期權(quán)二叉樹定價模型

1、第八講 期權(quán)二叉樹定價 8.1 單步二叉樹圖8.1.1 二叉樹圖的構(gòu)造問題 假設(shè)一種股票當(dāng)前價格為$20，三個月后的價格將可能為$22或$18。假設(shè)股票三個月內(nèi)不付紅利。有效期為3個月的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價格為$21。如何對該期權(quán)進(jìn)行估值？ 思路 根據(jù)期權(quán)的特性，顯然可以用圖8-1所示的二叉樹圖來描述股票和期權(quán)的價格運(yùn)動。 如果能夠用這種股票和期權(quán)構(gòu)造一個組合，使得在三個月末該組合的價值是確定的，那么，根據(jù)該組合的收益率等于無風(fēng)險收益率（無套利假設(shè)），可以得到構(gòu)造該組合所需成本（現(xiàn)值），而組合中股票的價格是已知的，于是可以得出期權(quán)的價格。 構(gòu)造一個證券組合，該組合包含一個股股票多頭頭寸和一個看漲

2、期權(quán)的空頭頭寸。是否可有多種構(gòu)造方法? 由圖8-1可知，當(dāng)股票價格從$20上升到$22時，該證券組合的總價值為22-1；當(dāng)股票價格從$20下降到$18時，該證券組合的總價值為18。 完全可以選取某個值，使得該組合的終值對在上述兩種情況下是相等的。這樣，該組合就是一個無風(fēng)險組合。 由 221=18 得 =0.25 是否一定為正? 因此，一個無風(fēng)險的組合由0.25股股票和一個期權(quán)空頭構(gòu)成。通過計算可知，無論股票價格是上升還是下降，在期權(quán)有效期的末尾，該組合的價值總是$4.5。 在無套利假設(shè)下，無風(fēng)險證券組合的盈利必定為無風(fēng)險利率。 假設(shè)無風(fēng)險利率為年率12。則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 4.5e-0.12

3、0.25=4.3674 股票現(xiàn)在的價格已知為$20。用f表示期權(quán)的價格。因此，由 200.25f=4.3674 得 f=0.633 如果期權(quán)價格偏離0.633，則將存在套利機(jī)會。 8.1.2 一般結(jié)論 考慮一個無紅利支付的股票，股票價格為S。基于該股票的某個衍生證券的當(dāng)前價格為f。假設(shè)當(dāng)前時間為零時刻，衍生證券給出了在T時刻的盈虧狀況 。 一個證券組合由股的股票多頭和一個衍生證券空頭構(gòu)成。 如果股票價格上升,在有效期末該組合的價值為： 如果股票價格下降，在有效期末該組合的價值為： 當(dāng)兩個價值相等時 即 （9.1） 該組合是無風(fēng)險的，收益必得無風(fēng)險利率。在T時刻的兩個節(jié)點之間運(yùn)動時，是衍生證券價

4、格變化與股票價格變化之比。 用r表示無風(fēng)險利率，該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 而構(gòu)造該組合的成本是： 因此 將式（9.1）代入上式，得到 其中 （9.3）風(fēng)險中性概率 運(yùn)用單步二叉樹圖方法，式（9.2）和（9.3）就可為衍生證券估值。 8.1.3 股票預(yù)期收益的無關(guān)性 衍生證券定價公式（9.2）并沒有用到股票上升和下降的概率。這似乎不符合人們的直覺，因為人們很自然地假設(shè)假設(shè)如果股票價格上升的概率增加，基于該股票的看漲期權(quán)價值也增加，看跌期權(quán)的價值則減少。 之所以如此，原因在于，我們并不是在完全的條件下為期權(quán)估值，而只是根據(jù)標(biāo)的股票的價格估計期權(quán)的價值。未來上升和下降的概率已經(jīng)包含在股票的價格中。它說明，

