考研數(shù)學(xué)(二)真題分析詳解

1、2003年考研數(shù)學(xué)（二）真題分析詳解填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） 若時(shí)， 與是等價(jià)無(wú)窮小，則a= -4 .【分析】 根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小量的定義，相當(dāng)于已知，反過(guò)來(lái)求a. 注意在計(jì)算過(guò)程中應(yīng)盡可能地應(yīng)用無(wú)窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行化簡(jiǎn).【詳解】 當(dāng)時(shí)，.于是，根據(jù)題設(shè)有 ，故a=-4.（2） 設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是 x-y=0 .【分析】 先求出在點(diǎn)(1,1)處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可.【詳解】 等式兩邊直接對(duì)x求導(dǎo)，得 ，將x=1,y=1代入上式，有 故過(guò)點(diǎn)(1,1)處的切線方程為 ，即

2、 （3） 的麥克勞林公式中項(xiàng)的系數(shù)是 .【分析】 本題相當(dāng)于先求y=f(x)在點(diǎn)x=0處的n階導(dǎo)數(shù)值，則麥克勞林公式中項(xiàng)的系數(shù)是【詳解】 因?yàn)?，于是有 ，故麥克勞林公式中項(xiàng)的系數(shù)是（4） 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為 ，則該曲線上相應(yīng)于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為 .【分析】 利用極坐標(biāo)下的面積計(jì)算公式即可.【詳解】 所求面積為 =.（5） 設(shè)為3維列向量，是的轉(zhuǎn)置. 若，則= 3 .【分析】 本題的關(guān)鍵是矩陣的秩為1，必可分解為一列乘一行的形式，而行向量一般可選第一行（或任一非零行），列向量的元素則為各行與選定行的倍數(shù)構(gòu)成.【詳解】 由=，知，于是（6） 設(shè)三階方陣A,B滿足，其中E

3、為三階單位矩陣，若，則 .【分析】 先化簡(jiǎn)分解出矩陣B，再取行列式即可.【詳解】 由知， ，即 ，易知矩陣A+E可逆，于是有 再兩邊取行列式，得 ，因?yàn)?, 所以 .二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且,則必有(A) 對(duì)任意n成立. (B) 對(duì)任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. D 【分析】 本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項(xiàng)的大小無(wú)關(guān)，可立即排除(A),(B)； 而極限是型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說(shuō)明即可；極限屬型，必為無(wú)窮大量，即不存

4、在.【詳解】 用舉反例法，取，則可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項(xiàng)為(D).（2）設(shè), 則極限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先用換元法計(jì)算積分，再求極限.【詳解】 因?yàn)?= =，可見(jiàn) =（3）已知是微分方程的解，則的表達(dá)式為 （A） (B) (C) (D) A 【分析】 將代入微分方程，再令的中間變量為u，求出的表達(dá)式，進(jìn)而可計(jì)算出.【詳解】將代入微分方程，得 ，即 .令 lnx=u，有 ，故 = 應(yīng)選(A).（4）設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). 兩個(gè)極小

5、值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). C y O x 【分析】 答案與極值點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，而可能的極值點(diǎn)應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，共4個(gè)，是極大值點(diǎn)還是極小值可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)，而 x=0 則是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見(jiàn)x=0為極大值點(diǎn)，故f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C).（5）設(shè), 則 (A) (B) (C) (D) B 【分析】 直接計(jì)算是困難的，可應(yīng)

6、用不等式tanxx, x0.【詳解】 因?yàn)楫?dāng) x0 時(shí)，有tanxx，于是 ，從而有 ， ，可見(jiàn)有 且，可排除(A),(C),(D)，故應(yīng)選(B).（6）設(shè)向量組 = 1 * ROMAN I：可由向量組 = 2 * ROMAN II：線性表示，則 (A) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 2 * ROMAN II必線性相關(guān). (B) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 2 * ROMAN II必線性相關(guān). (C) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關(guān). (D) 當(dāng)時(shí)，向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關(guān). D 【分析】 本題為一般教材上均有的比較兩組向量個(gè)數(shù)的定理：若向量組 = 1 * ROMAN I：可

