全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義數(shù)列、組合

1、競(jìng)賽試卷16 排列，組合1排列組合題的求解策略1）排除：對(duì)有限條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況排除，這是解決排列組合題的常用策略2）分類(lèi)與分步有些問(wèn)題的處理可分成若干類(lèi)， 用加法原理， 要注意每?jī)深?lèi)的交集為空集， 所有各類(lèi)的并集是全集；有些問(wèn)題的處理分成幾個(gè)步驟，把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，即得總的方法數(shù)，這是乘法原理3）對(duì)稱(chēng)思想：兩類(lèi)情形出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，可用總數(shù)取半得每種情形的方法數(shù)4）插空：某些元素不能相鄰或某些元素在特殊位置時(shí)可采用插空法即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間5）捆綁： 把相鄰的若干特殊元素 “捆綁” 為一個(gè) “大元素

2、”，然后與其它 “普通元素”全排列，然后再“松綁” ，將這些特殊元素在這些位置上全排列（ 6）隔板模型：對(duì)于將不可辨的球裝入可辨的盒子中，求裝的方法數(shù)， 常用隔板模型 如將 12 個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11 個(gè)縫隙中任意插入3 塊隔板，把球分成 4 堆，分別裝入4 個(gè)不同的盒子中的方法數(shù)應(yīng)為C113 ，這也就是方程 ab c d 12 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)2圓排列（1）由 A a1 , a2 , a3 , an 的 n 個(gè)元素中，每次取出 r 個(gè)元素排在一個(gè)圓環(huán)上，叫做一個(gè)圓排列（或叫環(huán)狀排列）2）圓排列有三個(gè)特點(diǎn)：（ i ）無(wú)頭無(wú)尾；（ ii ）按照同一方向轉(zhuǎn)換后仍是同一排列；

3、 （ iii ）兩個(gè)圓排列只有在元素不同或者元素雖然相同，但元素之間的順序不同， 才是不同的圓排列（ 3）定理：在A a1, a2 , a3 , an 的 n 個(gè)元素中，每次取出r 個(gè)不同的元素進(jìn)行圓r排列，圓排列數(shù)為Pn r3可重排列允許元素重復(fù)出現(xiàn)的排列，叫做有重復(fù)的排列在 m 個(gè)不同的元素中，每次取出n 個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序那么第一、第二、第n 位是的選取元素的方法都是m 種，所以從 m 個(gè)不同的元素中，每次n4不盡相異元素的全排列如果 n 個(gè)元素中，有p1 個(gè)元素相同，又有p2 個(gè)元素相同，又有ps 個(gè)元素相同（ p1 p2psn ），這 n 個(gè)元素全部取的排列叫做

4、不盡相異的n 個(gè)元素的全排列，它的排列數(shù)是n!p1 ! p2!ps !5可重組合（ 1）從 n 個(gè)元素，每次取出p 個(gè)元素，允許所取的元素重復(fù)出現(xiàn)1,2, p 次的組合叫從 n 個(gè)元素取出p 個(gè)有重復(fù)的組合競(jìng)賽試卷（ 2）定理：從n 個(gè)元素每次取出p 個(gè)元素有重復(fù)的組合數(shù)為：H npCnr ( p 1) 例題講解1數(shù) 1447,1005,1231 有某些共同點(diǎn)，即每個(gè)數(shù)都是首位為1 的四位數(shù)，且每個(gè)四位數(shù)中恰有兩個(gè)數(shù)字相同，這樣的四位數(shù)共有多少個(gè)？2有多少個(gè)能被3 整除而又含有數(shù)字6 的五位數(shù)？3有 2n 個(gè)人參加收發(fā)電報(bào)培訓(xùn)，每?jī)扇私Y(jié)為一對(duì)互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對(duì)方式？4將 n1個(gè)不同的