5、當(dāng)根據(jù)股票價格為期權(quán)估值時，我們不需要股票價格上漲下降的概率。 8.2 風(fēng)險中性估值8.2.1 風(fēng)險中性估值原理 式（9.2）中的變量p可以解釋為股票價格上升的概率，于是變量1p就是股票價格下降的概率。這樣， pfu+(1-p)fd 就是衍生證券的預(yù)期收益。于是，式（9.2）可以表述為：衍生證券的價值是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值 。 同樣，按照上式對p的解釋，在T時刻預(yù)期的股票價格 即 將式（9.2）中的p代入上式，得 E(ST)=SerT （9.4） 這表明，平均來說，股票價格以無風(fēng)險利率增長。因此，設(shè)定上升運(yùn)動的概率等于p就是等價于假設(shè)股票收益等于無風(fēng)險利率。 我們把每一個人是風(fēng)險中

6、性的世界稱為風(fēng)險中性世界（ risk-neutral world ）。在這樣的世界中，投資者對風(fēng)險不要求補(bǔ)償，所有證券的預(yù)期收高效益是無風(fēng)險利率。式（9.4）說明，當(dāng)設(shè)定上升運(yùn)動的概率為p時，我們就在假設(shè)一個風(fēng)險中性世界 。式（9.2）說明，衍生證券的價值是其預(yù)期收益在風(fēng)險中性世界中按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值。以上過程表明，當(dāng)為期權(quán)和其它衍生證券估值時，完全可以假設(shè)世界是風(fēng)險中性的。這就是所謂風(fēng)險中性（risk-neutral valuation）原理。在風(fēng)險中性世界中得到的價格，在現(xiàn)實世界中也是正確的。 8.2.2 風(fēng)險中性估值舉例 我們將風(fēng)險中性估值原理運(yùn)用于圖8-1的例子。 在風(fēng)險中性世界，股

7、票的預(yù)期收益率一定等于無風(fēng)險利率12。則有： 22p+18(1-p)=20e0.120.25 即 4p=20e0.120.25-18 得 p=0.6523 在三個月末尾:看漲期權(quán)價值為$1的概率為0.6523，價值為零的概率為0.3477。因此，看漲期權(quán)的期望值為： 0.65231+0.34770=$0.6523 按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)得期權(quán)現(xiàn)在的價值： f=0.6523e-0.120.25 =0.633 8.3 兩步二叉樹圖8.3.1 兩步二叉樹圖的構(gòu)造 假設(shè)一種股票開始的價格為$20，并在圖8-3所示的兩步二叉樹圖的每個單步二叉樹圖中，股票價格可以上升10或者下降10。 假設(shè)在每個單步二叉樹的步

8、長是三個月，無風(fēng)險利率是年率12?？紤]一個執(zhí)行價格為$21的期權(quán)。 在圖8-3中，很容易得到，在節(jié)點D，期權(quán)價格為$3.2；在節(jié)點E和F，期權(quán)價格為零。 在節(jié)點B的期權(quán)價格計算如下： u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在節(jié)點B的期權(quán)價格為： e-0.120.25(0.65233.2十0.34770)=2.0257 在節(jié)點C，期權(quán)價格為0。 在節(jié)點A的期權(quán)價格為：e-0.120.25(0.65232.0257十0.34770)=1.2823 在構(gòu)造這個例子時，u和d(股票價格上升和下降的比率)在樹圖的每個節(jié)點上是相同的，每個單步二叉樹的時間長度是相等的。由式

9、（9.3）可得風(fēng)險中性的概率p，它在每個節(jié)點都是相同的。 8.3.2 一般結(jié)論 如圖8-4所示，初始股票價格為S。在每個單步二叉樹中，股票價格或者上升到初始值的u倍，或下降到初始值的d倍。假設(shè)無風(fēng)險利率是r。每個單步二又樹的時間長度是t年。 重復(fù)式（9.2）的計算，給出： （9.5） （9.6） （9.7） 將式（9.5）和（9.6）代入式（9.7），得到： 式中，p2，2p(1-p)和(1-p)2是達(dá)到最后上、中、下三個節(jié)點的概率。衍生證券的價格等于它在它在風(fēng)險中性世界的預(yù)期收益按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值。 如果在樹圖中加入更多的步(step)以推廣應(yīng)用二叉樹圖方法，風(fēng)險中性估值的原理一直是成立的

