初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案⑺立體圖形

1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第7講立體圖形空間形體的想象能力是小學(xué)生的一種重要的數(shù)學(xué)能力，而立體圖形的學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)這種能力十分有效。我們雖然在課本上已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡(jiǎn)單的立體圖形，如正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體、圓錐體，但有關(guān)立體圖形的概念還需要深化，空間想象能力還需要提高。將空間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成平面的位置關(guān)系來處理，是解決立體圖形問題的一種常用思路。一、立體圖形的外表積和體積計(jì)算例1一個(gè)圓柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm,玻璃杯側(cè)的底面積是72cm,在這個(gè)杯中放進(jìn)棱長(zhǎng)6cm的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊，這時(shí)水面高多少厘米？解：水的體積為72X2.5=180cm3，放入鐵塊后可以將水看做是底面積為72-6

2、X6=32cm2的柱體，所以它的高為180+32=5cm。例2以下列圖表示一個(gè)正方體，它的棱長(zhǎng)為4cm,在它的方體，問：此圖的外表積是多少?上下、前后、左右的正中位置各挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的正分析：正方體有6個(gè)面，而每個(gè)面中間有一個(gè)正方形的孔，在計(jì)算時(shí)要減去小正方形的面積。各面又挖去一個(gè)小正方體，這時(shí)要考慮兩頭小正方體是否接通，這與外表積有關(guān)系。由于大正方體的棱長(zhǎng)為4cm,而小正方體的棱長(zhǎng)為1cm,所以沒有接通。每個(gè)小正方體孔共有5個(gè)面，在計(jì)算外表積時(shí)都要考慮。解：大正方體每個(gè)面的面積為4X4-1X1=15cm2，6個(gè)面的面積和為15X6=90cm2。小正方體的每個(gè)面的面積為1X1二1cm2，

3、5個(gè)面的面積和為1X5二5cm2，6個(gè)小正方體孔的外表積之和為5X6=30cm2，因此所求的外表積為90+30=120cm2。想一想，當(dāng)挖去的小正方體的棱長(zhǎng)是2cm時(shí)，外表積是多少？請(qǐng)同學(xué)們把它計(jì)算出來。例3正方體的每一條棱長(zhǎng)是一個(gè)一位數(shù)，外表的每個(gè)正方形面積是一個(gè)兩位數(shù)，整個(gè)外表積是一個(gè)三位數(shù)。而且假設(shè)將正方形面積的兩位數(shù)中兩個(gè)數(shù)碼調(diào)過來那么恰好是三位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)碼。求這個(gè)正方體的體積。解：根據(jù)“正方體的每一條棱長(zhǎng)是一個(gè)一位數(shù)，外表的每個(gè)正方形面積是一個(gè)兩位數(shù)，整個(gè)外表積是一個(gè)三位數(shù)的條件，可知正方體的棱長(zhǎng)有5,6,7,8,9這五種可能性。棱長(zhǎng)50739正方形面積2536496481

4、全面積1252162943844粥根據(jù)“將正方形面積的兩位數(shù)中兩個(gè)數(shù)碼調(diào)過來恰好是三位數(shù)的十位上與個(gè)位上的數(shù)碼，可知這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是7。如右表：因此這個(gè)正方體的體積是7X7X7=343。例4一個(gè)長(zhǎng)、寬和高分別為21cm,15cm和12cm的長(zhǎng)方體，現(xiàn)從它的上面盡可能切下一個(gè)正方體，然后從剩余的局部再盡可能切下一個(gè)正方體，最后再從第二次剩余的局部盡可能切下一個(gè)正方體，剩下的體積是多少立方厘米？解：根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為21cm,15cm和12cm的條件，可知第一次切下盡可能大的正方體的棱長(zhǎng)是12cm,其體積是12X12X12=1728cm3。這時(shí)剩余立體圖形的底面形狀如圖1,其高是12c