7、由向量組 = 2 * ROMAN II：線性表示，則當(dāng)時(shí)，向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關(guān). 或其逆否命題：若向量組 = 1 * ROMAN I：可由向量組 = 2 * ROMAN II：線性表示，且向量組 = 1 * ROMAN I線性無(wú)關(guān)，則必有. 可見(jiàn)正確選項(xiàng)為(D). 本題也可通過(guò)舉反例用排除法找到答案.【詳解】 用排除法：如，則，但線性無(wú)關(guān)，排除(A)；，則可由線性表示，但線性無(wú)關(guān)，排除(B)；，可由線性表示，但線性無(wú)關(guān)，排除(C). 故正確選項(xiàng)為(D).三 、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù) 問(wèn)a為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)？【分析

8、】 分段函數(shù)在分段點(diǎn)x=0連續(xù)，要求既是左連續(xù)又是右連續(xù)，即 【詳解】 = = =令，有 ，得或.當(dāng)a=-1時(shí)，即f(x)在x=0處連續(xù).當(dāng)a=-2時(shí)，因而x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn).四 、（本題滿分9分） 設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，求【分析】 本題為參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)，按參數(shù)方程求導(dǎo)的公式進(jìn)行計(jì)算即可. 注意當(dāng)x=9 時(shí)，可相應(yīng)地確定參數(shù)t的取值.【詳解】由，得 所以 = =當(dāng)x=9時(shí)，由及t1得t=2, 故 五 、（本題滿分9分） 計(jì)算不定積分 【分析】 被積函數(shù)含有根號(hào)，典型地應(yīng)作代換：x=tant, 或被積函數(shù)含有反三角函數(shù)arctanx，同樣可考慮作變換：arctanx=

9、t，即 x=tant.【詳解】 設(shè)，則=又 = =，故 因此 = =六 、（本題滿分12分） 設(shè)函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.【分析】 將轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單，=，關(guān)鍵是應(yīng)注意：= =.然后再代入原方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】 (1) 由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 設(shè)方程( * )的特解為 ，代入方程( * )，求得，故，從而的通解是 由，得. 故所求初值問(wèn)題的解為 七 、（本題滿

10、分12分） 討論曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【分析】 問(wèn)題等價(jià)于討論方程有幾個(gè)不同的實(shí)根. 本題相當(dāng)于一函數(shù)作圖題，通過(guò)單調(diào)性、極值的討論即可確定實(shí)根的個(gè)數(shù)（與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）.【詳解】 設(shè)， y則有 4-k不難看出，x=1是的駐點(diǎn). O 1 x當(dāng)時(shí)，即單調(diào)減少；當(dāng)x1時(shí)，即單調(diào)增加，故為函數(shù)的最小值.當(dāng)k0時(shí)，無(wú)實(shí)根，即兩條曲線無(wú)交點(diǎn)；當(dāng) k=4，即4-k=0時(shí)，有唯一實(shí)根，即兩條曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) k4，即4-k0;在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)，使 ；(3) 在(a,b) 內(nèi)存在與(2)中相異的點(diǎn)，使 【分析】 (1) 由存在知，f(a)=0, 利用單調(diào)性即可證明f(x)0. (2) 要證的結(jié)論顯含f(a

11、),f(b)，應(yīng)將要證的結(jié)論寫為拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式進(jìn)行證明. (3) 注意利用(2)的結(jié)論證明即可.【詳解】 (1) 因?yàn)榇嬖冢?又，于是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加，故 (2) 設(shè)F(x)=, 則，故滿足柯西中值定理的條件，于是在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)，使 ，即 .(3) 因，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在內(nèi)存在一點(diǎn)，使，從而由(2) 的結(jié)論得 ，即有 十 一、（本題滿分10分）若矩陣相似于對(duì)角陣，試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使 【分析】 已知A相似于對(duì)角矩陣，應(yīng)先求出A的特征值，再根據(jù)特征值的重?cái)?shù)與線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)相同，轉(zhuǎn)化為特征矩陣的秩，進(jìn)而確定參數(shù)a. 至于

12、求P，則是常識(shí)問(wèn)題.【詳解】 矩陣A的特征多項(xiàng)式為 =，故A的特征值為由于A相似于對(duì)角矩陣，故對(duì)應(yīng)應(yīng)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即，于是有 由 ，知a=0.于是對(duì)應(yīng)于的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量可取為 ， 當(dāng)時(shí)， ，解方程組得對(duì)應(yīng)于的特征向量 令，則P可逆，并有十二 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為【分析】 三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】 方法一：必要性設(shè)三條直線交于一點(diǎn)，則線性方程組 (*)有唯一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：由，則從必要性的證明可知，故秩由于 =，故秩(A