48課時(shí)數(shù)模教案選修課jxcss第1415次第十一章

1、第十一章 馬氏鏈模型11.1 健康與疾病11.2 鋼琴銷售的存貯策略11.3 基因遺傳11.4 等級(jí)結(jié)構(gòu)馬氏鏈模型 系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的 從一時(shí)期到下時(shí)期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移 下時(shí)期狀態(tài)只取決于本時(shí)期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率 已知現(xiàn)在，將來(lái)與過(guò)去無(wú)關(guān)（無(wú)后效性）描述一類重要的隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（過(guò)程）的模型馬氏鏈 (Markov Chain)時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過(guò)程通過(guò)有實(shí)際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì)例1. 人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對(duì)特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8, 而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為0.7，11.1 健康與疾病 人的健康

2、狀態(tài)隨著時(shí)間的推移會(huì)隨機(jī)地發(fā)生轉(zhuǎn)變 保險(xiǎn)公司要對(duì)投保人未來(lái)的健康狀態(tài)作出估計(jì), 以制訂保險(xiǎn)金和理賠金的數(shù)額 若某人投保時(shí)健康, 問10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率Xn+1只取決于Xn和pij, 與Xn-1, 無(wú)關(guān)狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無(wú)后效性 120.80.20.30.7 n 0a2(n) 0 a1(n) 1設(shè)投保時(shí)健康給定a(0), 預(yù)測(cè) a(n), n=1,2設(shè)投保時(shí)疾病a2(n) 1 a1(n) 0 n時(shí)狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)3 0.778 0.222 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 0.3 0.33 0.333 7/9 2/9 狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移120.8

3、0.20.30.710.80.220.780.221230.10.0210.80.250.180.65例2. 健康和疾病狀態(tài)同上，Xn=1 健康, Xn=2 疾病p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡為第3種狀態(tài)，記Xn=3健康與疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 n 0 1 2 3 a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 設(shè)投保時(shí)處于健康狀態(tài)，預(yù)測(cè) a(n), n=1,2 不論初始狀態(tài)如何，最

4、終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3 ； 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 則對(duì)于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即從狀態(tài)3不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移00150 0.1293 0.0326 0.8381 馬氏鏈的基本方程基本方程馬氏鏈的兩個(gè)重要類型 1. 正則鏈 從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)另外任一狀態(tài)（如例1）。w 穩(wěn)態(tài)概率馬氏鏈的兩個(gè)重要類型 2. 吸收鏈 存在吸收狀態(tài)（一旦到達(dá)就不會(huì)離開的狀態(tài)i, pii=1）,且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)吸收狀態(tài)（如例2）。有r個(gè)吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式R有非零元素yi

5、從第 i 個(gè)非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個(gè)吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。11.3 基因遺傳背景 生物的外部表征由內(nèi)部相應(yīng)的基因決定。 基因分優(yōu)勢(shì)基因d 和劣勢(shì)基因r 兩種。 每種外部表征由兩個(gè)基因決定，每個(gè)基因可以是d, r 中的任一個(gè)。形成3種基因類型：dd 優(yōu)種D, dr 混種H, rr 劣種R。 基因類型為優(yōu)種和混種, 外部表征呈優(yōu)勢(shì)；基因類型為劣種, 外部表征呈劣勢(shì)。生物繁殖時(shí)后代隨機(jī)地（等概率地）繼承父、母的各一個(gè)基因，形成它的兩個(gè)基因。父母的基因類型決定后代基因類型的概率完全優(yōu)勢(shì)基因遺傳父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型組合后代各種基因類型 的概率DDRRDHDRHHHRD

6、RH1000011 / 21 / 200101 / 41 / 21 / 401 / 21 / 23種基因類型：dd優(yōu)種D, dr混種H, rr劣種R完全優(yōu)勢(shì)基因遺傳P(DDH)=P(dddd,dr)=P(ddd)P(ddr)P(RHH)=P(rrdr,dr)=P(rdr)P(rdr)=11/2=1/2=1/21/2=1/4隨機(jī)繁殖 設(shè)群體中雄性、雌性的比例相等，基因類型的分布相同（記作D:H:R） 每一雄性個(gè)體以D:H:R的概率與一雌性個(gè)體交配，其后代隨機(jī)地繼承它們的各一個(gè)基因 設(shè)初始一代基因類型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 記p=a+b, q=b+c, 則群體中優(yōu)勢(shì)

7、基因和劣勢(shì)基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。假設(shè)建模狀態(tài)Xn=1,2,3 第n代的一個(gè)體屬于D, H, R狀態(tài)概率 ai(n) 第n代的一個(gè)體屬于狀態(tài)i(=1,2,3)的概率。討論基因類型的演變情況基因比例 d:r=p:q轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨機(jī)繁殖馬氏鏈模型自然界中通常p=q=1/2穩(wěn)態(tài)分布D:H:R=1/4:1/2:1/4基因類型為D和H, 優(yōu)勢(shì)表征綠色，基因類型為R, 劣勢(shì)表征黃色。解釋“豆科植物的莖，綠色:黃色=3:1”(D+H):R=3:1隨機(jī)繁殖近親繁殖在一對(duì)父母的大量后代中, 雄雌隨機(jī)配對(duì)繁殖，討論一系列后代的基因類型的演變過(guò)程。狀態(tài)定義為配對(duì)的基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6配對(duì)基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈模型I0RQ狀態(tài)1(