數(shù)學的工具性理解和關(guān)系性理解姚敏課件

1、數(shù)學的工具性理解和關(guān)系性理解報告人：姚敏目錄一、理論的背景二、兩類數(shù)學理解的概述三、案例說明兩類數(shù)學理解四、理論的課程意義一、理論的背景1.1理解的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系說： 希爾伯特認為外部表征和內(nèi)部表征存在著聯(lián)系。 他認為如果一個數(shù)學概念等成為內(nèi)部表征網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么數(shù)學知識就被理解了。1.2理解的表征轉(zhuǎn)化說： 布魯納將表征分為動作表征、表象表征、書面符號標志三類。 萊斯又加入了口頭語言表征、現(xiàn)實情境表征，發(fā)展為五類表征。 他們都認為正是在用不同的表征方式來表征數(shù)學概念并實現(xiàn)表征方式內(nèi)部之間的轉(zhuǎn)化中，學生獲得了數(shù)學理解。1.3理解的類型層次說： 1976年英國著名數(shù)學教育家及心理學家Ricard R.

2、Skemp (斯根普)從數(shù)學知識的特征出發(fā)，明確提出了數(shù)學理解有2種類型工具性理解、關(guān)系性理解。 而在此之前，人們對理解的討論還停留在個體是理解了一個對象還是沒有理解，是部分理解還是全部理解，從未考慮還有不同類型的理解。1.4理解的類型層次說的本土化進程： 初期，我國認識到對概念或法則的學習過程而言，工具性理解應(yīng)當是其中一個重要的、甚至是不可缺少的環(huán)節(jié)，因而，在教學中十分注重數(shù)學工具性理解，采取的多是傳統(tǒng)的定義 （定理）- 實例- 練習- 習題 的數(shù)學教學模式。 后期，中國研究者一直認為“知其然而不知其所以然”乃是一種機械記憶，不能歸屬于理解的范圍新課改以來，更強調(diào)課堂教學要設(shè)定“過程性目標”

3、，即認為學習必須“知其然而且要知其所以然”，必須揭示知識的發(fā)生過程。 學者大都研究如何從“工具性理解”向“關(guān)系型理解”的轉(zhuǎn)變，加強過程性教學，卻都未對“工具性理解”的價值做出更多的闡述。 二、兩類數(shù)學理解的概述2.1工具性理解的概念 斯根普指出工具性理解是一種語義理解：理解符號A所指代的事物是什么；或者是一種程序性理解，一個規(guī)則 R所指定的每一個步驟是什么，如何操作等簡言之，就是按照語詞的本意和計算程序進行操作，即“只知是什么，不知為什么”。 2.2關(guān)系性理解的概念 斯根普指出關(guān)系性理解則還需對知識意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認識，獲得概念和規(guī)律（定律、定理、公式、法則等）的途徑，以及規(guī)則本身有效

4、性的邏輯依據(jù)等，簡言之：“不僅知道要做什么，而且知道為什么”。2.3工具性理解的分類 1）識記性理解：認識并能記憶，例如正弦的定義與符號。 2）描述性理解：描述其意義，便于識記例如負負得正，做一些合理性的解釋。 3）確認性理解：舉例說明其正確，獲得確認例如分數(shù)的顛倒相乘舉一些具體數(shù)字的實例，加以確認。 4）功能性理解：說明其作用，便于使用例如直角坐標系關(guān)注原點，表示數(shù)學對象。 5）平臺式理解：接受下來，投入使用例如數(shù)軸上點和實數(shù)系中的數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系。2.4關(guān)系性理解的分類 1）證明性理解：運用邏輯演繹方法展示其生成過程，證明其正確，說明結(jié)論為什么成立，如勾股定理的證明。 2）論說性理解：例如

5、函數(shù)概念的形成、實例操作、過程展示、明確對象整體把握概念。 3）反思性理解：將本原的理解提升為數(shù)學思想方法的運用例如對數(shù)，本原理解是作為指數(shù)運算的逆運算，進一步用 RMI 原理說明乘法運算映射為加法運算形成同構(gòu) 關(guān)系。 4）結(jié)構(gòu)性理解：用公理化方法揭示其內(nèi)部結(jié)構(gòu)例如從有理數(shù)公理化體系說明負負得正的合理性，揭示其內(nèi)在結(jié)構(gòu)的特質(zhì)。 2.5工具性理解的優(yōu)點 1）對于數(shù)學技能的學習而言，這種教學模式給學生提供了易懂、易模仿、易記憶并可以很快得到標準性問題的答案的捷徑 。 2）工具性理解的教學過程所包含的知識較少，學生更容易迅速獲得這類問題的正確答案 。 3）這樣的教學可以使學生更快地得到學習上的回報

