四邊形例題選

1、李沛辰四邊形綜合練習(xí)題集(五)2014年3月23日填空題1、.在平行四邊形ABC中,DB=DC/C=70,AE丄BD于E,則/DAE二度2.如圖，ABCD中，AE丄BD，/EAD=60,AE=2cm,AC+BD=14cm,則OBC的周長是cm.ABCD一內(nèi)角的平分線與邊相交并把這條邊分成5cm,7cm的兩條線段，則口ABCD的周長是cm.4、如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C,連結(jié)AC和BC,并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M、N,如果測得MN=20m,那么A、B兩點(diǎn)的距離是m,理由是.5.已知：三角形的各邊分別為8cm、10cm和12cm，求連結(jié)各邊中點(diǎn)所成三角形的周長.如圖，ABC中，

2、D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，若EF=5cm，則AB=cm;若BC=9cm，則DE=cm;中線AF與DE中位線有什么特殊的關(guān)系？證明你的猜想.7、已知：ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是ABC三邊的中點(diǎn)，如果DEF的周長是12cm,那么ABC的周長是cm.&若菱形的邊長等于一條對角線的長，則它的一組鄰角的度數(shù)分別為.已知菱形的兩條對角線分別是6cm和8cm,菱形的周長是面積是.已知菱形ABCD的周長為20cm,且相鄰兩內(nèi)角之比是1:2，求菱形的對角線的長是面是.11、(1)對角線互相平分的四邊形是；對角線互相垂直平分的四邊形是;對角線相等且互相平分的四邊形是兩組對邊分別平行，且對角線的四邊

3、形是菱形.12、(1)在梯形ABCD中，已知AD/BC,ZB=50,ZC=80,AD二a,BC二b,貝SDC=.直角梯形的高為6cm，有一個角是30,則這個梯形的兩腰分別是和.等腰梯形ABCD中，AB/DC,AC平分ZDAB,ZDAB=60。，若梯形周長為8cm，則AD=.TOCo1-5hz相鄰的兩個角都互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形；()兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；()一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；()一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；()對角線相等的四邊形是平行四邊形；()對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.()下列各句判定矩形的說法是否正確？有一個角是直角的

4、四邊形是矩形；()()有四個角是直角的四邊形是矩形；（3）四個角都相等的四邊形是矩形；（）（4）對角線相等的四邊形是矩形；（）（5）對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形；（）（6）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（）（7）對角線相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形；（）（8）組鄰邊垂直，一組對邊平行且相等的四邊形是矩形;（9）兩組對邊分別平行，且對角線相等的四邊形是矩形.&下列說法是否正確，并說明理由.對角線相等的菱形是正方形；（）對角線互相垂直的矩形是正方形；（）對角線垂直且相等的四邊形是正方形；（）四條邊都相等的四邊形是正方形；（）四個角相等的四邊形是正方形.（）、選擇1在下列圖形的性質(zhì)

5、中，平行四邊形不一定具有的是（）.0（）（A）對角相等（B）對角互補(bǔ)（C）鄰角互補(bǔ)（D）內(nèi)角和是360（A）4個（B）5個（C）8個（D）9個3.女口圖，AD/BC,AE/CD,BD平分/ABC,求證AB=CE.（A）4個（B）5個（C）8個（D）9個3.女口圖，AD/BC,AE/CD,BD平分/ABC,求證AB=CE.在ABCD中，如果EF/AD,GH/CD,EF與GH相交與點(diǎn)0,那么圖中的平行四邊形一共有（）.4、下列說法錯誤的是（）.（A）矩形的對角線互相平分（B）矩形的對角線相等（C）有一個角是直角的四邊形是矩形（D）有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形5、矩形的對角線把矩形分成的三角形

