1999-2007上海交通大學(xué)高等代數(shù)

1、上海交通大學(xué)1999年碩士研究生入學(xué)考試試題試卷名稱：高等代數(shù)(10 分)設(shè) P 為數(shù)域。f (x),g(x)g Px令F(X)= (x2 +1)f (x) + (x2 + x + 1)g(x)；G(x) = xf (x)+(x + 1)g(x)。證明：若 f (x)與 g(x)互素，則 F(x)與 G(x)也必互素。(10分)設(shè)J為元素全為1的階方陣。求J的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式；設(shè)f(x)為復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式。證明f (J )必相似于對(duì)角陣。(10分)設(shè) n 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A = (xy.)，其中 xy. = a taj +1 且a1 + a2 +. + an = 0，求A的n個(gè)特征值。 設(shè)A

2、為復(fù)數(shù)域上n階方陣。若A的特征根全為零，證明：A + E = 1。此處E為n階單位陣。4(10分)設(shè)f(x)是數(shù)域F上的二次多項(xiàng)式，在F內(nèi)有互異的根x”x2，設(shè)A是F上線性空間L的一個(gè)線性變換且A豐xj , A豐x21(I為單位變換)且滿足f (A) = 0，證明x”x2為A的特征值；且L可以分解為A的屬于x”x2的特征子空間的直和。5 (10分)用正交線性變換將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并給出所施行的正交變換：x12 - 2x22 - 2x32 - 4x1x2 + 4x1x3 + 8x2x36(10分)對(duì)的不同取值，討論下面方程組的可解性并求解： 7(10分)假設(shè)A為m x n實(shí)矩陣，B為n x

3、 1實(shí)矩陣，AT表示A的轉(zhuǎn)置矩陣。證明:(1) AB=0的充要條件是AtAB = 0 ；矩陣ATA與矩陣A有相同的秩。8(10分)設(shè)4, A2,., Ap均為n階矩陣且4A2Ap = 0。證明這p個(gè)矩陣的秩之和 小于等于(p -1)，并舉例說明等式可以達(dá)到。9 (10分)證明任一可逆實(shí)矩陣可分解為一個(gè)正定陣和一個(gè)正交陣之積。10(10分)設(shè)W為歐氏空間V的一個(gè)子空間。b e V,a e W證明若對(duì)任意a e W，ba (15分)以P2x2表示數(shù)域P上的2階矩陣的集合。假設(shè)a,a2,a3,a4為兩兩互異的數(shù)而且他們的和不等于零。試證明A =(1a1 A=(1a A = 1a A J1a41 a；

4、a： J， 2 ala4 J， 3a；a；丿，4 a；a：丿是P上線性空間的一組基。3(15分)證明：階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為r,(r n)，當(dāng)且僅當(dāng)A可以寫成A = CbCT，其中B為n x r階滿秩矩陣，C為r階可逆實(shí)對(duì)稱陣。4( 15 分) 假設(shè) f0(x4)+xf1(x10)+ x2f2(x15)+x3f3(x20)+x4f4(x25) 被X4 + X3 + x2 + x +1 整除。證明：fi (x), (i = 0,1,2,3,4)被x 1 整除。5( 15分)設(shè)A為階反對(duì)稱實(shí)矩陣，B = diaga1, a2,., an，其中ai f 0，證明A+b f o。6(15分)n階方陣A滿

5、足等式A = A2，當(dāng)且僅當(dāng)n = r(A) + r(E A)。7(20分)設(shè)A，B都是n階實(shí)方陣，并設(shè)2為BA的非零特征值；以VfA表示BA 關(guān)于2的特征子空間。(1)證明：2也是AB的特征值；(1)證明：維數(shù)VBA )=維數(shù)8(20分)設(shè)A，B都是n階正定方陣。試證明：AB的特征值為實(shí)數(shù)。9( 20分)記V = Pnxn，P為數(shù)域。假設(shè)A eV有特征值2 (i = 1,2,., n)，但2 (i = 1,2,.,n)均不是A的特征值。試證明:V的變換皆:X T XA + ATX為同構(gòu)。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark30 o Current Docum