6、有利于引發(fā)其進一步的學習動機 2.6工具性理解的缺點 工具性理解的教學模式只關(guān)注學生能否依據(jù)固定的程序去獲得答案，其它則很少關(guān)注，這使得學生通常更關(guān)心 怎么做而不大去思考為什么可以這樣做及更進一步的還可以怎么做等。 不利于學生在全新的情境內(nèi)去應(yīng)用該知識即遷移 ，也就不利于其長期的數(shù)學能力的發(fā)展 。2.7關(guān)系性理解的優(yōu)點 1）更有益于學習者解決新的問題 。 當學生對知識的理解是關(guān)系性理解時，他們可以把在一種情境中獲得的知識遷移到另一種全新情境的學習或問題解決活動中去，而不只是用在相似的情境之中 。 2）更容易記憶 就整個數(shù)學公式體系而言 如果按照工具性理解的學習方式，學生們需要記憶許多單個的公式

7、，這給記憶帶來很大負擔，而關(guān)系性理解則使得學生通過對于不同公式之間本質(zhì)性關(guān)系的理解去獲得對于公式的整體把握，這樣的學習更有利于長時記憶 。3）有助于形成高質(zhì)量的知識結(jié)構(gòu) 就知識的組織形式而言，數(shù)學知識的關(guān)系圖式是一種最佳的數(shù)學知識組織形式 ，一旦學生獲得了有效的關(guān)系圖式 ，則他不但可以對所面臨的數(shù)學素材采取關(guān)系性理解的學習方式 ，而且還會主動地去探索那些未知新領(lǐng)域中的數(shù)學關(guān)系。 三、案例說明兩類數(shù)學理解案例3.1二元一次方程組的理解 1）工具性理解 會用消元法、代入法解數(shù)字系數(shù)的二元一次方程； 會用二元一次方程求解雞兔同籠等問題。 2）關(guān)系性理解 知道字母系數(shù)的二元一次方程求解的過程； 理解代

8、入法是一種化歸為一元一次方程的數(shù)學思想方法； 注意到系數(shù)行列式不為 0 的要求； 能夠比較代數(shù)方法和算術(shù)方法求解雞兔同籠等問題的區(qū)別與聯(lián)系。案例3.2 基本不等式如果a、bR，那么 2ab（當且僅當 a =b時不等式取“=”號）的理解 1）工具性理解 需要知道這是一個絕對不等式，即恒不等式； 能夠應(yīng)用于數(shù)字大小的比較、函數(shù)的最值、以及參數(shù)的適用范圍等簡單問題的求解。 2）關(guān)系性理解 演繹證明 （綜合法） （比較法） （反證法） （分析法） 通過演繹證明，揭示了基本不等式各個量之間的相互關(guān)系，理解了這一不等式成立的根據(jù)將之提升到數(shù)學思想方法，認識到它們最后都是“化歸”為通過變式練習和反思，獲得此

9、不等式的巨大的應(yīng)用價值，把握其本質(zhì)，進一步體會“基本”的含義如推 演以下的不等式： 四、理論的課程意義4.1理解的類型層次說的課程意義 1）針對不同的教材內(nèi)容，依據(jù)學生的認知水平，設(shè)置相應(yīng)不同的理解目標。例如，對于以下四類內(nèi)容，我們應(yīng)該只要求學生達到工具性理解水平。a)前人使用的語言,乃是前人形成的習慣.只要記憶模仿、知其然（ sinx)b)約定俗成的規(guī)則(負負得正)至于確切知道負負得正的所以然，就需要從有理數(shù)公理化體系上加以詮釋，那就超出了基礎(chǔ)教育的范圍。c)無法嚴格處理的內(nèi)容（面積的定義）d)一些基本技能的訓(xùn)練中小學課程里有大量的基本技能訓(xùn)練要求，在一開始時無法說清為什么要這樣做，只能當作平臺接受下來。（因式分解） 2）工具性理解和關(guān)系性理解是學生學習好數(shù)學知識的兩個缺一不可的方面，啟發(fā)教師在教學中既要通過定義 （定理）- 實例- 練習- 習題 的數(shù)學教學模式打牢工具性理解的基礎(chǔ)，又要注重從工具性理解向關(guān)系性理解的轉(zhuǎn)化，通過探究性學習，使學生獲得知識發(fā)生發(fā)展過程；通過變式訓(xùn)練，達到知識本質(zhì)認識；通過總結(jié)，引導(dǎo)學生主動構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)關(guān)系性理解。參考文獻 1 馬復(fù).試論數(shù)學理解的兩種類型J數(shù)學教育學