6、中全等三角形一共有（）（A）2對（B）4對（C）6對（D）8對6、矩形的兩條對角線的夾角為60,對角線長為15cm,較短邊的長為（）(A)12cm(B)10cm(C)7.5cm(D)5cm三、習(xí)題講解例1（補(bǔ)充）已知：如圖421,ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,EF過點(diǎn)O與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F.求證：OE=OF,AE=CF,BE=DF.【引申】若例1中的條件都不變，將EF轉(zhuǎn)動到圖b的位置，那么例1的結(jié)論是否成立？若將EF向兩方延長與平行四邊形的兩對邊的延長線分別相交（圖c和圖d）,例1的結(jié)論是否成立，說明你的理由.例2已知：如圖，AB7/BA,BC/CB,CAAC.求證：(1)/

7、ABC=ZB,/CAB=ZA,/BCA=ZC;)ABC的頂點(diǎn)分別是BfC各邊的中點(diǎn).cD例3（補(bǔ)充）小明用手中六個全等的正三角形做拼圖游戲時(shí)，拼成一個六邊形.你能在圖中找出所有的平行四邊形嗎？并說說你的理由.例4、已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AC上兩點(diǎn)，且BE丄AC于E,DF丄AC于F.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.例5、.已知：如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.AD例6、已知：如圖，矩形ABCD,AB長8cm,對角線比AD邊長4cm.求AD的長及點(diǎn)A到BD的距離AE的長.例7已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，DF丄

8、AE于F,若AE=BC.求證：CE=EF.提示此題還可以連接DE,證明DEFDEC,得到EF=EC.例8已知二ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,AAOB是等邊三角形，AB=4cm，求這個平行四邊形的面積.例9已知：如圖（1）,OABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E,F,G,H.求證：四邊形EFGHB是矩形.例10、已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E.求證：/AFD=/CBE.例11已知：如圖ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F.求證：四邊形AFCE是菱形.例12、已知：ABC中，/ACB=90,BE平分/ABC,CD丄AB與D,EH

9、丄AB于H,CD交BE于F.（自作圖）求證：四邊形CEHF為菱形.例13、已知：如圖，正方形ABCD中，對角線的交點(diǎn)為O,E是0B上的一點(diǎn),DG丄AE于G,DG交OA于F.求證：OE=OF.例14已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點(diǎn)A、C兩點(diǎn)作li/I2,作BM丄li于M,DN丄li于N，直線MB、DN分別交12于Q、P點(diǎn).求證：四邊形PQMN是正方形.例15、如圖，在菱形ABCD中,E為AD中點(diǎn),EF丄AC交CB的延長線于F.求證：AB與EF互相平分CFEDA例16已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,ZD=90/CAB=ZABC,BE丄AC于E.求證：BE=CD.例17、已知：

10、如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，CF丄BE交BD于G,F是垂足.求證：四邊形ABGE是等腰梯形.AD例18、畫一等腰梯形，使它上、下底長分別4cm、12cm,高為3cm，并計(jì)算這個等腰梯形的周長和面積.FE4c【探究】在紙上畫兩個全等的ABCD和EFGH,并連接對角線AC、BD和EG、HF，設(shè)它們分別交于點(diǎn)0.把這兩個平行四邊形落在一起，在點(diǎn)0處釘一個圖釘，將ABCD繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180，觀察它還和EFGH重合嗎？你能從子中看出前面所得到的平行四邊形的邊、角關(guān)系嗎？進(jìn)一步，你還能發(fā)現(xiàn)平行四邊形的什么性質(zhì)嗎？結(jié)論：（1）平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點(diǎn)是對稱中心；（2）平行四邊形

11、的對角線互相平分.2、已知：如圖421,ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,EF過點(diǎn)0與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F.求證：0E=OF,AE=CF,BE=DF.【引申】若例1中的條件都不變，將EF轉(zhuǎn)動到圖b的位置，那么例1的結(jié)論是否成立？若將EF向兩方延長與平行四邊形的兩對邊的延長線分別相交（圖c和圖d）,例1的結(jié)劉老師四邊形綜合練習(xí)題集（五）華羅庚桑聴明岀干勒奇，天才在于積累2014年3月23日1、.在平行四邊形ABC中,DB=DCZC=70,AE丄BD于E,則/DAE=度2.如圖，ABCD中，AE丄BD，/EAD=60,AE=2cm,AC+BD=14cm,則OBC的周長是cm.ABCD一

