數(shù)字信號處理：第3章離散傅里葉變換DFT

1、第三章 離散傅里葉變換DFT: Discrete Fourier Transform第三章學習目標理解傅里葉變換的幾種形式了解周期序列的傅里葉級數(shù)及性質，了解周期卷積過程掌握離散傅里葉變換及性質，理解圓周移位，掌握圓周卷積、線性卷積和周期卷積三者之間的關系了解頻域抽樣理論理解頻譜分析過程一、序列分類對一個序列長度未加以任何限制，則一個序列可分為： 無限長序列：n=或n=0或n= 0 有限長序列：0nN-1有限長序列在數(shù)字信號處理是很重要的一種序列。由于計算機容量的限制，只能對過程進行逐段分析。引言 連續(xù)時間傅里葉變換不適宜于在數(shù)字計算機上進行計算。其主要原因為： 信號覆蓋了整個時間軸（時間受限

2、信號除外） 信號是時間連續(xù)的 信號的頻譜覆蓋了整個頻譜軸（頻帶受限信號除外） 信號是頻譜連續(xù)的時間要離散、有限！ 頻譜要離散、有限！二、離散傅里葉變換（DFT）的引入由于有限長序列，引入DFT。DFT是反映“有限長”這一特點的一種有用工具。DFT變換除了作為有限長序列的一種傅里葉表示,在理論上重要之外，而且由于有DFT的有效快速算法-FFT, 使DFT得以實現(xiàn)，并在各種數(shù)字信號處理的算法中起著核心的作用。周期延拓中的搬移通過與 的卷積來實現(xiàn)時域周期延拓時域截斷時域抽樣解決信號的離散化問題工程上無法處理時間無限信號要使頻率離散，就要使時域變成周期信號時域乘以矩形脈沖信號，頻域相當于和抽樣函數(shù)卷積

3、通過窗函數(shù)對信號進行逐段截取連續(xù)信號離散化使得信號的頻譜被周期延拓周期延拓后的周期函數(shù)具有離散譜通過與抽樣信號相乘得到經過抽樣、截斷和延拓后，信號時域和頻域都是離散、周期的。三、DFT的推導：一、傅里葉變換的幾種形式時間t頻率f四種不同形式傅里葉變換對 連續(xù) 離散 連續(xù) 離散 3.1 四種時間信號及其傅里葉變換傅里葉變換：建立以時間t為自變量的“ 信號 ”與以頻率 f 為自變量的“ 頻率函數(shù) ”(頻譜) 之間的某種變換關系。二、四種形式的傅里葉變換（一）針對連續(xù)信號 （1）非周期信號的傅里葉變換（FT） （2）周期信號的傅里葉級數(shù)（FS）（二）針對離散信號 （3）非周期信號的序列的傅里葉變換（

4、DTFT） （4）周期信號的離散傅里葉級數(shù)（DFSDFT）1、連續(xù)傅里葉變換（FT）時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜。 2、傅里葉級數(shù)（FS）時域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù)，頻域的離散頻譜就與時域的周期函數(shù)相對應。 周期信號的頻譜只會現(xiàn)在離散頻率點上，這種頻譜稱為離散譜。 3、序列的傅里葉變換（DTFT）是w的連續(xù)周期函數(shù)時域的離散函數(shù)造成頻域是周期的頻譜函數(shù)，頻域的連續(xù)頻譜就與時域的非周期函數(shù)相對應。 4、離散傅里葉級數(shù)（DFS）時域的離散函數(shù)造成頻域是周期的頻譜函數(shù)，頻域的周期頻譜就與時域的離散時間函數(shù)相對應。 四種形式的傅里葉變換對示意圖圖3-1

5、 四種信號及其頻譜示意圖一個域內是周期性的對應另一個域是離散的，一個域內的周期必是另一個域中兩取樣點間增量的倒數(shù)。 3.2 周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)由圖(c) (d)推導出離散付里葉級數(shù)變換： 為周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)，對其進行采樣，使其成為周期性離散頻譜函數(shù)。一、離散傅里葉級數(shù)定義（3-1）時域采樣，頻域周期延拓，若用“”表示周期，則序列對一個周期（ ）等間隔采樣N個點，則采樣間隔代入（3-1）式，得離散化的頻率頻域采樣，周期延拓即 則二、頻域采樣時域不失真條件nN點N點k M點 頻域周期延拓，周期圖ac 時域采樣( 滿足采樣定理 ) 采M個點，采樣間隔圖cd 頻域采樣： 采樣間隔假

