綜合實驗數(shù)值計算

1、-. z.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院數(shù)學(xué)綜合實驗報告班 級：2013級數(shù)學(xué)三班姓 名：康萍-. z.數(shù) 值 計 算實驗?zāi)康谋緦嶒炌ㄟ^介紹Mathmatca的數(shù)值計算功能，它的特點是準確計算與數(shù)值計算相結(jié)合，能夠通過可選參數(shù)提高計算精度，學(xué)習(xí)包括數(shù)據(jù)的擬合及插值、數(shù)值積分與方程的近似解、極值問題、最優(yōu)化與數(shù)理統(tǒng)計方面的內(nèi)容。二、實驗環(huán)境 基于Windows環(huán)境下的Mathematica7.0軟件與Mathematica9.0軟件。實驗的根本理論和方法Mathmatica提供了進展數(shù)據(jù)擬合的函數(shù)：Fitdata,funs,vars 對數(shù)據(jù)data 用最小二乘法求函數(shù)表funs中各函數(shù)的一個線性組合作為所求的近

2、似解析式，其中vars是自變量或自變量的表。Fitdata, 求形如的近似函數(shù)式。Fitdata, 求形如的近似函數(shù)式。Fitdata, 求形如的近似函數(shù)式。函數(shù)InterpolatingPolynomial求一個多項式，使給定的數(shù)據(jù)是準確的函數(shù)值，其調(diào)用格式如下： InterpolatingPolynomial,* 當自變量為1，2，時的函數(shù)值為。InterpolatingPolynomial,* 當自變量為時的函數(shù)值為InterpolatingPolynomial,* 規(guī)定點處的函數(shù)值。求定積分的數(shù)值解有兩種方法：使用NIntegratef,*,a,b,n或使用NIntegratef,*,

3、a,b前者首先試圖求符號然后再求近似解，后者使用數(shù)值積分的直接求近似解。終究選用哪一個，這需要首先了解兩者各自的特點。前者首先試圖求符號解，當然花費更多的時間，但平安可靠。后者使用數(shù)值積分的直接求近似解，節(jié)約運行時間，但可靠性就差了。NIntegratef,是標準形式而且允許積分區(qū)間端點是奇異點。如果積分區(qū)間內(nèi)部有奇異點，積分區(qū)間內(nèi)部的奇異點不能被識別，需要明確指出：NIntegratef,其中是奇異點。NIntegrate有控制計算精度的可選參數(shù)：WorkingPrecision 內(nèi)部近似計算使用的數(shù)字位數(shù)默認值為16，等于系統(tǒng)變量SMachinePrecision的值。AccuracyGo

4、al 計算結(jié)果的絕對誤差默認值為Infinity。PrecisionGoal計算結(jié)果的相對誤差默認值為Automatic一般比WorkingPrecision的值小10。這3個參數(shù)都可以缺省或重新設(shè)置，后兩個值之一可以為Infinity，表示使用該參數(shù)，只使用另一個，一般第一個應(yīng)該大于后兩個。Ma*Points 計算時選取的被積函數(shù)的最大樣本數(shù)默認值為Automatic。Ma*Recursion 積分區(qū)域遞歸子劃分的最大個數(shù)默認值為6。MinRecursion 積分區(qū)域遞歸子劃分的最小個數(shù)默認值為0。SingularityDepth 積分區(qū)間端點處變量變化前使用的遞歸子劃分個數(shù)默認值為4。求數(shù)

5、值的和、積的函數(shù)NSumf,i,imin,ima*,di 求通項為f的和的近似值。NProductf, i,imin,ima*,di 求通項為f的積的近似值。函數(shù)Nsolve用于求代數(shù)方程組的全部近似解，其調(diào)用格式如下：Nsolveeqns,vars,n 其中可選參數(shù)n表示結(jié)果有n位的精度。能解類型廣泛的方程組的是FindRoot，大多數(shù)情況下它使用牛頓迭代法，無法求出符號導(dǎo)數(shù)時用正割法，其調(diào)用格式如下：FindRooteqn,*, 從出發(fā)求未知量*的方程eqn的一個解。FindRooteqn,*, ,*,min,*ma* 如果超出區(qū)間*min,*ma*則停頓尋找。FindRooteqn,*,

6、， 當方程無法求出符號導(dǎo)數(shù)時必須給出兩個初值，。FindRooteqn1，eqn2,*, 求方程組的一個解。如果在參數(shù)中出現(xiàn)復(fù)數(shù)，則求復(fù)數(shù)解。方程的標準形式為方程的右邊為0，這時可以輸入方程左邊的表達式，等號與0都可以省略。函數(shù)FindMinimum尋找一個函數(shù)的極小值點，其調(diào)用格式如下：FindMinimum 從出發(fā)求未知量*的函數(shù)f的一個極小值點和極小值。FindMinimum 當函數(shù)無法自動求出符號函數(shù)時，必須給出兩個初值。FindMinimum 求多元函數(shù)的一個極小值點和一個極小值。 ConstrainedMinf,ineqns,*,y, 在不等式約束的區(qū)域上求多元線性函數(shù)的最小值。C

