北京北師特學(xué)校2021-2022學(xué)年高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1 答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個側(cè)面都是相同的等腰三角形研究發(fā)現(xiàn),該金字塔底面周長除以倍的

2、塔高,恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率設(shè)胡夫金字塔的高為,假如對胡夫金字塔進(jìn)行亮化,沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶,則需要燈帶的總長度約為ABCD2設(shè)橢圓:的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn),則橢圓E的離心率是( )ABCD3港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55千米橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90

3、km/h的頻率分別為()A300,B300,C60,D60,4正三棱柱中,是的中點(diǎn),則異面直線與所成的角為( )ABCD5已知數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,設(shè),則當(dāng)時,的最大值是( )A8B9C10D116已知,則的大小關(guān)系為( )ABCD7設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是( )A若,則B若,則C若,則D若,則8已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足|OA|=c2a,線段AF交雙曲線于點(diǎn)M.若M為AF的中點(diǎn),則雙曲線的離心率為( )A

4、2B2C233D439執(zhí)行如圖所示的程序框圖后,輸出的值為5,則的取值范圍是( ). ABCD10已知命題p:“”是“”的充要條件;,則( )A為真命題B為真命題C為真命題D為假命題11已知,若,則實(shí)數(shù)的值是()A-1B7C1D1或712阿波羅尼斯(約公元前262190年)證明過這樣的命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動點(diǎn)與,的距離之比為,當(dāng),不共線時,的面積的最大值是( )ABCD二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13若,則的最小值是_.14如圖在三棱柱中,點(diǎn)為線段上一動點(diǎn),則的最小值為_.15在平行四邊形中

5、,已知,若,則_16設(shè),滿足約束條件,若的最大值是10,則_.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)如圖,在三棱柱中, 平面ABC.(1)證明:平面平面(2)求二面角的余弦值.18(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點(diǎn),且,點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的面積.19(12分)已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個數(shù);(2)證明:當(dāng)時,.20(12分)在; 這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中的橫線上,并解

6、答相應(yīng)的問題.在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足_,求的面積.21(12分)已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,數(shù)列為等差數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若對于任意,有,求實(shí)數(shù)的值.22(10分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上;(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足:,求的通項(xiàng)公式;(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為,由題可得,所以,該

7、金字塔的側(cè)棱長為,所以需要燈帶的總長度約為,故選D2C【解析】連接,為的中位線,從而,且,進(jìn)而,由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,連接,橢圓:的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),不妨設(shè)B在第二象限,直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn)為的中位線,且,解得橢圓的離心率. 故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3B【解析】由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車

8、輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:故選:B【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題4C【解析】取中點(diǎn),連接,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì),得出/,則即為異面直線與所成角,求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:如圖,取中點(diǎn),連接,由于正三棱柱,則底面,而底面,所以,由正三棱柱的性質(zhì)可知,為等邊三角形,所以,且,所以平面,而平面,則,則/,即為異面直線與所成角,設(shè),則,則,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角,考查計(jì)算能力.5B【解析】根據(jù)題意計(jì)算,解不等式得到答案.【詳解】是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,.是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)

9、列,.,解得.則當(dāng)時,的最大值是9.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,f分組求和,意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.6A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將與對比,即可求出結(jié)論.【詳解】由題知,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小,注意與特殊數(shù)的對比,屬于基礎(chǔ)題.7C【解析】根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】對于,當(dāng)為內(nèi)與垂直的直線時,不滿足,錯誤;對于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時,但,錯誤;對于,由,知:,又,正確;對于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時,錯誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何

10、中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學(xué)生對于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.8C【解析】計(jì)算得到Ac,bca,Mc,bc2a,代入雙曲線化簡得到答案.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),|OA|=c2a,故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,bc2a,代入雙曲線化簡得到:3c24a2=1,故e=233.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.9C【解析】框圖的功能是求等比數(shù)列的和,直到和不滿足給定的值時,退出循環(huán),輸出n.【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;第四次循環(huán):;此時滿足輸出結(jié)果

11、,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用,建議數(shù)據(jù)比較小時,可以一步一步的書寫,防止錯誤,是一道容易題.10B【解析】由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題對于命題q,當(dāng),即時,;當(dāng),即時,由,得,無解,因此命題q是假命題所以為假命題,A錯誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯誤;為真命題,D錯誤故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11C【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,代入化簡可