6、ent 上海交通大學(xué)/ HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 2003年碩士研究生入學(xué)考試試題.試懸字號(hào)：423試題名稱:石鼻代數(shù).（答案必須寫在答題紙上，寫在試題歩二卻一律不給分）1 0 0、設(shè)/= 2-10.求d. （15 分）、1 2 1,以PS2表示數(shù)域p上的2階矩陣的集合。假?zèng)]二衛(wèi)244為兩兩互異的數(shù)而且它們的和不等于零是P上線性空的一組基。（15分）證明：階實(shí)對(duì)稱陣蟲的秩為r （r 0.證明AB015 分）； ”階方陣4滿足等式A = A2,當(dāng)豆僅當(dāng)” = F（4） + r（E-4）.（15分）設(shè)A,B 是“階爭(zhēng)方陣，并設(shè)；I為B4的非

7、零特征值。以了嚴(yán)表示加關(guān)壬2的特征字空間-C1）證明：2也是48的特征值；（2）證明：維數(shù)即 =維數(shù)（設(shè)&E都是”階正定方陣。試證明：的特征值為實(shí)數(shù)。（20分） 記？=嚴(yán)，F(xiàn)為數(shù)域。假設(shè)AV有特征值/!,（/ = 1,2,）,但 -a,（/ = 1,2,）均不是4的轉(zhuǎn)征值。試證明：卩的變渙血+ fX為同 構(gòu)。（20分）.20分）血交通大學(xué)004年碩士研究生入學(xué)考試試題舊一試題名稱r高審代數(shù)2答案必狽寫在答JH妊上，寫在試懇爺上的一*不給分）為次裁不超過3的莒項(xiàng)系數(shù)為丨曲互異多M式.假設(shè)IBB純畫除試求俯）的量大公因式.5分） 注p 0 f耘P上所有3x3矩陣爼成的錢性卻!.對(duì)于.心0 I 1

8、.求 、0 2 2但驕在非零柜陣H,便得B-必丹成為正定矩陣（附炭示矩淬”的轉(zhuǎn)置.） 眄分） 耳,a.與久厲他是“維欣氏空閭中的向粗.證明：存在正交便得心.艮對(duì)于所可的（1乙山成立，當(dāng)且僅當(dāng)內(nèi)積 V強(qiáng)43沖衛(wèi):鴻下而多項(xiàng)式的所有根：/（X）-x3叫叫-O,叫a.-嘰.5 分）r-2-af-hx-2-aJ.h叫a,x-2-aJ2 IT, MIX用K憶分別眾示以下兩個(gè)關(guān)于未鑒斂囂丿衛(wèi)的方趨組的解空間：= 0二 Qx+qy-rO 訃 + 毎4*0.l -yv = 0! x*y*&r = 0試瑚定a.b曲值便得耳+玖為與的直和（【$分）設(shè)n駙方叢小足-6才+11.4-6f“.試31定史得疋+二可逆的敎

9、上的 范番.（E為承矽萍）（15分）、 -、對(duì)子數(shù)域戶上的”維線性空何/，假設(shè)存在上的潼性變換6氏“瀟足CD rF = 0； （2） 0的秩小于&的快*試匹明；f與&至少老一個(gè)公關(guān)的特匿 向量.（15分）如果iftHEP上的維裁性空洵卩的紋性變iftb在P中有”個(gè)兩兩互異的特征 0 試求岀r的不變子空間的個(gè)St （xw-MwjjMjcjxo.）. （IQJ1字交通大學(xué)-、2005年磺工研究生入學(xué)考試試題 試題序號(hào):里竺 試題名稱二高等代數(shù)(含近世代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí))(答案必須寫在答題紙上，寫在試趣裁上的一律不給分)1-下面的n元線性方程組何時(shí)無解、有唯一薯、有無窮多組 解？有解時(shí)”求出解：G11 l

