2013真題數(shù)二答案

1、2、已知y f (x)由方程cos(xy)(A) 2(B) 1(C) -1【答案】(A)【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念；隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【難易度】2ln y x 1 確te,則 lim n f(-) 1n(D) -22013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答案一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合 題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1、設(shè) cosx 1 x sin (x) ,(x) 一,當(dāng) x 0時(shí)，(x)()2(A)比x高階的無窮小(B)比x低階的無窮小(C)與x同階但不等價(jià)的無窮小(D)與x是

2、等價(jià)無窮小【答案】(C)【考點(diǎn)】同階無窮小【難易度】1 2 TOC o 1-5 h z 【詳解】Q cosx 1 x sin (x) , cosx 1 :- x221x sin (x) :x ,即 sin (x):- x2當(dāng) x 0 時(shí)，(x)0, sin (x) :(x)，、1r ，、- i.， 一一,一，(x) :x,即(x)與x同階但不等價(jià)的無窮小，故選(0 .【詳解】當(dāng)x 0時(shí)，y 1.2f() 1lim n f (-) 1 lim-nn n n 12則黨用2f (0)方程 cos(xy) ln y x1兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二. / 、,、1，

3、Csin(xy)( y xy) y 1 0 y將x 0, y1代入計(jì)算，得y (0) f (0) 1所以,llm n.2n f (-) 1 2,選(A). nslnx 0, )x3、設(shè) f (x), F(x) f (t)dt，則()2 ,2 0 x為F(x)的跳躍間斷點(diǎn)x為F(x)的可去間斷點(diǎn)F (x)在x處連續(xù)不可導(dǎo)F(x)在x 處可導(dǎo)【答案】(C)【考點(diǎn)】初等函數(shù)的連續(xù)性；導(dǎo)數(shù)的概念【難易度】0)0 s1nt出02 s1ntdt_sintdt 2，F(xiàn)(20) 2,F( 0) F( 0), F(x)在 x處連續(xù).limxx0 f(t)出0，F(xiàn) ()limxx0 f (t)dt 0 f(t)d

4、tF ( ) F ()，故F(x)在x處不可導(dǎo).選(C)1 1 x e4、設(shè)函數(shù)f (x)f(x)dx收斂，則(x 1),若反常積分1 - x e xln x(A)2(B)2(C)20(D) 022013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二【答案】(D)【考點(diǎn)】無窮限的反常積分【難易度】1 f (x)dxf (x)dx e f (x)dxf(x)dx收斂可知,f(x)dx 與 f(x)dx 均收斂.ee1f (x)dx1dx，(x 1)1是瑕點(diǎn)，因?yàn)閑 1，一1一1dx收斂，所以1 11 (x 1)f (x)dxe1dx e xln x1 (In x)要使其收斂，則所以,2,選 D.5、設(shè)f (

5、xy),其中函數(shù)f可微，則(A)2yf (xy)(B)2yf (xy)(C:f(xy)(D)；f(xy)【答案】(A)【考點(diǎn)】多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)【難易度】f (xy)y2x，,、 z 1f (xy)，一 一 f (xy) yf (xy)5f(xy)f(xy)1f (xy) yf (xy) x1 .一 f(xy) x一、1yf (xy) - f (xy) yf (xy) x2yf (xy),故選(A).6、設(shè)Dk是圓域D (x, y) x2 y2 1位于第k象限的部分，記1k (y x)dxdy(k 1,2,3,4),則() Dk(A) I1 0(B) I2 0(C) I3 0(D) I4 0【答

6、案】(B)2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二【考點(diǎn)】二重積分的性質(zhì)；二重積分的計(jì)算【難易度】【詳解】根據(jù)對(duì)稱性可知，I1 |3 0.12 (y x)dxdy 0(Qyx0), |4 (y x)dxdy 0 (Q y x 0)D2D4因此，選B.7、設(shè)A、B、C均為n階矩陣, (A)矩陣C的行向量組與矩陣 (B)矩陣C的列向量組與矩陣 (C)矩陣C的行向量組與矩陣 (D)矩陣C的列向量組與矩陣 【答案】(B)【考點(diǎn)】等價(jià)向量組【難易度】若AB=C且B可逆，則()A的行向量組等價(jià)A的列向量組等價(jià)B的行向量組等價(jià)B的列向量組等價(jià)【詳解】將矩陣 A、C按列分塊，A ( 1,Ln), C ( i

7、,L , n)MLbin由于 AB C ,故(1,L , n) M M bnl Lbnn(1,L , n)即 1bii 1 Lbni n,L , nDn 1 Lbnn n即C的列向量組可由A的列向量組線性表示由于B可逆，故A CB 1, A的列向量組可由C的列向量組線性表示，故選(B)1 a8、矩陣a b1 a0 0b 0相似的充分必要條件是0 0a 0,b 2a 0,b為任意常數(shù)a 2,b 0a 2,b為任意常數(shù)2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二【答案】(B)【考點(diǎn)】矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件【難易度】【詳解】題中所給矩陣都是實(shí)對(duì)稱矩陣，它們相似的充要條件是有相同的特征值2 0