7、onstrainedMa*f,ineqns,*,y, 求最大值。其中約定的所有自變量都非負，不等式可以使用各種不等號和等號。如果系數(shù)都是整數(shù)或分數(shù)，則答案也是整數(shù)或分數(shù)。8、SampleRangedata 求表data中數(shù)據(jù)的極差最大值減最小值。 Mediandata 求中值。 Meandata 求平均值。Variancedata 求方差無偏估計。 StandardDeviationdata 求標準差無偏估計。 VarianceMLEdata 求方差。StandardDeviationMLEdata 求標準差無偏估計。 CentralMomentdata,k 求k階中心矩。 BinomialD

8、istributionp Bernoulli分布。BinomialDistributionn,p 二項分布。GeometricDistributionp 幾何分布。HypergeometricDistributionn,M,N 超幾何分布。PoissonDistribution Poisson分布。NormalDistribution 正態(tài)分布。ChiSquareDistributionn 分布。UniformDistributionmin,ma* 均勻分布。E*ponentialDistribution 指數(shù)分布。StudentTDDistributionn t分布。FRatioDistri

9、bution F分布。GammaDistibution 分布。9、MeanCIdata,KnowVarianceVar 方差Var,由數(shù)據(jù)表data求總體數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間基于正態(tài)分布。MeanCIdata 由數(shù)據(jù)表data求總體數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間方差未知，基于t分布。10、MeanTestdata,KnownVarianceVar 方差Var，由數(shù)據(jù)表data檢驗總體數(shù)學(xué)期望，求出P值。 MeanTestdata, 方差未知，由數(shù)據(jù)表檢驗總體數(shù)學(xué)期望，求出P值。四、實驗的內(nèi)容和步驟及得到的結(jié)果和結(jié)果分析實驗一 數(shù)據(jù)擬合與插值實驗1 數(shù)據(jù)擬合1.1、實驗內(nèi)容：一組數(shù)據(jù)19.1，76.3、25，

10、77.8、30.1，79.25、36，80.8、40，82.35、45.1，83.9、50，85.1，求其函數(shù)解析式,并繪制出圖形。1.2實驗步驟在Mathematica中輸入語句如下1.3實驗結(jié)果1.4結(jié)果分析這組數(shù)據(jù)的近似函數(shù)解析式為y=70.5723 +0.291456 *，通過使用一次函數(shù)得到了很理想的擬合。2.1 實驗內(nèi)容：0.1,5.1234,0.2,5.3057,0.3,5.5687,0.4,5.9378,0.5,6.4337,0.6,7.0978,0.7,7.9493,0.8,9.0253,0.9,10.3627，求其函數(shù)解析式,并繪制出圖形。2.2實驗步驟在Mathemati

11、ca中輸入語句如下：2.3實驗結(jié)果2.4結(jié)果分析這組數(shù)據(jù)的近似函數(shù)解析式為y= 5.30661 -1.83196 *+8.17149 *2，通過使用二次函數(shù)得到了很理想的擬合。3.1實驗內(nèi)容：數(shù)據(jù)表*0.000.150.310.500.600.75y1.001.0041.0311.1171.2231.422求4次擬合多項式，并繪圖進展比擬。3.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下3.3、實驗結(jié)果：3.4、結(jié)果分析 擬合多項式為1.02587 -7.53296 *+65.6478 *2-162.547 *3+119.015 *44.1實驗內(nèi)容：二元擬合4.2 實驗步驟：在Math

12、ematica中輸入語句如下：4.3實驗結(jié)果：4.4 結(jié)果分析 首先生成二元函數(shù),的一個數(shù)據(jù)表，然好由這些數(shù)據(jù)反過來求二元函數(shù)。說明Fit函數(shù)可以求解多元問題。使用函數(shù)Chop去掉系數(shù)很小的項，以此消除誤差。5.1 實驗內(nèi)容：使用初等函數(shù)的組合進展擬合5.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下：5.3 實驗結(jié)果：5.4 結(jié)果分析：在進展數(shù)據(jù)擬合時，第二個參數(shù)使用了幾個初等函數(shù)，說明可以任意選用函數(shù)組成函數(shù)表。實驗2 插值法構(gòu)造近似函數(shù)1.1 實驗內(nèi)容：由條件求多項式1.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下1.3 實驗結(jié)果：1.4 結(jié)果分析： 輸出結(jié)果說明，所得答案

