初二(下冊)數(shù)學(xué)題

1、:如果abc=1,求證1aba-+-+-=11bcb1acc1ab一+ -2a a bc abc ab解:1 + 1 =9a b 2(a b)八一.1解：原式=1+aba1abcab=1+ababa11abaa1ab_aba1aba1=1119ba:已知a3=2(7，則a+b等于多少? TOC o 1-5 h z ab=9ab2(ab)2(ab)2=9ab2,2.2a+4ab+2b=9ab2.2,2(ab)=5ab22ab5=ab2b亙_5ab一2三：一個圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水。向容器中注滿水的

2、全過程共用時間t分。求兩根水管各自注水的速度解：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x,則大水管進(jìn)水速度為4x。由題意得：t2x8x一5v解之得：x5V8t5v經(jīng)檢馴倚：x是原方程解。8t5V2t，一，、5v，一，、，小口徑水管速度為皮，大口徑水管速度為四：聯(lián)系實際編擬一道關(guān)于分式方程-8-2的應(yīng)用題。要求表述完整，條件x2x充分并寫出解答過程。解略 TOC o 1-5 h z 22五：已知必一、Nx-y-,用“+”或連結(jié)MN,有三種不同的xyxy形式，M+INM-NN-M請你任取其中一種進(jìn)行計算，并簡求值，其中x:y=5:2。c22/、2解：選擇一：M N2xyxy(xy)xy22一,-7xyxy(xy)(x

3、y)xy5當(dāng) x ： y=5 ： 2 時，x52y-y，原式二仁5y2選擇二：M N222xyxy222x yxy(x y)2y x(x y)(x y)x y當(dāng) x ： y=5 ： 2 時，x5 y -y 原式=15 y2選擇三：N M222xy2xy (x y) x y2222x y x y (x y)(x y) x y當(dāng) x ： y=5 ： 2 時，x52y52y y52y y反比例函數(shù):一：一張邊長為16cm正方形的紙片，剪去兩個面積一定且一樣的小矩形得到一個“E”圖案如圖1所示.小矩形的長x(cm)與寬y(cm)之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示：(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)“E圖案的

4、面積是多少？解:(3)如果小矩形的長是6 x 12cm,求小矩形寬的范圍(1)設(shè)函數(shù)10, 2)2;函數(shù)圖象經(jīng)過(S正 2xy220 216220y x-20 y x，xy=20,Se16(3)當(dāng) x=6 時,當(dāng)x=12時,206 201210353，一E，5，小矩形的長是6xAOAP=2，1)?(2)=1,12所以有，m=1,解得m24所以點Q的坐標(biāo)為、1(2,1)和、2(-2,-1)(3)因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ,OQ=PC,而點P(1,2)是定點，所以O(shè)P的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值.2因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可

5、設(shè)點Q的坐標(biāo)為Q(n,2),n由勾股定理可得OQ2=n2+。=(n-2)2+4,nn2222所以當(dāng)(n-)=0即n-二0時，OQ有最小值4,nn又因為OQ為正值，所以O(shè)Q與OQ2同時取得最小值，所以O(shè)Q有最小值2.由勾股定理得OP=J5,所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2(OP+OQ)=2(75+2)=2有+4.與反比例函數(shù)y一罟在第一象限的圖象交于點c(1 , 6)、點 D(3, x).過點 C作五：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與Y軸和X軸分別交于點A、點8,CE上y軸于E,過點D作DF上X軸于F.(2)求直線AB的函數(shù)解析式;求n的值；解二。由題意得1=看二稀=&2設(shè)直坡的函數(shù)解

6、析式為y=匕*6由童意傅土十g &34 +占金2解得Ib=8二直線AB的函數(shù)解析式為y-2x+勾股定理:一：清朝康熙皇帝是我國歷史上對數(shù)學(xué)很有興趣的帝王.近日，？西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)專著，其中有一文積求勾股法，它對“三邊長為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形，已知面積求邊長”這一問題提出了解法：“若所設(shè)者為積數(shù)(面積)，以積率六除之，平方開之得數(shù)，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之?dāng)?shù)”.用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：“若直角三角形的三邊長分別為3、4、5的整數(shù)倍，？設(shè)其面積為S,則第一步：-=m1第二步：而=卜第三步：分別用3、4、56乘以k,得三邊長”.(1)當(dāng)面積S等于150時，請用康熙的“積求勾股法”