6、設一個周期 采N個點，則時域周期延拓不交疊，則 （了解） 可看作是對 的一個周期 做 變換然后將 變換在 平面單位圓上按等間隔角 抽樣得到。補充： 了解 3.3 DFS的主要性質1 線性其中， 為任意常數(shù)若則2 序列的移位（1） 時域移位（2）頻域移位3 周期卷積利用對稱性兩個周期序列的周期卷積過程：3.4 離散傅里葉變換（DFT）的定義 周期序列實際上只有有限個序列值是獨立的，因而它的離散傅里葉級數(shù)表示式也適用于有限長序列，這就得到有限長序列的傅里葉變換（DFT）。1.有限長序列和周期序列之間的關系 設x(n)為有限長序列，長度為N。我們把它看成周期序列 的一個周期，而把 看成x(n)以N為

7、周期的周期延拓，這樣就建立了有限長序列和周期序列之間的聯(lián)系。上述兩式可分別表示為 n=0到N-1的范圍稱為主值區(qū)間。的第一個周期，即n=0到N-1的序列稱為主值序列，例如， 是周期為N8的序列，求n=19和n=-2兩數(shù)對N的余數(shù)。所以 m為整數(shù),可正可負 符號解：因為例3-1 解： 同理，可以認為周期序列 的DFS系數(shù) 是有限長序列X(k)周期延拓的結果，而 X(k)是 的主值序列。 即 2 有限長序列的DFT定義 從DFS和IDFS的定義可以看出，求和運算只限定在0到N-1的主值區(qū)間內進行，因而完全適用于主值序列x(n) 與X(k) 。因此我們得到一個新的定義，這就是有限長序列的離散傅里葉變

8、換定義：DFS有限長序列的DFT定義 在離散傅里葉變換關系中，有限長序列都作為周期序列的一個周期來表示，都隱含有周期性意義。注意：例3-2 是一個長度N=12的有限長序列，求解： 3 DFT的圖形解釋DFT3.5 離散傅里葉變換的性質DFT正變換和反變換1 線性性質這里，序列長度及DFT點數(shù)均為N若不等，分別為N1，N2，則需補零使兩序列長度相等，均為N，且若則2 圓周移位圓周移位的過程：一個長度為N的序列x(n)的圓周(循環(huán))移位定義為m：正整數(shù)時右移 負整數(shù)時左移m為整數(shù)圓周移位的過程（左移）圖 3-4 圓周移位過程示意圖（N=6）左移順時 由圖，當主值序列左移m個樣本時，從右邊會同時移進

9、m個樣本，好像剛從左邊移出的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進來，故稱“循環(huán)移位”。（1）時域循環(huán)移位定理（2）頻域循環(huán)移位定理若則若則 有限長序列的圓周移位導致頻譜線性相移，而對頻譜幅無影響。 有限長序列的圓周移位導致頻譜線性相移，而對頻譜幅度無影響。（1）時域圓周移位定理（證明自學） （2）頻域圓周移位（自學）時域序列的調制等效于頻域的圓周移位3 圓周卷積若則證明：因為DFT隱含周期性，將 周期延拓，由周期卷積，若則圓周卷積是周期卷積取主值簡記為 是取主值*N有時*若圓周卷積定理說明：對于DFT 頻域相乘時域圓周卷積。根據對偶原理， 時域相乘頻域圓周卷積則*求例3-4 假設兩個N點長序列 解：利用

10、圓周卷積定理求解 兩列長為N的序列的圓周卷積仍是列長為N的序列 線性卷積不受主值區(qū)間限制 圓周卷積是周期卷積取主值，在一定條件下與線性卷積相等。 兩個長度都為N的因果序列的圓周卷積仍是一個長度為N的序列，而它們的線性卷積卻是一個長度為2N-1的序列。線性卷積循環(huán)卷積3.6節(jié)詳細討論 ？同樣，利用對稱性若則4 共軛對稱性 (了解) 其中：任意序列可表示成 和 之和:其中，x(n)列長N對稱性是指關于N/2點的對稱性。解決：-周期共軛反對稱序列-周期共軛對稱序列同理：實部圓周偶對稱、虛部圓周奇對稱幅度圓周偶對稱、幅角圓周奇對稱實部圓周奇對稱、虛部圓周偶對稱幅度圓周偶對稱、幅角沒有對稱性共軛對稱性