8、0由0 b 0的特征值為2, b , 0可知，矩陣A0 0 0因此，2E A1a0 2 b a202a將a0代入可知，矩陣 A1 0 10 b 0的特征值為1 0 1a 1aba的特征值也是2, b , 0.a 11一, 2 一一2a4a0a 00, b , 0.此時(shí)，兩矩陣相似，與b的取值無關(guān)，故選(B)二、填空題:914小題，每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上9、211n(1 x)71【答案】e2【考點(diǎn)】兩個(gè)重要極限【難易度】【詳解】lim(2x 01ln(1 x)戶lim1(1ln(1 x)1x1ln(1 x) 2(1 ln(1 x)x-(1lim exx 0ln(1 x

9、)xlim - (1ex 0 xln(1 x)x其中,1lim (1x 0 xln(1 x)xlimx 0 x ln(1 x)故原式1=e210、設(shè)函數(shù)f (x)limx 011_x2xlimx 02x(1 x)y f (x)的反函數(shù)x f1( y)在y 0處的導(dǎo)數(shù)2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二dxdYy 0L所圍平面圖形的面積1 / sin 6 、6一() 一26012包1dxt 1【考點(diǎn)】反函數(shù)的求導(dǎo)法則；積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】由題意可知，f( 1) 0 TOC o 1-5 h z /、 dyX7dx 1 dx dx1f (x) V1 e .dxdy 了姿 d

10、y y o dy x 1 Ve11、設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程方程為 r cos3 (),則66是:_【答案】 一12【考點(diǎn)】定積分的幾何應(yīng)用一平面圖形的面積【難易度】【詳解】面積S 1百r2( )d 6cos2 3 d 61 cos6 d 2 6002x arctant,12、曲線1對(duì)應(yīng)于t 1點(diǎn)處的法線方程為y In .1 t2【答案】y x In2 04【考點(diǎn)】由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【難易度】 TOC o 1-5 h z /1=2 1 (1 t2) 2t詳解由題意可知，業(yè) 也由 五2 t, 1dx dx / dt11 t21曲線對(duì)應(yīng)于t 1點(diǎn)處的法線斜率為 k 一 1：2013年全國

11、碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二當(dāng) t 1 時(shí)，x y ln2.4 TOC o 1-5 h z 法線方程為y ln 2 （x 一），即y x In 2 一 0. 4413、已知yi e3x xe2x, y ex xe2x, yxe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程滿足條件 y . 0. y、，0 1的解為y ，xu ，入0.【答案】y e3x ex xe2x【考點(diǎn)】簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程【難易度】3x xx【詳解】y y2 e e , y2 y3 e是對(duì)應(yīng)齊次微分萬程的解.由分析知，y*xe2x是非齊次微分方程的特解.故原方程的通解為y C1（e3x ex） C?e

12、x xe2x, C1，C2為任意常數(shù).由 yx0 0，y x0 1 可得 C1 1 , C2 0.通解為 y e3x ex xe2x.14、設(shè)A （aij）是3階非零矩陣，A為A的行列式，Aj為aij的代數(shù)余子式，若aij Aj 0（i, j 1,2,3）,則 |A 【答案】-1【考點(diǎn)】伴隨矩陣【難易度】 *T*T【詳解】aj Aj 0AjajA A AA AA A E等式兩邊取行列式得A2 A3 A 0或A 1當(dāng)A 0時(shí)，AAT 0 A 0 （與已知矛盾）所以A 1.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

13、數(shù)學(xué)二 明過程或演算步驟.15、（本題滿分10分） 當(dāng)x 0時(shí)，1 cosx cos2x cos3x與axn為等價(jià)無窮小，求 n和a的值.【考點(diǎn)】等價(jià)無窮?。宦灞剡_(dá)法則【難易度】【詳解】limx 01 cosx cos2x cos3xnax1 lim - x 0cos6x cos4x cos2x 14 n axlim故n 當(dāng)n.1lim -x 03 cos6x cos4x cos2x4axn1m6sin 6x 4sin 4x 2sin 2xn 14anx36cos 6x 16cos 4x 4cos 2x4an(n 1)xn 22 0,即n 2時(shí)，上式極限存在.2時(shí)，由題意得cosx cos2x

14、 cos3xnaxxm36cos6 xi016cos4x 4cos 2x8a36j 18a2,a16、（本題滿分10分）1設(shè)D是由曲線y x3,直線x(a0）及x軸所圍成的平面圖形,Vx, Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若Vy10VX,求【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體的體積【難易度】【詳解】根據(jù)題意,Vx1(x3 )2dx5x35a31 a-Vv 2 x x3dxy 07x37a3.因 Vy 10Vx,故677a3105a37.7.2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二17、(本題滿分10分)設(shè)平面區(qū)域D由直線x 3y , y 3x , x【考點(diǎn)】利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分【難易度】y