7、求出這個直角三角形的三邊長；(2)你能證明“積求勾股法”的正確性嗎？請寫出證明過程.解：(1)當(dāng)S=150時，k=而S所以三邊長分別為：3X5=15,4X5=20,5X5=25;(2)證明：三邊為3、4、5的整數(shù)倍，設(shè)為k倍，則三邊為3k,4k,5k,?而三角形為直角三角形且3k、4k為直角邊.其面積S=1(3k)(4k)=6k：2所以k2= S , 6k=JS (取正值)即將面積除以6,然后開方，即可得到倍數(shù).二：一張等腰三角形紙片，底邊長15cm,底邊上的高長22.5cm現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖所示.已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是()A.第

8、4張B.第5張C.第6張D.第7張答案：C三：如圖，甲、乙兩樓相距20米，甲樓高20米，小明站在距甲樓10米的A處目測得點A與甲、乙樓頂B、C剛好在同一直線上，且A與B相距2米，若小明的身高忽略不計，則乙樓的高度是米.A答案：40米四：恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB50km,A、B到直線X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向A、B兩景區(qū)運送游客.小民設(shè)計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P）,P到A、B的距離之和S1PA

9、PB,圖（2）是方案二的示意圖（點A關(guān)于直線X的對稱點是A,連接BA交直線X于點P）,P到A、B的距離之和S2PAPB.（1）求6、S2,并比較它們的大??；（2）請你說明S2PAPB的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，B到直線Y的距離為30km,請你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q,使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小.并求出這個最小值.解:圖10(1)中過B作BCLAP,垂足為C,則PC=40，又AP=10,.AC=30在RtAABC中，AB=50AC=30，BC=40BP=vCP2BC240v12S1=40,510圖10(2)

10、中，過B作BCAA垂足為C,則AC=50,又BC=40BA=v40250210 x141由軸對稱知：PA=PAS2=BA=10741S1S2(2)如圖10(2),在公路上任找一點M,連接MA,MB,MA,由軸對稱知MA=MAMB+MA=MB+MAAB-S2=BA為最小(3)過A作關(guān)于X軸的對稱點A,過B作關(guān)于Y軸的對稱點連接AB,交X軸于點P,交Y軸于點Q,則P,Q即為所求過A、B分別作X軸、Y軸的平行線交于點G,AB=V1002502505所求四邊形的周長為5050,5五：已知：如圖，在直角梯形ABC葉，AD/BC/ABC=90,DELAC于點F,交BCT點G,交AB的延長線于點E,(1)求

11、證：BGFG;(2)若ADDC2,求AB的長.解：(1)證明：QABC90,DELAC于點ABCAFE.QACAE,EAFCAB,ABCAFEABAF.連接AG,AG=AG,AB=AF,RtAABGRtAAFG.BGFG.(2)解：AADC,DFAG1-1AFAC-AE.22E30.FADE30,AF-3.ABAF33.四邊形:一：如圖，ACDAABEBCFt勻為直線BC同側(cè)的等邊三角形(1)當(dāng)AB#AC時，證明四邊形ADF的平行四邊形；當(dāng)AB=AC時，順次連結(jié)ADF、E四點所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.解：(1)ABE4BCF為等邊三角形，AB=BE=AE,BC=

12、CF=FB,/ABE=/CBF=60./FBE=/CBAFBEQCBAEF=AC又AD等邊三角形，.CD=AD=ACEF=AD.同理可得AE=DF.，四邊形AEFD1平行四邊形.(2)構(gòu)成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段當(dāng)圖形為菱形時，/BACw60(或A與F不重合、ABCT為正三角形)當(dāng)圖形為線段時，/BAC=60(或A與F重合、ABC正三角形).二：如圖，已知ABC是等邊三角形，DE分別在邊BGAC上，且CD=CE連結(jié)DE并延長至點F,使EF=AE連結(jié)ARBE和CE(1)請在圖中找出一對全等三角形，用符號“二”表示，并加以證明(2)判斷四邊形ABDF怎樣的四邊形，并說明理由(3)若AB

