數(shù)學(xué)第一冊第二章-函--數(shù)課件

1、第二章 函 數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念一、映射我們考察如下例子:某一部門共5人,他們的基本工資分配方案如下: 上面的基本工資分配方案給出了一個(gè)確定的相應(yīng)法則,通過這一對應(yīng)法則,對于集合A中的每一元素,B中都有唯一確定的元素與它對應(yīng)。一般地,設(shè)A,B是兩個(gè)非空集合,如果通過某一個(gè)確定的對應(yīng)法則f,使得對于A中的每一元素a,B中都有唯一確定的元素b與它對應(yīng)(通常記為),那么這個(gè)對應(yīng)叫做集合A到集合B的映射,記作:f:AB。元素b稱為元素a的象。例1設(shè)A:所有矩形組成的集合,B:所有圓組成的集合,對應(yīng)法則為“對于一個(gè)矩形,令它的外接圓與它對應(yīng)”,判斷集合A是否是集合B的映射。答這個(gè)對應(yīng)是集合A到B的映射。例

2、2判斷圖2-1中從集合A到集合B的對應(yīng)f是不是映射。圖2-1解(1) 由于集合A中b元素在B中沒有象,所以f不是映射。(2) A中的元素都有象,并且都唯一,所以f是映射。(3) A中的每一個(gè)元素都有象,但由于集合A中b元素在B中對應(yīng)3、5,即在B中的象不唯一,所以f不是映射。二、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義我們在初中已學(xué)過正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù),初步了解了常量與變量的概念。同時(shí)知道:在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x,y。例3設(shè),求。解 2.確定函數(shù)的兩個(gè)要素由函數(shù)的定義可以知道:如果有兩個(gè)函數(shù),它們的定義域相同,對應(yīng)關(guān)系也相同(從而它們的值域也相同),那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)。因

3、此,常把函數(shù)的定義域和函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系作為確定函數(shù)的兩個(gè)要素。兩個(gè)函數(shù),只有當(dāng)它們的兩個(gè)要素完全相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)。例4判斷函數(shù)與是否為同一函數(shù)。解它們的定義域均為實(shí)數(shù)集合,但y=|x|=。在x0時(shí),兩者的對應(yīng)關(guān)系不同,所以不是同一函數(shù)。又如:y=與y=x+1的定義域不同,前者為x|x1,xR,后者定義域是實(shí)數(shù)集R,所以這兩個(gè)函數(shù)不相同。3.函數(shù)的定義域如果只給出函數(shù)的關(guān)系式,而未指明定義域,那么這個(gè)函數(shù)的定義域就是使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)x的集合。例5求下列函數(shù)的定義域:(1) y=;(2) y=。解(1) 函數(shù)的定義域由不等式 所以,函數(shù)y=的定義域是x3。(2) 函數(shù)的定義域由不

4、等式 解得-3x-2或-2x0或0 x2。所以,函數(shù)y=的定義域是。4.函數(shù)的圖像通?？梢酝ㄟ^解析式、列表,或用圖像來表示一個(gè)函數(shù)。有些實(shí)際問題中的對應(yīng)關(guān)系很難用一個(gè)解析式來表示,也無法列表一一列舉所有點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系,但可以通過圖像來表示,例如圖2-2記錄了某地區(qū)某天24h內(nèi)電壓的變化情況。 圖2-2由函數(shù)的定義可知,函數(shù)圖像有以下特征:經(jīng)過函數(shù)定義域中任何一個(gè)點(diǎn)x,作垂直于x軸的直線,它與函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn)。例6作函數(shù)的圖像。解這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),在自變量x的不同取值范圍內(nèi),函數(shù)有不同的表達(dá)式,這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù),如圖2-3所示。 圖2-3習(xí)題2-11.設(shè)規(guī)定以下的對應(yīng)法

5、則:1對應(yīng)a,2對應(yīng)c,3對應(yīng)d,4對應(yīng)a這個(gè)對應(yīng)是不是A到B的映射?2.下列兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)?為什么?(1) (2) (3) (4) (5) 3.求下列函數(shù)的函數(shù)值:(1) 求:。(2) (3) 。4.圖2-4所示圖像中哪些是函數(shù)的圖像?哪些不是?為什么? 圖2-45.求下列函數(shù)的定義域:(1) 第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)的奇偶性我們知道函數(shù)的圖像(如圖2-5)關(guān)于y軸對稱,可以發(fā)現(xiàn): 圖2-5對于的定義域R中的任意一點(diǎn)a,都有的特征。一般地,如果對于函數(shù)的定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)a,都有,那么就把函數(shù)叫做偶函數(shù)。由偶函數(shù)的定義可得,偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。例1求證函數(shù)是偶函數(shù)。證函數(shù)的