10、ai 11aaJ工2Xn/ZaAa丿 （15 分）1I2-假設(shè) /（X）=2 -z 2-x32X3 - 12x2 1 3 護(hù)1 4X3 1證明；存在實(shí)數(shù)c(0 c 1),使得(c) = 0,這里(工) 為/(x)的導(dǎo)函數(shù);在-Qr中將/(z)分.解為不可約因式之積。共15分)對(duì)亍n階方陣4及n階可逆方陣假設(shè)r(E /lB) + r(E + BA) = n.求證：r(A) = n.(這里，r(X)衰示矩陣A的秩。)(15分)假設(shè)/lmxn長(zhǎng)行滿秩實(shí)矩陣，m Q,XAX2 0,試證明：存在n維非零實(shí) 向量Xo使得XAX0 = 0. (15分)假設(shè)7是數(shù)域P上的n維線性空間，而6是/上的線 性變換，

11、且溺足cm + 46 = Iv, =叭(其中Iv是Z的恒等 變換，ij=l,2,3,4).求證：(5。3)7(0)定6的孩叭1(0)與對(duì)) 的直和。(2假設(shè)n階方陣4、B、C、D關(guān)于矩陣乘法相互可以交 換，如果 =試證明：r(人8) =+(15 分)對(duì)于實(shí)數(shù)域上的n2筆線性空間K =腳(九階方陣全 #),如下定義V上的一個(gè)二元實(shí)函數(shù)-：P.Q = tr(PrQ),并 記|F=只鬥(其中，tr(C)為方陣C的對(duì)角箋元素之和J。證明：V關(guān)于成為一個(gè)歐氏空間：對(duì)于半正定矩陣P,Q,命P-Q = R.求證；1IPQII 擁岡巴 -(10分)用2表示數(shù)域F上的階方陣的集合。(1)證明矩陣的等價(jià) 是集合V

12、上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系；(2)求等價(jià)類的個(gè)歿；(3)對(duì)于每個(gè)等價(jià) 類，各寫出一個(gè)代表元.(15分)9一假設(shè) G 為 71 階循環(huán)群.記 = m G Z/nZ|(m,n) = 1. 求證：Un關(guān)于2/nZ的乘注作成群：(2) G的自同構(gòu)群Aut(C?) 與U*同構(gòu)。(10分)10. F Z/3Z.求多項(xiàng)弍 f(H)= I3 4- 2r + 1 e rj 在 F 上 的一個(gè)分裂域K,并在KM中再多項(xiàng)式/(y)分齋因式.(15分)11對(duì)于髙斯整數(shù)壞Zi,求證 2f/(2 + )SZ/5Z;束域丸同/(2 + i)的特徑。如果，+卩=是z中的洪藝，試證明：Z/(a 4- W)二 Z/p. (10 分)上海交

13、通大學(xué)2006年碩士研究生入學(xué)考試試題試題序號(hào)：423 試題名稱：高等代數(shù)，(答案雖須寫在答題娥上，寫在試題紙上的一律不給分)1.設(shè)有兩個(gè)線性方程組，52、+ ai2X2 + + amxn - blt+ 22J -*+ (t2u-rn 壬 2;(】).4 知護(hù)2 -I卜= bm11y + 啦!/2 + + 嗎= 0,+ mi/2 41- d-m2ym = 0, (2) ln/l + an 0,，加如+燉血+虬1血=1.證明方程組(1)有解的充要條件是方程組無解.(滿分15分)2-計(jì)算下列行列式的值，0 + *1100 00尙i十阿0 000切切+。3兩 000000 n-200000 知.+