5、小球放入n 個(gè)不同的盒子中，要使每個(gè)盒子都不空，共有多少種放法？5在正方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)， 12 條棱的中點(diǎn)， 6 個(gè)面的中心及正方體的中心共 27 個(gè)點(diǎn)中， 共線(xiàn)的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少個(gè)？6用 8 個(gè)數(shù)字 1,1， 7,7，8,8， 9,9 可以組成不同的四位數(shù)有多少個(gè)？競(jìng)賽試卷7用 A, B,C , D , E 五種顏色給正方體的各個(gè)面涂色，并使相鄰面必須涂不同的顏色，共有多少種不同的涂色方式？8某種產(chǎn)品有 4 只次品和 6 只正品（每只產(chǎn)品可區(qū)分） ，每次取一只測(cè)試， 直到 4 只次品全部測(cè)出為止求最后一只次品在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？9在平面上給出 5 個(gè)點(diǎn)，連結(jié)這些點(diǎn)的直

6、線(xiàn)互不平行，互不重合，也互不垂直，過(guò)每點(diǎn)向其余四點(diǎn)的連線(xiàn)作垂線(xiàn)，求這此垂線(xiàn)的交點(diǎn)最多能有多少個(gè)？10位政治家舉行圓桌會(huì)議，兩位互為政敵的政治家不愿相鄰，其入坐方法有多少種？11某城市有6 條南北走向的街道，5 條東西走向的街道如果有人從城南北角（圖A 點(diǎn)）走到東南角中B 點(diǎn)最短的走法有多少種？12用 4 個(gè) 1 號(hào)球，3 個(gè) 2 號(hào)球， 2 個(gè) 3 號(hào)球搖出一個(gè)9 位的獎(jiǎng)號(hào)， 共有多少種可能的號(hào)碼？13將 r 個(gè)相同的小球，放入n 個(gè)不同的盒子（rn ）1）有多少種不同的放法？2）如果不允許空盒應(yīng)有多少種不同的放法？148 個(gè)女孩和25 個(gè)男孩圍成一圈，任意兩個(gè)女孩之間至少站著兩個(gè)男孩（只要把

7、圓旋轉(zhuǎn)一下就重合的排列認(rèn)為是相同的）課后練習(xí)競(jìng)賽試卷1 8 次射擊，命中3 次，其中愉有 2 次連續(xù)命中的情形共有（）種（A） 15（B）30（C）48（ D）602在某次乒乓球單打比賽中，原計(jì)劃每?jī)擅x手恰比賽一場(chǎng)，但有3 名選手各比賽了2 場(chǎng)之后就退出了，這樣，全部比賽只進(jìn)行了50場(chǎng)。那么，在上述 3名選手之間比賽的場(chǎng)數(shù)是（）（A） 0（B） 1（ C）2（D）33某人從樓下到樓上要走11 級(jí)樓梯，每步可走1 級(jí)或 2 級(jí)，不同的走法有（）種（ A） 144（ B） 121（C）64（D）814從 7 名男乒乓球隊(duì)員，5 名女乒乓球隊(duì)員中選出4名進(jìn)行男女混合雙打，不同的分組方法有（）種（

8、A） 2C72 C52（B） 4C72C52（ C） P72 P52（D） C72 C525有 5 分、1 角、5 角的人民幣各2 枚、3 張、9 張，可組成的不同幣值 （非 0）有（）種（A） 79（B）80（C）88（ D）896從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 這 10個(gè)數(shù)中取出3 個(gè)數(shù)，使其和為不小于10 的偶數(shù)，不同的取法有 _種7已知直線(xiàn) ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合 3,2,1,0,1,2,3 中的 3 個(gè)不同的元素，并且該直線(xiàn)的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線(xiàn)的條數(shù)是_8設(shè) ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開(kāi)始在頂點(diǎn)A 處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂

9、點(diǎn)之一若在 5 次之內(nèi)跳到 D 點(diǎn)，則停止跳動(dòng)；若5 次之內(nèi)不能到達(dá)D 點(diǎn)，則跳完 5 次也停止跳動(dòng)，那么這只青蛙從開(kāi)始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種9如果：（ 1）a,b,c,d 都屬于 1,2,3,4；（ 2）ab,b c,c d,d a；(3)a 是 a,b,c,d 中的最小值，那么，可以組成的不同的四位數(shù)abcd 的個(gè)數(shù)是 _10在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域種植觀(guān)賞植物，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物?，F(xiàn)有4 種不同的植物可供選擇，則有種載種方案11 10 人圍圓桌而，如果甲、乙二人中間相隔4 人，有種坐法12從 1,2,3, ,19 中，按從小到大的順序選取a1 , a2 , a3 , a4 四個(gè)數(shù)，使得