工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)4

1、第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)的斂散性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)四、典型例題五、小結(jié)與思考一、冪級(jí)數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義其中各項(xiàng)在區(qū)域 D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 記作 稱(chēng)為這級(jí)數(shù)的部分和. 級(jí)數(shù)最前面n項(xiàng)的和和函數(shù)稱(chēng)為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂, 那末它的和一定2. 冪級(jí)數(shù)當(dāng)或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形或這種級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù).二、冪級(jí)數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散, 那末對(duì)滿(mǎn)足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿(mǎn)足阿貝爾介紹證由收斂的必要條件, 有因而存在正數(shù)M, 使對(duì)所有的n, 而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法

2、知:收斂.另一部分的證明請(qǐng)課后完成.證畢2. 收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù), 其收斂半徑的情況有三種:(1) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.例如, 級(jí)數(shù)對(duì)任意固定的z, 從某個(gè)n開(kāi)始, 總有于是有故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的z均收斂.(2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除 z=0 外都發(fā)散.此時(shí), 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.(3) 既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù), 也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù).例如,級(jí)數(shù)通項(xiàng)不趨于零, 如圖:故級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.答案: 冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出一般的結(jié)論, 要

3、對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問(wèn)題2: 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?例如, 級(jí)數(shù):收斂圓周上無(wú)收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂.3. 收斂半徑的求法方法1: 比值法(定理二):那末收斂半徑證由于收斂.據(jù)阿貝爾定理,根據(jù)上節(jié)定理三,所以收斂半徑為證畢即假設(shè)不成立 .如果:即注意:存在且不為零 .定理中極限(極限不存在),即答案課堂練習(xí) 試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.方法2: 根值法(定理三)那末收斂半徑說(shuō)明:(與比值法相同)如果三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1.冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算2. 冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿(mǎn)足那末當(dāng)時(shí),說(shuō)明: 此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

4、為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到, 是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù) .(1)3. 復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, 簡(jiǎn)言之: 在收斂圓內(nèi), 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析; 冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分.(常用于求和函數(shù))即四、典型例題例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的部分和為級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi), 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂, 收斂半徑為1,例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時(shí)的情形)或解(1)因?yàn)樗允諗堪霃郊丛?jí)數(shù)在圓內(nèi)收斂, 在圓外發(fā)散, 收斂的級(jí)數(shù) 所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收

5、斂的.在圓周上,級(jí)數(shù)說(shuō)明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn), 也有 級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).原級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù), 收斂.發(fā)散.原級(jí)數(shù)成為調(diào)和級(jí)數(shù)，(2)故收斂半徑例3求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑:解解所以例4求 的收斂半徑.例5把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù), 其中是不相等的復(fù)常數(shù) .解把函數(shù)寫(xiě)成如下的形式:代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn)湊出級(jí)數(shù)收斂,且其和為例6 求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:所以例7 求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解例8 計(jì)算解五、小結(jié)與思考 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了冪級(jí)數(shù)的概念和阿貝爾定理等內(nèi)容，應(yīng)掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法和冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).思考題冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由于在收斂圓周上確定, 可以依復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性討論.思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.阿貝爾資料Born: 5 Aug 1802 i