15、8圍成，求x2dxdyD【詳解】根據(jù)題意y 3xx y 81y 3xx y 8故 x2dxdyD2dx03xx3x2dy8dx x3x2dy/81 4、3x)6 322 5416128318、(本題滿分10分)設(shè)奇函數(shù)f (x)在1,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (1) 1 ,證明:(I)存在 (0,1),使得 f ( ) 1;(n)存在 (1,1),使得 f ( ) f ( ) 1.【考點(diǎn)】羅爾定理【難易度】 TOC o 1-5 h z 【詳解】(I)由于f (x)在1,1上為奇函數(shù)，故f(0)0令F(x) f (x) x,則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，且F(1)F(0) f (0

16、) 0 0.由羅爾定理，存在 (0,1),使得F()0,即f()1 .(n)考慮 f (x) f (x) 1 ex(f(x) f (x) ex (exf(x)exexf (x) ex 0令g(x) exf (x) ex,由于f(x)是奇函數(shù)，所以f (x)是偶函數(shù)，由(I)的結(jié)論可知，f ( ) f () 1, g( ) g( ) 0.由羅爾定理可知，存在 (1,1),使彳# g ( ) 0,即 f ( ) f ( ) 1.19、(本題滿分10分)2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二求曲線x3 xy y3 1(x 0,y 0)上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長距離和最短距離【考點(diǎn)】拉格朗日乘數(shù)法【難

17、易度】【詳解】設(shè)M (x, y)為曲線上一點(diǎn)，該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為d & y(n)設(shè)數(shù)列 xn滿足In xn 1,證明lim xn存在，并求此極限. xn 1n【考點(diǎn)】函數(shù)的極值；單調(diào)有界準(zhǔn)則【難易度】_、一 一 , 一-111 x 1【詳斛】(I)由題息，f(x) ln x -，x 0 f (x) 一yxx x x令f (x) 0,得唯一駐點(diǎn)x 1當(dāng) 0 x 1 時(shí)，f (x) 0；當(dāng) x 1 時(shí)，f (x) 0.所以x 1是f(x)的極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)，最小值為f(1) 1.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F x2 y2(x3 xy y3 1)2Fx2x(3x2y)0由 Fy2y(3y2x)0得Fx3

18、 xy y3 1 0點(diǎn)(1,1)到原點(diǎn)的距離為d小2 12 點(diǎn)，然后考慮邊界點(diǎn)，即(1,0) , (0,1),它們到原點(diǎn)的距離都是1.因此，曲線上點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長距離為應(yīng)，最短距離為1.20、(本題滿分11分)、一一、“，1設(shè)函數(shù)f (x) ln x 一 x(n)由(I)知 In1xn一 1,又由已知ln xnxn1xn 1.-11 rr1 ,可知,即xn 1 xnxnxn 1(I )求f (x)的最小值；故數(shù)列xn單調(diào)遞增102013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二 ， .1.又由 1n xn 1 ,故 In xnxn 110 xne,所以數(shù)列xn有上界.所以lim xn存在，設(shè)為A.

19、n在 ln xn1兩邊取極限得在 ln xnxn 11兩邊取極限得xn，1所以ln A -A21、(本題滿分11分)設(shè)曲線L的方程為(I)求L的弧長；(n)設(shè)D是由曲線1In A - A,*11n A 一1 即 lim xnn1.1-1n x(1 x2e)滿足e及x軸所圍平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo).【考點(diǎn)】定積分的幾何應(yīng)用一平面曲線的弧長；定積分的物理應(yīng)用一形心【難易度】【詳解】(I)設(shè)弧長為 S,由弧長的計(jì)算公式,S(y)2dx(1x1)2dx2 2x1x x2 2xe 11(x )dx1 2 2x1 12(4x1 .、21n x)1 e24(n)由形心的計(jì)算公式,xdxdyx 0 dxd

20、yD1 dx01 dx0401 2 -x4011nx 2xdy1-1n x2 dyex(1x2141 In x)dxe 1 2 11 (-x- ln x)dx1 41一 e 一16161 z 24(e1e2 1) 221311-e 1212 222、(本題滿分11分)3(e4 2e2 3)4(e3 7)112013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二、幾 1 a設(shè)A, B1 0,當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC CA B,并求所有矩陣C.【考點(diǎn)】非齊次線性方程組有解的充分必要條件【難易度】由題意可知矩陣C為2階矩陣,故可設(shè)X1X2.由AC CA B可得X1X2x20X3X4X3x41X3X4整理后可得方程組x2 ax3 0ax1 a2 ax4 1X3x4 1b01a001011110111a10a101a0001a001011101a0a 10000a01a0b0000b0000bX2C存在，故方程組有解.對(duì)的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換:由于矩陣1方程組有解，故即0,b 0,1 ,b0.aaX3a 10時(shí),增廣矩陣變?yōu)閄3, X4為