14、5-20000 n-la-l + an*(滿分15分)3.取向魚空間R4的一組基! = mg =(1, i,i, iy,5 - (1,1,-1, iy, a.| = (1,1,1,-iy.已知在基 ai, T,向量 a 的坐 標(biāo)魁(-2,0,1,2兒線性變換9的矩陣是/ 1求在壓 01 = (3,1,1,1) 02 = (1,3,1,1)； 03 = 1,3,1)； 04 = (1.1,1,3)下，向 蛍a的坐標(biāo)和線性變換v的矩陣.(滿分25JJ4.用正交變換化二次型為 /(Ti X2,a：3)= xj+4x|+4x?_4xi：C2+如仲3(5 標(biāo)準(zhǔn)型(滿分?jǐn)潭?-設(shè)八是3階實(shí)矩陣，且存在a

15、G應(yīng)使得a, Aa,線性無關(guān)，井且4aa二5護(hù)o - f5Ax.求矩陣2AZ + 31的行列式，其中f是3階單位陣.（滿分15分）若卩為索數(shù)，證明/（X）=嚴(yán) + #-2 + + 丁 + 1在有理數(shù)域上不可約.（滿分15分）沒兒B是“階復(fù)方陣* AB二BA,又它們都相似于對(duì)用陣，證明存在非奇異矩陣P,便PQP及P XBP同時(shí)為對(duì)角陣.（滿分20分）&設(shè)秩為h - L的n階矩陣A的特征值為冶，入n：其中= 0,求.4*的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型.（滿分15分）上海交通大學(xué)2007年碩士研究生入學(xué)考試試題試缺號(hào)；423 試題幽稱:（答案眩須寫在備題紙上，寫在試，題址上的一律不鎗汾）一、判斷題仃o分）1.

16、設(shè)兒B為n階方陣，且A秩等于B秩，則對(duì)任何自然數(shù)m都有Am扶尋干8； 秩.2設(shè)T為實(shí)數(shù)城上n維線形空間V上的線形變換，劃妊V上不一定存在T的舞征向 雖.3若n維耐盤b不在由A的列向址生成的列向壁空間中，則方程組心=6無解.t對(duì)一個(gè)矩陣實(shí)行行初等孌換不改變其列向址的線性關(guān)系，5.任何個(gè)實(shí)方陣必相似千一個(gè)實(shí)上三角陣.二（20 分）1-計(jì)算下列n階行列式 TOC o 1-5 h z 乂 十 yxy0001e 牛 y3ry00n_01x 4-* 00n=+,4 .000工 + yxy0001工十M2.已知屮尹滬，試證方程組OJ：! + bZ2n = 1+ bXn-l h 1* F 丄* r| * JB

17、巧+力二 14 4丄佩二 16x”_i + arn+a = 1kci + ax2n 蘭 1有唯一解，并求出它的第.三（15分）間k取何值時(shí)方程組AX二B有唯一解i無解；（3）有無窮多 鮮，此時(shí)求出它的通解.其中四(10分)、設(shè)-4 =“”，B 也4.證明Ah = 的解也罡Bx=Q的解的充要條件是s個(gè)方程組*4j lk2,- ,s都有解其中毎；(b八,bj-i，- , bjn) ,) 1,2, - - , 3.五(20分)1 .設(shè)/W,p(i)為數(shù)域F上的多項(xiàng)武，證明(/,9)= 1當(dāng)且僅當(dāng)1-2 ,用 H-a, H-bir-c 除 f(l)的余式依次為 r,s,t,試求用 ff(x) - iT-a)(r -h)(r-c) 除妙的余式.A (訕分.逐明維數(shù)定理；設(shè)V為數(shù)域F上的n維線牲空問.US 為V的兩亍子 空間，試證- J + Hl/j) = dim 們 + dim 旳，七10分)、設(shè)A, B分別是數(shù)域F上n X譏、e X p矩陽(yáng) V是齊次線性方桎組TAB = 0 的解空間.求證7 =佃=工內(nèi)h V為F*的子空何，并求.V的維數(shù).八(10分)、A為非零矩陣但不必為方陣，證明AX = E有解當(dāng)