13、=4BD=2DC求四邊形ABEF的面積。解：(1)(選證一)VBDEVFECQVABC是等邊三角形，BC=AC,ACB=60QCDCE,BDAE,VEDC是等邊三角形DEEC,CDEDEC600BDEFEC1200QEFAE,BDFE,VBDEVFEC(選證二)VBCEVFDC證明：QVABC是等邊三角形，BCAC,ACB600QCDCE,VEDC是等邊三角形BCEFDC600,DECEQEFAE,EFDEAECE,FDACBCVBCEVFDC（選證三）VABEVACF證明：QVABC是等邊三角形，ABAC,ACBBAC600QCDCE,VEDC是等邊三角形AEFCED=600QEFAE,VA

14、EF是等邊三角形AEAF,EAF600VABEVACF（2）四邊形ABDF是平行四邊形。由（1）知，VABC、VEDC、VAEF都是等邊三角形。CDEABCEFA600ABPDF,BDPAF,四邊形ABD匿平行四邊形（3）由（2）知，）四邊形ABDF是平行四邊形。EFPAB,EFAB,四邊形ABEF是梯形過EdEGAB于G,則 TOC o 1-5 h z .023-EGAEsin602BC片2.332時邊形abef-EGgABEF12、36410/322三：如圖，在ABCt/A/B的平分線交于點/BC交AC于點F.(1)點D是ABC、；(2)求證：四邊形DEC叨菱形.D, DE/ AC交 BC

15、于點 E, DF解：（1）內(nèi).（2）證法一：連接CD.DE/ACDF/BC四邊形DEC叨平行四邊形，又點D是ABC勺內(nèi)心，CD平分/ACB即/FC氏/ECD又/FDC=/ECD/FCD=/FDCFC=FD口DEC叨菱形.證法二：過D分別作DGLAB于GDHLBC于HDIACTI.ADBM另I平分/CABZABCDI=DGDGDHDH=DI.DE/ACDF/BC四邊形DEC兩平行四邊形，sddecf=CE-dh=cf-di,.CE=CF.口DEC兩菱形.四：在矩形ABCDh點E是A岫上一點，連接BE,且/AB巳30,B&DE連接BD.點P從點E出發(fā)沿射線ED運動，過點P作PQ/BD交直線BE于點

16、Q(1)當(dāng)點P在線段ED上時(如圖1),求證：BE=PD+3PQ3(2)若BC=6,設(shè)PQ長為x,以P、QD三點為頂點所構(gòu)成的三角形面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；(3)在的條彳下，當(dāng)點P運動到線段ED的中點時，連接QC過點P作PF，QC垂足為F,PF交對角線BD于點G(如圖2),求線段PG的長解：（1）證明：/ A=90/ABE=30/AEB=60 EB=ED / EBD4 EDB=30PQ/BD.1/EQPWEBD/EPQhEDB/EPQWEQP=30EQ=EP過點E作EMMLOP垂足為MPQ=2PM/EPM=30PM=-3PEPE=PQ,3小BE=DE=P

17、D+PE，BE=PD+-PQ1_（2）解：由題意知AE=-BEDE=BE=2AE.AD=BC=6.1.AE=2DE=BE=4當(dāng)點P在線段ED上時（如圖1）過點Q做QHLAD于點HQH=lpQ=lx22由（1）得 PD=BE-3 3PQ=4- x.y= 1 PD- QH=23 2x121當(dāng)點P在線段ED的延長線上時（如圖2）過點Q作QHLDA交DA延長線于點H，QH=-x2過點E作EM，PQ于點M3 _同理可得EP=EQ= PQ.BE二色3PQ-PD一 ，31 一， 3 21. PD=x-4 y= PD- QH =x x3212（3）解：連接PC交BD于點N （如圖3）二點P是線段ED中點EP=