6、定義域是(-,0)(0,+),在定義域中任意一個(gè)a有 得,因此,函數(shù)是偶函數(shù)。同樣,對于具有另一特征的函數(shù),我們也有如下定義,對于函數(shù),若其定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)a,都有,那么就把函數(shù)叫做奇函數(shù)。由奇函數(shù)的定義,易得奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。例2求證是奇函數(shù)。證函數(shù)的定義域是R,在R中任意取一個(gè)實(shí)數(shù)a, 所以,因此函數(shù)是奇函數(shù)。由奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義可知,奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對稱。對于奇函數(shù)或偶函數(shù)的作圖,可采用描點(diǎn)法先畫出在y軸右邊(或左邊)的一部分圖像,再利用奇函數(shù)或偶函數(shù)的對稱性,作出函數(shù)在y軸左邊(或右邊)的另一部分圖像。例3判斷下列函數(shù)的奇偶性。(1) ;(2) 解(1)

7、因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱,所以這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)(簡稱為非奇非偶函數(shù))。(2) 函數(shù)的定義域?yàn)镽,因?yàn)?由此得,且,所以這個(gè)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。二、函數(shù)的單調(diào)性我們觀察函數(shù)y=x2在定義域(-,+)內(nèi)的圖像時(shí)(圖2-6),不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)內(nèi)時(shí),函數(shù)值隨著x值的增大而減少;而當(dāng)時(shí),函數(shù)值隨著x值的增大而增大,函數(shù)的這兩種性質(zhì)都叫做函數(shù)的單調(diào)性。我們給出下面的定義。圖2-6定義如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著自變量x的增大而增大,即對于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)x1x2時(shí),有,那么,函數(shù)叫做在區(qū)間(a,b)上的增函數(shù),區(qū)間(a,b)叫做函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(如圖2-7a);如

8、果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著自變量x的增大而減少,即對于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)x1x2時(shí),有,那么,函數(shù)叫做在區(qū)間(a,b)上的減函數(shù),區(qū)間(a,b)叫做函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間(如圖2-7b)。圖2-7例4證明函數(shù)在區(qū)間(-,+)上是增函數(shù)。證設(shè)x1,x2是區(qū)間(-,+)內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),并且x1x2,那么 即,因此函數(shù)在區(qū)間(-,+)上是增函數(shù)。例5證明函數(shù)在區(qū)間(-,0)上是減函數(shù)。圖2-8證設(shè)x1,x2是區(qū)間(-,0)內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),并且x1(B) a(C) a(D) a 2.函數(shù)的值域?yàn)?)。(A) 3.函數(shù)y=log(2x-1)的定義域是()。(A) (1,+)(B) (1

9、,+)(C) (D) 4.已知=0,那么等于()。(A) (B) (C) (D) 5.定義在R上的函數(shù)對任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)a,b,總有成立,則必有()。(A) 函數(shù)是先增加后減少(B) 函數(shù)是先減少后增加(C) 在R上是增函數(shù)(D) 在R上是減函數(shù)6.已知,則 (A) 105(B) 510(C) lg10(D) lg5 二、填空題1.若loga2=m,loga3=n,a2m+n=。2.若,則。3.已知,則。4.化簡log2(1+)+log2(1+-)=。三、判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) 四、一次市民英語等級考試中,隨機(jī)抽取30名市民的考試成績?nèi)缦?64,42,70,61,56,43,38,51,

10、58,45,46,72,65,47,51,50,44,54,34,83,71,55,48,60,67,53,52,63,56,28,求樣本的平均數(shù)和中位數(shù)。五、 觀察某地區(qū)中學(xué)畢業(yè)生的身高,隨機(jī)地抽取一個(gè)學(xué)校進(jìn)行調(diào)查。該校畢業(yè)班的80名男生的身高的實(shí)測數(shù)據(jù)(單位:cm)如下:171,170,165,169,167,167,170,161,164,167,171,163,163,169,166,168,168,165,160,168,158,160,163,167,173,168,169,170,160,164,171,169,167,159,151,168,170,174,160,168,164,172,163,156,161,167,172,163,170,165,165,168,174,161,167,156,157,180,164,169,164,163,166,156,157,158,163,157,161,166,176,157,162,166,158,164,163,161,163,167。(1) 請?zhí)顚懴铝蓄l率分布表:(2) 畫頻率直方圖。六、為了統(tǒng)計(jì)某區(qū)退休工人的生活狀況,隨機(jī)抽取25人的退休工資如下(單位:元):472,8