱為n維隨機變量(X1,X2,.Xn )的分布函數(shù) (3)類似可以定義離散型及連續(xù)型n維隨機變量的分布律及概率密度，它們都具有類似于二維時的性質(zhì)3.5 n維隨機變量若對任意實數(shù) ，均有則稱 X1, X2 , , Xn相互獨立. 設(shè)(X1, X2 , , Xn)的分布函數(shù)為F(X1, X2 , , Xn). 定理 設(shè)(X1, X2, , Xm)與(Y1, Y2, , Yn) 相互獨立, 則Xi(i=1,2, m)與Yj (j=1,2, n)相互獨立.又若 h, g為連續(xù)函數(shù), 則h(X1,X2 ,Xm)與g(Y1,Y2 ,Yn)相互獨立. 若對任意實數(shù) x1, x2 , , xm ; y