13、是準確結(jié)果，而不是近似函數(shù)，ln30是給出當*=1時的函數(shù)值和一、二階導(dǎo)數(shù)值，由3個條件得到一個二次多項式。2.1 實驗內(nèi)容：生成插值函數(shù)及其多項式2.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下2.3 實驗結(jié)果：2.4 結(jié)果分析：其中插值函數(shù)f的定義域是19.1，50，由圖形可以看出，給定的數(shù)據(jù)點在函數(shù)曲線上。3.1實驗內(nèi)容：*=0,2,3,5,6時的函數(shù)值為y=1,3,2,5,6.求插值多項式并繪圖。3.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下：3.3 實驗結(jié)果3.4 結(jié)果分析 插值多項式為1+(1+(-(2/3)+(3/10-11/120 (-5+*) (-3+*)

14、(-2+*) *。4.1 實驗內(nèi)容：生成插值函數(shù)及其多項式。4.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下：4.3 實驗結(jié)果4.4 結(jié)果分析：以上生成插值函數(shù)時，因為數(shù)據(jù)太少，因此設(shè)置插值多項式的次數(shù)為2，其中f1與f2的區(qū)別是，后者的自變量取默認值。通過實驗說明了給定數(shù)據(jù)與對應(yīng)關(guān)系，同時說明點處的近似函數(shù)值等于給定的值。5.1 實驗內(nèi)容：生成插值函數(shù)及其多項式。5.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下5.3 實驗結(jié)果：5.4 結(jié)果分析先生成一個二元近似函數(shù)，再使用FunctionInterpolation由復(fù)合函數(shù)生成一個新的近似函數(shù)，用以簡化復(fù)合函數(shù)的計算過程，同

15、時繪制出復(fù)合函數(shù)與它的近似函數(shù)圖形，圖象顯示兩者相差不大。實驗二 數(shù)值積分與方程的近似解實驗1 數(shù)值積分1.1 實驗內(nèi)容：有奇異點的積分1.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下1.3實驗結(jié)果：1.4結(jié)果分析：被積函數(shù)在*=0時分母為0，*=0是奇異點。如果給出的點不是奇異點，也不影響計算結(jié)果。2.1實驗內(nèi)容：可選參數(shù)比擬2.2實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下2.3實驗結(jié)果：2.4結(jié)果分析：雖然ln6說明可以設(shè)置很高的精度參數(shù)，但顯然不如使用ln5簡便。3.1實驗內(nèi)容：可選參數(shù)比擬3.2實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下3.3 實驗結(jié)果：3.4 結(jié)果

16、分析：被積函數(shù)在*=0附近變化劇烈，使用Ma*Recursion的默認值6不行，在ln1中設(shè)置它的值為10后解決。第二種解決問題的方法是插入分點，將積分區(qū)間分成三段，如ln2所示。4.1 實驗內(nèi)容：求數(shù)值的和與積4.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下4.3 實驗結(jié)果：4.4 結(jié)果分析：如果能求準確值，應(yīng)當首先求準確值再用N求近似值，這樣得到的結(jié)果精度比直接用NSum的高。實驗2 方程組的近似值1.1 實驗內(nèi)容：有奇異點的積分1.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下1.3 實驗結(jié)果：1.5 結(jié)果分析：52+1=0的解為*=1.00.方程組2+2=1,3=0的解為

17、*=0.826031,y=0.563624。2.1 實驗內(nèi)容：解方程組2.2實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下2.3 實驗結(jié)果：2.4 結(jié)果分析：ln9和ln10說明，取不同的初值可能得到不同的解。Ln11是解方程組，已經(jīng)不是代數(shù)方程了。Ln12求指定區(qū)間內(nèi)的解失敗，仍輸出一個結(jié)果，但不是解。Ln13是給出兩個初值的例子，此例如果僅給一個初值則失敗。實驗三 極值問題實驗1 極值問題1.1 實驗內(nèi)容：求函數(shù)的極小值。1.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下1.3 實驗結(jié)果：1.4 結(jié)果分析：ln20是求函數(shù)的極大值點，因為沒有求極大值的函數(shù)，改求-f的極小值。Ln2

18、1是求多元函數(shù)的極小值。實驗2 線性規(guī)化1.1 實驗內(nèi)容：多元線性規(guī)劃。1.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下1.3 實驗結(jié)果：1.4 結(jié)果分析：ln27說明即使不等式使用嚴格不等式號，答案仍取在邊界上。在ln28中系數(shù)使用小數(shù)，則答案也是小數(shù)形式的。Ln29說明可以使用等號，但必須鍵入= =。2.1 實驗內(nèi)容：非正常的多元線性規(guī)劃。2.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下2.3 實驗結(jié)果：2.4 結(jié)果分析Ln1實質(zhì)上有無窮多個解，但沒有警告信息。Ln2無解，返回結(jié)果是原來的輸入式。Ln3區(qū)域無界，沒有最大值，如果在無界區(qū)域上有最大最小值，還是能求出來的。3.