5、m。這樣，第二次切下盡可能大的正方體的棱長(zhǎng)是9cm,其體積是9X9X9=729cm3。這時(shí)剩余立體圖形可分割為兩局部：一局部的底面形狀如圖2,高是12cm；另一局部的底面形狀如圖3,高是3cm。這樣，第三次切下盡可能大的正方體的棱長(zhǎng)是6cm,其體積是6X6X6=216cm3。因止匕，剩下的體積是21X15X12-12+93+63=3780-2673=1107cm3。我們F是在原有說明：如果手頭有一個(gè)泥塑的長(zhǎng)方體和小刀，那么做出這道題并不難。但實(shí)際上，我們并沒有依賴于具體的模型和工具，這就是想象力的作感性經(jīng)歷的根底上，想象出切割后立體的形狀，并通過它們各個(gè)側(cè)面的形狀和大表示出來。因此，對(duì)一個(gè)立體

6、圖形，應(yīng)該盡可能地想到它山型27例5右圖是一個(gè)長(zhǎng)27cm,寬8cm,高8cm的長(zhǎng)方體?，F(xiàn)將它分為4局部，然后將這4局部重新組拼,能重組為一個(gè)棱長(zhǎng)為12cm的正方體。請(qǐng)問該怎么分?解：重組成的正方體的棱長(zhǎng)是體的寬是8cm,所以要把寬增加為此可按右圖1中的粗線分開，分開重組成圖2的形狀；圖2的高是8cm,也應(yīng)增加4cm,為此可按圖2中的虛線分開，分開后重組成圖3的形狀。圖3就是所組成的棱長(zhǎng)為12cm的正方體。說明：這里有一個(gè)樸素的思想，就是設(shè)法把缺乏12cm的寬和高補(bǔ)成12cm的棱長(zhǎng)，同時(shí)按照某種對(duì)稱的方式分割。在解關(guān)于立體圖形的問題時(shí)，需要有較豐富的想象力，要能把平面圖形在頭腦中“立起來，另外還

7、應(yīng)有一定的作圖本領(lǐng)和看圖能力。例6雨嘩嘩地不停地下著，如在雨地里放一個(gè)如右圖那樣的長(zhǎng)方體的容器單位：厘米，雨水將它下滿要用1時(shí)。有以下15不同的容器，雨水下滿各需多長(zhǎng)時(shí)間？（注.e面是朝上的敞口部分，y解：根據(jù)題意知雨均勻地下， 即單位面積的降雨量一樣。所以 雨水下滿某容器所需的時(shí)間與該容 器的容積和接水面敞開局部的 面積之比有關(guān)。因?yàn)樵诶龍D所示容器中：容積 10 x10 x30 10接水面積一 1。乂知 一丁需1時(shí)接滿，所以容積 10父10*10接水面積-10%10需1時(shí)裝滿,容積接水面枳10 x10 x30 3Q10 xW需時(shí)接滿圖（3）；圖（4）=容積接水面積1010 x20 + 10

8、x10 x1010 x io30彳，需3時(shí)接滿,容積 10 乂 20 乂乂 1口 乂 10 _ 15捺永而獲10 x20 =T需時(shí)接滿;容積接水面積一 乂2020需2時(shí)接滿口二、立體圖形的側(cè)面展開圖例7右圖是一個(gè)立體圖形的側(cè)面展開圖單位：cm，求這個(gè)立體圖形的外表積和體積解：這個(gè)立體圖形是一個(gè)圓柱的四分之一如右上圖，圓柱的底面半徑為10cm,高為8cm。它的外表積為2火一x3/MX10%+-X2X3.14X10X8+2X10X8A4=157+125.6+160=432.5(cm3)口它的的只為乂3.14乂10Mg=157(cm3)4例8右圖是一個(gè)正方體，四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。