11、DFT DFT DFT DFT 例：設x1(n)和x2(n)都是N點的實數(shù)序列，試用一次N點DFT運算來計算它們各自的DFT: 5 DFT形式下的Parseval定理3.6 有限長序列的線性卷積與圓周卷積輸出無快速算法有快速算法*而L點圓周卷積FFTIFFT1.線性卷積的列長兩式相加，得線性卷積：2.圓周卷積和線性卷積之間的關系：對x1(n)和x2(n)補零，使其長度均為L點；對x1(n)和 x2(n)進行列長為L的圓周卷積：*圓周卷積是周期卷積的主值序列先求周期卷積對x1(n)和 x2(n)以L為周期進行周期延拓：周期卷積：圓周卷積：周期卷積是線性卷積的周期延拓，簡記為是*的周期延拓圓周卷積

12、是線性卷積周期延拓后取主值序列 是的主值序列* * L點的圓周卷積是線性卷積以L為周期進行周期延拓后再取主值序列*結論：例3-5補充：線性卷積求解方法時域直接求解 補L-N1個零x(n)L點DFT補L-N2個零h(n)L點DFTL點IDFTy(n)= x(n)*h(n)z變換法DFT法快速算法3.7 延長序列的離散傅立葉變換1. 后邊補零延長 頻率采樣點數(shù)增加，譜線加密，在實際應用中，根據需要調整L值，就可以改變頻率采樣點間隔，得到不同密度的譜線。 等間隔采樣2. 插入零值延長 序列值之間補零后的DFT，是原序列DFT的周期重復，重復周期為N 3. 重復序列本身延長 圖3-7 例3-6圖例3-

13、6 已知 求X(k)及用三種方法延長后的 序列和相應的DFT 。 延長序列的序列值分別為：三序列的DFT分別為： 3.8 DFT與z變換、傅里葉變換的關系1、DFT與z變換進行對比得2、DFT與DTFT變換進行對比得所以：DFT與Z變換、DTFT變換的關系單位圓上取值單位圓上等間隔取樣所以 0,2等間隔取樣注意：關于離散傅里葉變換(DFT) 1）序列x(n)在時域是有限長的（長度為N），它的離散傅里葉變換X(k)也是離散、有限長的（長度也為N）。 n為時域變量，k為頻域變量。 2）離散傅里葉變換與離散傅里葉級數(shù)沒有本質區(qū)別，DFT實際上是離散傅里葉級數(shù)的主值，DFT隱含有周期性。 3）離散傅里

14、葉變換（DFT）具有唯一性。 離散傅里葉變換理論實現(xiàn)了頻域離散化，因而開辟了用數(shù)字技術在頻域處理信號的新途徑。 3、用頻域采樣X(k)表示X(z) 的內插公式4、用頻域采樣X(k)表示 的內插公式 圖3-9 在N=5時的幅頻特性和相頻特性3.9 DFT應用中的問題實際應用中，常用DFT對模擬信號作頻譜分析信號的頻譜分析：計算信號的傅里葉變換DFT應用中的問題有：1）混疊效應3）柵欄效應2）頻譜泄漏(截斷效應)抽樣截短周期延拓取一個周期周期延拓周期延拓取一個周期卷積周期延拓抽樣1）混疊效應 不存在持續(xù)時間有限的帶限信號，信號截短導致頻域展寬。對時域采樣，頻域周期延拓，產生頻譜混疊。 實際信號都是

15、高頻衰減的改善方法：提高采樣頻率來減少頻譜混疊2）頻譜泄漏對時域截短，使頻譜變寬拖尾，稱為泄漏 泄露使頻譜變模糊，使譜分辨率降低； 泄露現(xiàn)象是由截斷造成的，但是靠增加N并不能減少泄露。 改善泄露的辦法是采用其他形式的窗函數(shù)，如漢明窗，漢寧窗等。3）柵欄效應改善方法：增加頻域抽樣點數(shù)N（時域補零），使譜線更密 序列x(n)的頻譜是連續(xù)的，而DFT是這個連續(xù)譜的均勻抽樣。 如果用X(k)去近似，就一定意義上來講，好象是在柵欄的一邊通過柵欄的縫隙（對應離散點）去觀看另一邊的景象（對應連續(xù)頻譜），只能在離散點的地方看到真實的景象。 因此，那些被柵欄擋住的（頻譜）部分是看不到的，這就有可能漏掉一些較大頻率分量。我們稱這種現(xiàn)象為“柵欄效應”。