18、PD=2 .PQ=2a/3 . DC=AB=AE tan60 =23PD 1PC=vTD2 DC2 =4 cosZDPC= = - ，/DPC=60PC 2/ QPC=180 - / EPQ-Z DPC=90 PQ/ BD .1 / PNDW QPC=90 ，PN=1 PD=12QC= JPQ2 PC2 =2V7./PGN=90 - Z FPC / PCF=90 - / FPC / PCNW PCF1 分 . / PNGh QPC=90 .PNG QPCPG PNQC PQ. PG.12、7-烏PG= 2 7 =2、33五：如圖，這是張等腰梯形紙片，它的上底長為2,下底長為4,腰長為2,這樣的

19、，那么你能拼出哪紙片共有5張.打算用其中的幾張來拼成較大的等腰梯形幾種不同的等腰梯形？分別畫出它們的示意圖，并寫出它們的周長.解：如圖所示周長為22.周長為3%周長為2CL六：已知：如圖，在矩形ABC時,E、F分別是邊BCAB上的點，且EF=ED,E巳ED.求證:AE平分/BAD.證明：四邊形ABC比矩形/B=ZC=ZBAD=90AB=CD/BEF+/BFE=90EFED-./BEF+ZCED=90/BEF=ZCED，./BEF=ZCDE又EF=ED.EBFCDEBE=CDBE=AB./BAE之BEA=45/EAD=45/BAE土EADAE平分/BAD七：如圖，矩形紙片ABC并，AB=8,將紙

20、片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，BG10.(1)當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時，如圖(1).求EFG勺面積.(2)當(dāng)折痕的另一端F在AM上時，如圖(2).證明四邊形BGE的菱形，并求出解:(1)過點G作GHL AD則四邊形折痕GF的長.ABG的矩形，.GHAB=8,AH=BG1O,由圖形的折疊可知BFGEFG，EGBG10,/FEG/B=90;，EH=6,AE=4,/AEF+/HEG90,./AEf+/AFE=90,./HEG/AFE又EHG/A=90,.EAQEHG，空AE-,.EF=5,.生EF(=1EFEG=1X5X10=25.EGGH22(2)由圖形的折疊可知四邊形ABG自四邊形HE

21、GF，BGEGAaEH/BG=/EGFEF/BG/BG=/EFG/EGF=/EFGEF=EG.BGEF,四邊形BGE叨平行四邊形，又;EF=EG，平行四邊形BGE的菱形;連結(jié)BEBEFG互相垂直平分，在RHEFH中，EF=BG10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6,AE=16,.BE=,AE2AB2=8乖,BG46,FG2OG2Jbg2BO2=4促。八：（1）請用兩種不同的方法，用尺規(guī)在所給的兩個矩形中各作一個不為正方形的菱形，且菱形的四個頂點都在矩形的邊上.（保留作圖痕跡）（2）寫出你的作法.解：（1）所作菱形如圖、所示.說明：作法相同的圖形視為同一種.例如類似圖、圖的圖形視為與

22、圖是同一種.（2）圖的作法：作矩形ABGD四條邊的中點E1、F1、G、H;連接H1E1、E1F1、GR、GH.四邊形E1F1GH即為菱形.圖的作法：在B2G上取一點E,使且E不與R重合;以A2為圓心，AE為半徑畫弧，交AD于H2;以巳為圓心，AE為半徑畫弧，交RG于F2；連接H2F2,則四邊形A2EF2H為菱形.九：如圖，P是邊長為1的正方形ABCD寸角線AC上一動點點E在射線BC上，且PE=PB(1)求證：PE=PD;PEIP口(2)設(shè)AP=x,PBE勺面積為y.求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍;(P與A C不重合)，當(dāng)x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值解：(1)證法一：

23、四邊形ABC匿正方形，AC為對角線,BC=DC/BCR/DCP45.PC=PCAPB(CPDC(SAS).PB=PD,/PB(=ZPDC又.PB=PE,PE=PD(i)當(dāng)點E在線段BC上(與日C不重合)時,.PB=PE/PBE:/PEB/PEB:/PDC/PEBVPEB/PDC/PE0180,/DP昌360-(/BCD/PDC/PEC=90,PELPD)(ii)當(dāng)點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時,(iii)當(dāng)點E在BC的延長線上時，如圖./PE(=ZPDC/1=/2,/DP曰/DC巨90,PELPD綜合(i)(ii)(iii),PEXPD2)過點P作PFLBG垂足為F,則BF=FE