9、請(qǐng)?jiān)谟蚁路降恼归_圖中畫出四邊形APQC的四條邊。解：把空間圖形外表的線條畫在平面展開圖上，只要抓住四邊形APQC四個(gè)頂點(diǎn)所在的位置這個(gè)關(guān)鍵，再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。1考慮到展開圖上有六個(gè)頂點(diǎn)沒有標(biāo)出，可想象將展開圖折成立體形，并在頂點(diǎn)上標(biāo)出對(duì)應(yīng)的符號(hào)，見右圖。2根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點(diǎn)所在的點(diǎn)和棱，以及四條邊所在的平面：頂點(diǎn)：AA,CC,P在EF邊上，Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。3將上面確定的位置標(biāo)在展開圖上，并在對(duì)應(yīng)平面上連線。需要注意的是,連線時(shí)必須注意連線所在的平面。例9如右

10、圖所示，剪一塊硬紙片可以做成一個(gè)多面體的紙模型沿虛線折，沿實(shí)線立體圖上的A,C點(diǎn)在展開圖上有三個(gè)，B,D點(diǎn)在展開圖上有二名所以在標(biāo)點(diǎn)粘。這個(gè)多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)的總和是多少？解：從展開圖可以看出，粘合后的多面體有12個(gè)正方形和8個(gè)三角形，共20個(gè)面。這個(gè)多面體上部的中間是一個(gè)正三角形，這個(gè)正三角形的三邊與三個(gè)正方形相連，這樣上部共有9個(gè)頂點(diǎn)，下部也一樣。因此，多面體的頂點(diǎn)總數(shù)為9X2=18個(gè)。在20個(gè)面的邊中，虛線有19條，實(shí)線有34條。因?yàn)槊織l虛線表示一條棱，兩條實(shí)線表示一條棱，所以多面體的總棱數(shù)為19+34+2=36條綜上所述，多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)之和為20+18+36=74。

11、說明：數(shù)學(xué)家歐拉曾給出一個(gè)公式：V+F-E=2。公式中的V表示頂點(diǎn)數(shù)，E表小棱數(shù)，F(xiàn)表小面數(shù)。根據(jù)歐拉公式，知道上例多面體的面數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)之后，棱數(shù)便可求得：E=V+F-2=20+18-2=36條。三、立體圖形的截面與投影例10用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，可以得到幾邊形?解：如以下列圖，可得到三角形、四邊形、五邊形和六邊形例11一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體，把它切開成49個(gè)小正方體。小正方體的大小不必都一樣，而小正方體的棱長(zhǎng)以厘米作單位必須是整數(shù)。問：可切出幾種不同尺寸的正方體？每種正方體的個(gè)數(shù)各是多少？解：13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216。如果能切出1個(gè)棱長(zhǎng)為5

12、cm的正方體，那么其余的只能是棱長(zhǎng)為1cm的正體體，共切出小正方體：1+63-53+1=92個(gè)。因?yàn)?249,所以不可能切出棱長(zhǎng)為5cm的正方體。如果能切出1個(gè)棱長(zhǎng)為4cm的正方體，那么其余的只能是棱長(zhǎng)為1cm或2cm的正方體。設(shè)切出棱長(zhǎng)為1cm的正方體有a個(gè)，切出棱長(zhǎng)為2cm的正方體有b個(gè)，那么有卜十2%+41a+b=49-1解之得b=14,不合題意。所以切不出被長(zhǎng)為4cm的正方體。設(shè)切出棱長(zhǎng)為1cm的正方體有a個(gè)，棱長(zhǎng)為2cm的正方體有b個(gè)，棱長(zhǎng)為3cm的正方體有c個(gè)，那么a+Sb+27c-216a4*B4亡二49解之得a=36,b=9,c=4。所以可切出才8長(zhǎng)分別為1cm, 2cm和3c

13、m例12現(xiàn)有一個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的正方體，一個(gè)長(zhǎng)的正萬體，其個(gè)數(shù)依次為36, 9和4。IffiO前曲著惻面所看乎k二:二口二二三力二寬為1cm高為2cm的長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)寬為1cm高為3cm的長(zhǎng)方體。右側(cè)圖形是把這五個(gè)圖形合并成某一立體圖形時(shí)，從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形。試?yán)孟旅嫒齻€(gè)圖形把合并成的立體圖形如上圖的樣子畫出來，并求出其外表積。解：立體圖形的形狀如右圖所示。從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2,共18cm；從兩個(gè)側(cè)面看到的形狀面積都為7cm2,共14cm；從前面和后面看到的形狀面積都為6cm2,共12cm2;隱藏著的面積有2cm2。一共有18+16+12+2=46cm2。練習(xí)7.