12、內(nèi)角的平分線與邊相交并把這條邊分成5cm,7cm的兩條線段，則口ABCD的周長是cm.4、如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C,連結(jié)AC和BC,并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M、N,如果測得MN=20m,那么A、B兩點(diǎn)的距離是m,理由是.5.已知：三角形的各邊分別為8cm、10cm和12cm，求連結(jié)各邊中點(diǎn)所成三角形的周長.6.如圖，ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，若EF=5cm，貝卩AB=cm;若BC=9cm，貝卩DE=cm;中線AF與DE中位線有什么特殊的關(guān)系？證明你的猜想.7、已知：ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是ABC三邊的中點(diǎn)，如果DEF的周長是12cm,那么ABC

13、的周長是cm.&若菱形的邊長等于一條對角線的長，則它的一組鄰角的度數(shù)分別為.已知菱形的兩條對角線分別是6cm和8cm,菱形的周長是面積是.已知菱形ABCD的周長為20cm,且相鄰兩內(nèi)角之比是1:2,求菱形的對角線的長是面是.11、(1)對角線互相平分的四邊形是；對角線互相垂直平分的四邊形是;對角線相等且互相平分的四邊形是;兩組對邊分別平行，且對角線的四邊形是菱形.12、(1)在梯形ABCD中，已知AD/BC,ZB=50,/C=80,AD=a,BC二b,貝SDC=.(2)直角梯形的高為6cm，有一個角是30,則這個梯形的兩腰分別是和.等腰梯形ABCD中，AB/DC,AC平分ZDAB,ZDAB=6

14、0。，若梯形周長為8cm，則AD=.TOCo1-5hz相鄰的兩個角都互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形；()兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；()一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；()一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；()對角線相等的四邊形是平行四邊形；()對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.()下列各句判定矩形的說法是否正確？有一個角是直角的四邊形是矩形；(刈有四個角是直角的四邊形是矩形；(“四個角都相等的四邊形是矩形；(“對角線相等的四邊形是矩形；(刈對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形；(X)對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；(v)TOCo1-5hz（7）對角線相等，且有

15、一個角是直角的四邊形是矩形；（X）（8）組鄰邊垂直，一組對邊平行且相等的四邊形是矩形；（v）（9）兩組對邊分別平行，且對角線相等的四邊形是矩形.（V&下列說法是否正確，并說明理由.對角線相等的菱形是正方形；（）對角線互相垂直的矩形是正方形；（）對角線垂直且相等的四邊形是正方形；（）四條邊都相等的四邊形是正方形；（）四個角相等的四邊形是正方形.（）三、選擇1在下列圖形的性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的是（）.匚（A）對角相等（B）對角互補(bǔ)（C）鄰角互補(bǔ)（D）角和是360在ABCD中，如果EF/AD,GH/CD,EF與GH相交與點(diǎn)O,那么圖中TOCo1-5hz的平行四邊形一共有（）.（A）4個（B）

16、5個（C）8個（D）9個一女口圖，AD/BC,AE/CD,BD平分/ABC,求證AB=CE.”1f4、下列說法錯誤的是（）.（A）矩形的對角線互相平分（B）矩形的對角線相等（C）有一個角是直角的四邊形是矩形（D）有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形A5、矩形的對角線把矩形分成的三角形中全等三角形一共有0)（A）2對（B）4對（C）6對（D）8對6、矩形的兩條對角線的夾角為60,對角線長為15cm,較短邊的長為（）(A)12cm(B)10cm(C)7.5cm(D)5cm三、例1（補(bǔ)充）已知：如圖421,ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,EF過點(diǎn)O與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F.求證：OE=OF

17、,AE=CF,BE=DF.證明：在ABCD中，AB/CD,/1=Z2.Z3=Z4.又OA=OC（平行四邊形的對角線互相平分），AOECOF（ASA）.OE=OF,AE=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）.vABCD，二AB=CD（平行四邊形對邊相等）.ABAE=CDCF.即BE=FD.【引申】若例1中的條件都不變，將EF轉(zhuǎn)動到圖b的位置，那么例1的結(jié)論是否成立？若將EF向兩方延長與平行四邊形的兩對邊的延長線分別相交（圖c和圖d）,例1的結(jié)論是否成立，說明你的理由.例2已知：如圖，AB7/BA,BC/CB,CAAC.求證：(1)/ABC=ZB，/CAB=ZA,/BCA=ZC;)ABC的頂點(diǎn)分別是BfC