24、.AP=x,AG&, TOC o 1-5 h z rG&-x,PF=FC=i2(后x)1必x.22BF=FE=1-FC=1-(1x)=x.2222.12.2Sapbe=BF,PF=x(1x)xx.PEL PD2222x(0 x2).21 2 x210, 22x21/2(x)-2時,2y最大值(1)證法二：過點P作GF/ AR分別交AD BC于GF.如圖所示.四邊形ABC虛正方形，四邊形ABFGF四邊形GFC嘟是矩形， AGP PFCTB是等腰直角三角形.GD=F=FP, GP=AG3F, / PGDZ PFE=90 .又. PB=PEBF=FE,GP=FE,AEFFAPGD (SAS).PE=

25、PD/1=/2./ 1 + /3=/2+/3=90 ./ DPE=90 .PE! PD; AP=x,BF=PG_2x 2 Sapbe=BF- PF=2x(1PF=1-1 :x21x222x22x23)21 22一 x x.22(0 x 22).2210,2，當(dāng)x店時,2y最大值十：如圖1,四邊形ABC醫(yī)正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與CD不重合)，以CG一邊在正方形ABC講作正方形CEFG連結(jié)BGDE我們探究下列圖中線段BG線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：(1)猜想如圖1中線段BG線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形CEF磷著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任

26、意角度,得到如圖2、如圖3情形.請你通過觀察、測量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷.C23E1)(2)將原題中正方形改為矩形(如圖46),且AB=aBC=bCE=kaCG=kb(ab,k0),第(1)題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由.(3)在第題圖5中，連結(jié)DG、BE,且a=3,b=2,k=-,求be2dg2的值.2解：(1)BGDE,BGDEBGDE,BGDE仍然成立在圖(2)中證明如下.四邊形ABCD、四邊形ABCD都是正方形BCCD,CGCE,BCDECG900BCGDCEBCGDCE(SA9BGDECBGCDE又BHCDHOC

27、BGBHC90CDEDHO900DOH900BGDE(2)BGDE成立，BGDE不成立簡要說明如下四邊形ABCD、四邊形CEFG都是矩形,且ABa,BCb,CGkb,CEka(ab,k0)BCCGboBCDECG900DCCEaBCGDCEBCG:DCECBGCDE又BHCDHOCBGBHC900CDEDHO900DOH900BGDE(3)BGDE.2_2_2_22_22_2BE2DG2OB2OE2OG2OD2BD2GE21又.a3,b2,k一22_22223265BD2GE2223212(-)222BEDG654數(shù)據(jù)的分析:一：4.為了幫助貧困失學(xué)兒童，某團(tuán)市委發(fā)起“愛心儲蓄”活動，鼓勵學(xué)生

28、將自己的壓歲錢和零花錢存入銀行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息捐給貧困失學(xué)兒童.某中學(xué)共有學(xué)生1200人,圖1是該校各年級學(xué)生人數(shù)比例分布的扇形統(tǒng)計圖，圖2是該校學(xué)生人均存款情況的條形統(tǒng)計圖.(1)九年級學(xué)生人均存款元；(2)該校學(xué)生人均存款多少元？,九提（3）已知銀行一年期定期存款的年利率是2.25%（“愛心儲蓄”免收利息稅），且每351元能提供給一位失學(xué)兒童一學(xué)年的基本費用，那么該校一學(xué)年能幫助多少為貧困失學(xué)兒童。解：（1）240解法一：七年級存款總額：400X1200X40%=192000（元）八年級存款總額：300X1200X35%=126000（元）九年級存款總額：240X1200X25%=72000（元）（192000+126000+72000）+1200=325（元）所以該校的學(xué)生人均存款額為325元解法二：400X40%+300X35%+240X25%=325元