14、一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從里面量得長(zhǎng)40cm,寬30cm,深35cm,里面白水深10cm。放進(jìn)一個(gè)棱長(zhǎng)20cm的正方體鐵塊后，水面高多少厘米？.王師傅將木塊刨成橫截面如右圖單位：cm那樣的高40cm的一個(gè)棱柱。虛線把橫截面分成大小兩局部，較大的那局部的面積占整個(gè)底面的60%。這個(gè)棱柱的體積是多少立方厘米？.在底面為邊長(zhǎng)60cm的正方形的一個(gè)長(zhǎng)方體的容器里，直立著一根高1m,底面為邊長(zhǎng)15cm的正方形的四棱柱鐵棍。這時(shí)容器里的水半米深?，F(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24cm,露出水面的四棱柱鐵棍浸濕局部長(zhǎng)多少厘米？4.以下各圖形中，有的是正方體的展開圖，寫出這些圖形的編號(hào)5.小玲有兩種不同形狀的紙板，一種

15、是正方形，一種是長(zhǎng)方形。正方形紙板的6.請(qǐng)你在下面圖2中畫出3種和圖1不一樣的設(shè)計(jì)圖，使它們折起來后都成為以下列圖所示的長(zhǎng)方形盒子直線段與各棱交于棱的中點(diǎn)0一樣的正方體木塊，從正南方向看如下左圖，從正向看如下右圖，要擺出這樣的圖形至多用多少塊正方體木塊？至少需要多少塊正方體木塊?8.有一個(gè)正方體，它的6個(gè)面被分別涂上了不同的顏色，并且在每個(gè)面上至少貼有一紙條。用不同的方法來擺放這個(gè)正方體，并從不同的角度拍下照片。1洗出照片后，把所拍攝的面的顏色種類不同的照片全部挑選出來，最多可以選出多少照片？2觀察1中選出的照片，發(fā)現(xiàn)各照片里的紙條數(shù)各不一樣。問：整個(gè)正方體最少貼有多少紙條？練習(xí)7答案1.15

16、cm。解：假設(shè)鐵塊完全浸入水中，那么水面將提高203一(4QM30)(cm).此時(shí)水面的高小于20cm,與鐵塊完全浸入水中矛盾，所以鐵塊頂面仍然高于水面。此時(shí)水深與容器底面積的乘積應(yīng)等于原有水量的體積與鐵塊浸入水中體積之和。設(shè)放進(jìn)鐵塊后，水深為xcm,那么40X30Xx=40X30X10+20X20Xx,解得x=15,即放進(jìn)鐵塊后，水深15cm。2.19200cm。解：如圖所示，由大塊面積是小塊面枳的倍，可得方程(12+24)第=2二聒+雷)2S-x)解得x=16。這個(gè)棱柱的體積是12+24X16+2+60%X40=19200cm3。25.6cm=解：容器里的水共有60X60-15X15X50=168750cm3。當(dāng)把鐵棍提起24cm時(shí)，鐵棍仍浸在水中的局部的長(zhǎng)是168750-6CX60X24一60X60-15X15=24.4cm,所以露出水面白浸濕局部長(zhǎng)50-24.4=25.6cm。23689121416171920共11個(gè)。1：2。解：設(shè)一共做了x個(gè)豎式紙盒，y個(gè)橫式紙盒。注意到這兩種紙盒都是無蓋的，x個(gè)豎式紙盒共用x個(gè)正方形和4x個(gè)長(zhǎng)方形紙板；y個(gè)橫式紙盒共用2y個(gè)正方形和3y個(gè)長(zhǎng)方形紙板。根據(jù)題意，得2x+2y=4x+3y,