10、。衍生證券的價格總是等于它在風(fēng)險中性世界的預(yù)期收益按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值。 8.3.3 看跌期權(quán)的例子 考慮一個兩年期歐式看跌期權(quán)，股票的執(zhí)行價格為$52，當(dāng)前價格為$50。 假設(shè)價格為兩步二叉樹，每個步長為一年。在每個單步二叉樹中股票價格或者按比率上升20，或者按比率下降20。無風(fēng)險利率為5。 構(gòu)造如圖8-5所示的兩步二叉樹圖。風(fēng)險中性概率P的值為： 最后股票的可能價格為$72、$48和$32。在這種情況下，fuu=0,fud=4,fdd=20,t=1，利用公式（9.8），得到看跌期權(quán)的價格 f=e-20.051(0.628220+ 20.62820.37184+0.3718220)=4.19

11、23 利用每個單步二步二叉樹向回倒推算，也可以得到這個結(jié)果。 實際上，如果股票價格的變化是二值的，那么任何基于該股票的衍生證券都可以運(yùn)用二叉樹模型進(jìn)行估值。 84 美式期權(quán)估值8.4.1 方法 二叉樹模型可以用于為美式期權(quán)估值。方法是：從樹圖的最后末端向開始的起點倒推計算。在每個節(jié)點檢驗提前執(zhí)行是否最佳。在最后節(jié)點的期權(quán)價值與歐式期權(quán)在最后節(jié)點的期權(quán)價值相同。在較早的一些節(jié)點，期杈的價值是取如下兩者之中較大者： 1）由式（9.2）求出的值。 2）提前執(zhí)行所得的收益。 9.4.2 舉例 考慮一個兩年期美式看跌期權(quán)，股票的執(zhí)行價格為$52，當(dāng)前價格為$50。假設(shè)價格為兩步二叉樹，每個步長為一年，在

12、每個單步二叉樹中股票價格或者按比率上升20，或者按比率下降20。無風(fēng)險利率為5。 如圖8-6所示，在節(jié)點B，期權(quán)的價值為$1.4147，而提前執(zhí)行期權(quán)的損益為負(fù)值(-$8)。在節(jié)點B提前執(zhí)行不是明智的，此時期權(quán)價值為1.4147。在節(jié)點C，期權(quán)的價值為$9.4636，而提前執(zhí)行期權(quán)的損益為$12.0。在這種情況下，提前執(zhí)行是最佳的，因此期權(quán)的價值為$12.0。 在初始節(jié)點A，求出的期權(quán)價值為:f= e-0.051(0.62821.4147+0.371812.0)=5.0894 而提前執(zhí)行的價值為$2.0。在這種情況下，提前執(zhí)行是不明智的。因此期權(quán)的價值為$5.0894。 8.5 Delta8.

13、5.1 Delta的含義 股票期權(quán)的Delta是股票期權(quán)價格的變化與標(biāo)的股票價格的變化之比，是為了構(gòu)造一個無風(fēng)險對沖，對每一個賣空的期權(quán)頭寸我們應(yīng)該持有的股票數(shù)目。 構(gòu)造無風(fēng)險對沖有時就稱之為Delta對沖(delta hedging)。 看漲期權(quán)的Delta是正值，而看跌期權(quán)的Delta是負(fù)值。 8.5.2 Delta的計算 以圖8-2所示的看漲期權(quán)估值為例，該看漲期權(quán)的Delta計算如下： 這是因為當(dāng)股票價格從18變化到22時，期權(quán)價格從0變化到1。 在圖8-3中，對于第一個時間步，股票價格變動的Delta為： 如果在第一個時間步之后，還有一個向上的運(yùn)動，則在第二個時間步股票價格變動的Delta為： 如果在第一個時間步之后，還有一個向下的運(yùn)動，則在第二個時間步股票價格變動的Delta為： 在圖8-5中，第一個時間步的Delta為： 在第二個時間步，有兩個Delta： 或者 上面的兩個例子說明，Delta值隨時間而變化。這意味著利用期權(quán)和標(biāo)的股票來保持一個無風(fēng)險對沖，我們需要定期調(diào)整我們所持有的股票數(shù)量。 9.6