12、得.解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12A【解析】根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動點(diǎn)與,的距離之比為,利用直接法求得軌跡,然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示:設(shè),則,化簡得,當(dāng)點(diǎn)到(軸)距離最大時,的面積最大,面積的最大值是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。138【解析】根據(jù),利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)且,即時,等號成立.時,取得最小值.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式,構(gòu)造基本不等式的形式是解題關(guān)鍵.1

13、4【解析】把 繞著進(jìn)行旋轉(zhuǎn),當(dāng)四點(diǎn)共面時,運(yùn)用勾股定理即可求得的最小值.【詳解】將以為軸旋轉(zhuǎn)至與面在一個平面,展開圖如圖所示,若,三點(diǎn)共線時最小為,為直角三角形,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的翻折,平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短,解直角三角形進(jìn)行求解,考查了空間想象能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.15【解析】設(shè),則,得到,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解【詳解】由題意,如圖所示,設(shè),則,又由,所以為的中點(diǎn),為的三等分點(diǎn),則,所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則,以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了

14、推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題16【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為與直線平行,數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn),取得最大值,故可得,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(1)證明見解析 (2)【解析】(1)證明平面即平面平面得證;(2)分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫鍭BC,所以 因?yàn)?所以.即 又.所以平面

15、因?yàn)槠矫?所以平面平面 (2)解:由題可得兩兩垂直,所以分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則,所以 設(shè)平面的一個法向量為,由.得令,得 又平面,所以平面的一個法向量為. 所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明,考查二面角的計(jì)算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18(1)的極坐標(biāo)方程為,的直角坐標(biāo)方程為(2)【解析】(1)先把曲線的參數(shù)方程消參后,轉(zhuǎn)化為普通方程,再利用 求得極坐標(biāo)方程.將,化為,再利用 求得曲線的普通方程.(2)設(shè)直線的極角,代入,得,將代入,得,由,得,即,從而求得,從而求得,再利用求解.【詳解】(1)依題

16、意,曲線,即,故,即.因?yàn)?,故,即,?(2)將代入,得,將代入,得,由,得,得,解得,則.又,故,故的面積.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)的幾何意義,還考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.19(1)見解析(2)見解析【解析】(1)求出,分別以當(dāng),時,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點(diǎn)的個數(shù).(2)令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出;同理可求出滿足,從而可得,進(jìn)而證明.【詳解】解析:(1),當(dāng)時,單調(diào)遞減,此時有1個零點(diǎn);當(dāng)時,無零點(diǎn);當(dāng)時,由得,由得,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,在處取得最小值,若,則,此時沒有零點(diǎn);若,則,此時有1個零點(diǎn);若,則,求導(dǎo)易得,此時在

17、,上各有1個零點(diǎn).綜上可得時,沒有零點(diǎn),或時,有1個零點(diǎn),時,有2個零點(diǎn).(2)令,則,當(dāng)時,;當(dāng)時,.令,則,當(dāng)時,當(dāng)時,即.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)問題,考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題,考查了分類的數(shù)學(xué)思想.本題的難點(diǎn)在于第二問不等式的證明中,合理設(shè)出函數(shù),通過比較最值證明.20橫線處任填一個都可以,面積為【解析】無論選哪一個,都先由正弦定理化邊為角后,由誘導(dǎo)公式,展開后,可求得角,再由余弦定理求得,從而易求得三角形面積【詳解】在橫線上填寫“”.解:由正弦定理,得.由,得.由,得.所以.又(若,則這與矛盾),所以.又,得.由余弦定理及,得,即.將代入,解得.所以.在橫線上填寫“”.

18、解:由及正弦定理,得.又,所以有.因?yàn)椋?從而有.又,所以由余弦定理及,得即.將代入,解得.所以.在橫線上填寫“”解:由正弦定理,得.由,得,所以由二倍角公式,得.由,得,所以.所以,即.由余弦定理及,得.即.將代入,解得.所以.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式,考查正弦定理、余弦定理,兩角和的正弦公式等,正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換,求三角形面積時, 若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值),結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積,代入公式求面積;若已知三角形的三邊,可先求其一個角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面積,總之,結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵21(1),(2)(3)【解析】(1)假設(shè)公差,公比,根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,化簡式子,可得,然后利用公式法,可得結(jié)果.(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,利用錯位相減法求和,可得結(jié)果.(3)計(jì)算出,代值計(jì)算并化簡,可得結(jié)果.【詳解】解:(1)依題意:,即,解得:所以,(2),上面兩式相減,得:則即所以,(3)

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