18、各邊的中點(diǎn).證明：(1)vABBA,CBBC,四邊形ABCB是平行四邊形./ABC=/B平行四邊形的對角相等).同理/CAB=/A,/BCA=/C.(2)由(1)證得四邊形ABCB是平行四邊形.同理，四邊形ABAC是平行四邊形.二AB=BCAB=AC平行四邊形的對邊相等).B(=AC.同理BA=CAAB=CBEABC的頂點(diǎn)A、B、C分別是BC的邊BCCAAB勺中點(diǎn).例3(補(bǔ)充)小明用手中六個全等的正三角形做拼圖游戲時(shí)，拼成一個六邊形.你能在圖中找出所有的平行四邊形嗎？并說說你的理由.解：有6個平行四邊形，分別是ABOF,ABCO,BCDO,CDEO,DEFO,EFAO.理由是：因?yàn)檎藺BO幻

19、正AOF，所以AB=BO,OF=FA.根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，可知四邊形ABCD是平行四邊形.其它五個同理.例4(補(bǔ)充)已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AC上兩點(diǎn)，且BE丄AC于E,DF丄AC于F.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.分析：因?yàn)锽E丄AC于E,DF丄AC于F,所以BE/DF.需再證明BE=DF,這需要證明ABE與厶CDF全等，由角角邊即可.證明：T四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，且AB/CD./BAE=/DCF.vBE丄AC于E,DF丄AC于F,BE/DF，且/BEA=/DFC=90ABECDF(AAS).BE=DF.四邊形BEDF是平行四邊形（

20、一組對邊平行且相等的四邊形平行四邊形）方法2:如圖（2）,延長DE到F,使EF=DE，連接CF、CD和AF,又AE=EC,所以四邊形ADCF是平行四邊形.所以AD/FC,且AD=FC.因?yàn)锳D=BD，所以BD/FC,且BD=FC.所以四邊形ADCF是平行四邊形.所以DF/BC,且DF=BC，因?yàn)镈E=1DF,所以DE/BC且DE=1BC.22定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線例5、.已知：如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.例6、已知：如圖，矩形ABCD,AB長8cm,對角線比AD邊長4cm.求AD的長及點(diǎn)A到BD的距離AE的

21、長.D分析：（1）因?yàn)榫匦嗡膫€角都是直角，因此矩形中的計(jì)算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計(jì)算，這是幾何計(jì)算題中常用的方法.略解：設(shè)AD=xcm，則對角線長（x+4）cm,在RtABD中，由勾股定理：x282=（x4）2，解得x=6.貝卩AD=6cm.（2）直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關(guān)系式：AEXDB=ACKAB，解得AE=4.8cm.例7已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，DF丄AE于F,若AE=BC.求證：CE=EF.分析：CE、EF分別是BC,AE等線段上的一部分，若AF=BE

22、，則問題解決，而證明AF=BE，只要證明厶ABEDFA即可，在矩形中容易構(gòu)造全等的直角三角形.證明：T四邊形ABCD是矩形,/B=90，且AD/BC./仁/2.vDF丄AE,AFD=90./B=/AFD.又AD=AE,ABEDFA(AAS).AF=BE.EF=EC.此題還可以連接DE,證明DEFDEC，得到EF=EC.D例8已知二ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,AAOB是等邊三角形，AB=4cm，求這個平行四邊形的面積.分析：首先根據(jù)厶AOB是等邊三角形及平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理計(jì)算邊長，從而得到面積值.解：T四邊形ABCD是平行四邊形，二A0=