19、1 實驗內(nèi)容：自變量和約束不等式較多時的多元線性規(guī)劃。2.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下3.3 實驗結(jié)果：3.4 結(jié)果分析Ln2有無窮多解，仍沒有警告出現(xiàn)。Ln3無解。Ln1為正常情況，復(fù)雜的系數(shù)矩陣可以由數(shù)據(jù)文件讀入。實驗四 數(shù)理統(tǒng)計實驗1 樣本的數(shù)字特征1.1、實驗內(nèi)容：一元數(shù)理統(tǒng)計的根本計算。1.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下1.3、實驗結(jié)果：1.4、結(jié)果分析：所給樣本的樣本容量為7，其中樣本的最小值為3.8，最大值為6.6，中值為6，平均值為6.，方差無偏估計為0.962857，標準差無偏估計為0.981253.2.1、實驗內(nèi)容：求多元數(shù)理統(tǒng)

20、計的根本計算。2.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下2.3、實驗結(jié)果2.4、結(jié)果分析：樣本容量為4，中值為1.185，2.125，3.245，平均值為1.1925，2.14，3.125，方差為0.00755833，0.0200667，0.0137667，2階中心矩為0.00566875，0.01505，0.010325，z的協(xié)方差為0.0093，y與z的相關(guān)系數(shù)為0.0521435，*的自相關(guān)系數(shù)為1.。實驗2 常用分布的計算1.1、實驗內(nèi)容：二項分布的各種計算。1.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下1.3實驗結(jié)果1.4、結(jié)果分析二項分布的均值為nb，方差為

21、 n(1-p)p,特征函數(shù)為。當二項分布中n=10,p=0.3時，點4處分布b的密度值為0.200121，點3.9處分布函數(shù)值為0.649611，點4處的分布函數(shù)值為0.849732，方差為2.1.2.1、實驗內(nèi)容：離散分布的例子。2.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下2.3、實驗結(jié)果2.4、結(jié)果分析超幾何分布n,M,N的均值為，方差為。參數(shù)為5的泊松分布在點2處的密度值為，點20處的密度值為。3.1、實驗內(nèi)容：1，求 。2，求3.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下3.3、實驗結(jié)果3.4、結(jié)果分析1，24.1實驗內(nèi)容：繪制分布在n分別為1，5，15時的分布密

22、度函數(shù)圖。4.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下4.3、實驗結(jié)果4.4、結(jié)果分析：當參數(shù)為1時，函數(shù)圖為藍色分支；當參數(shù)為5時，函數(shù)圖為紅色分支；當參數(shù)為15時，函數(shù)圖為黃色分支?？梢?，參數(shù)越大，圖像越矮胖，參數(shù)越小，圖像越高瘦。實驗3 區(qū)間估計1.1、實驗內(nèi)容：*鋼鐵廠的鐵水含炭量%服從正態(tài)分布，現(xiàn)測得5爐鐵水的含炭量分別是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37.如果標準差，求鐵水平均含炭量的置信區(qū)間。1.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下1.3、實驗結(jié)果根據(jù)所做程序，實驗沒有給出一個的正確的置信區(qū)間。1.4、結(jié)果分析本機所裝Mathematic

23、a程序中沒有相應(yīng)的外部函數(shù)。實驗4 回歸分析1.1、實驗內(nèi)容：*食品廠使用自動裝罐機生產(chǎn)罐頭，每罐標準質(zhì)量是500g，標準差為10g，現(xiàn)抽取10罐，測的質(zhì)量單位：g分別為495,510,505,498,503,492,502,512,497，506，假定罐頭的質(zhì)量服從正態(tài)分布，顯著性水平為0.05，問裝罐機工作是否正常？1.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下1.3、實驗結(jié)果根據(jù)所做程序，實驗沒有得出一個的正確的假設(shè)檢驗。1.4、結(jié)果分析 本機所裝Mathematica程序中沒有相應(yīng)的外部函數(shù)。五、心得體會之前在數(shù)值分析、常微分方程、以及運籌學(xué)等課程中學(xué)習(xí)了很多關(guān)于數(shù)值計算方面的問題，但是之前一直都是筆算進展的。有時候問題特別復(fù)雜，或是題設(shè)特別多的時候，總給人一種無從下手的感覺，我們必須花費大