23、AC,BO=1BD.22vAO二BO,AC=BD.二ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.在RtAABC中，AB=4cm,AC=2AO=8cm,BC=82一42=43(cm).SCI=AB*BC=4X4/3=例9已知：如圖（1）,口ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E,F,G,H.求證：四邊形EFGH是矩形.分析：要證四邊形EFGH是矩形，由于此題目可分解出基本圖形，如圖（2）,因此，可選用三個角是直角的四邊形是矩形”來證明.證明：v四邊形ABCD是平行四邊形，AD/BC./DAB+/ABC=180.又AE平分/DAB,BG平分/ABC,/EAB+/ABG=1X180=90.2/

24、AFB=90.同理可證/AED=/BGC=ZCHD=90.四邊形EFGH是平行四邊形（有三個角是直角的四邊形是矩形）例10、已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E.求證：/AFD=/CBE.證明：T四邊形ABCD是菱形，CB=CD,CA平分/BCD./BCE二/DCE.又CE=CE,BCECOB(SAS).:丄CBE二/CDE.在菱形ABCD中，AB/CD,aZAFD=/FDC/AFD=/CBE.4.已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且BE=DF.求證：/AEF=/AFE.例11已知：如圖ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E

25、、F.求證：四邊形AFCE是菱形.證明：T四邊形ABCD是平行四邊形,AE/FC./仁/2.又/AOE=/COF,AO=CO,AOECOF.EO=FO.四邊形AFCE是平行四邊形.又EF丄AC,AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.例12、已知：如圖，ABC中，/ACB=90,BE平分/ABC,CD丄AB與D,EH丄AB于H,CD交BE于F.求證：四邊形CEHF為菱形.略證：易證CF/EH,CE=EH,在RtABCE中，/CBE+/CEB=90,在RtBDF中,/DBF+/DFB=90,因?yàn)?CBE二/DBF,/CFE二/DFB,所以/CEB二/CFE，所以CE=CF.所以，CF

26、=CE=EH,CF/EH，所以四邊形CEHF為菱形.例13、已知：如圖，正方形ABCD中，對角線的交點(diǎn)為O,E是0B上的一點(diǎn)，DG丄AE于G,DG交OA于F.求證：OE=OF.分析：要證明OE=OF,只需證明厶AEODFO，由于正方形的對角線垂直平分且相等，可以得到/AOE=/DOF=90,AO二DO，再由同角或等角的余角相等可以得到/EAO=/FDO,根據(jù)ASA可以得到這兩個三角形全等，故結(jié)論可得.證明：T四邊形ABCD是正方形，/AOE=/DOF=90,AO=DO（正方形的對角線垂直平分且相等）.又DG丄AE,/EAO+/AEO=/EDG+ZAEO=90.:丄EAO=ZFDO.AEODFO

27、.OE=OF.例14（補(bǔ)充）已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點(diǎn)A、C兩點(diǎn)作li/I2,作BM丄li于M,DN丄h于N，直線MB、DN分別交12于Q、P點(diǎn).求證：四邊形PQMN是正方形.分析：由已知可以證出四邊形PQMN是矩形，再證ABMDAN，證出AM=DN，用同樣的方法證AN=DP.即可證出MN二NP.從而得出結(jié)論.證明：vPN丄l1,QM丄11,PN/QM，/PNM=90.PQ/NM,二四邊形PQMN是矩形.v四邊形ABCD是正方形二/BAD二/ADC=90,AB二AD二DC（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）./1+Z2=90.又/3+Z2=90,/仁/3.ABMDAN.A

28、M=DN.同理AN=DP.AM+AN二DN+DP即MN=PN.四邊形PQMN是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）AA例15、如圖，在菱形ABCD中,E為AD中點(diǎn)，EF丄AC交CB的延長線于F.求證：AB與EF互相平分例16已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,CAB=ZABC,BE丄AC于E.求證：BE=CD分析：要證BE=CD，需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形，其方法是：平移一腰，過點(diǎn)D作DF/AB交BC于F,因此四邊形ABFD是平行四邊形，貝SDF=AB,由已知可導(dǎo)出/DFC二/BAE,因此RtAABE芻RtFDC（AAS）,故可得出BE二CD.證明（略）另證：如圖，根據(jù)題意可構(gòu)造等腰梯形ABFD，證明ABEFDC即可.DC例17、已知：如圖，點(diǎn)E在正方