函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性_第1頁(yè)
函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性_第2頁(yè)
函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性_第3頁(yè)
函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性_第4頁(yè)
函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性_第5頁(yè)
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1、關(guān)于函數(shù)單調(diào)性和曲線凹凸性第一張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月定理1.(函數(shù)單調(diào)性的判別法).(1)若x(a,b)有 f (x) 0. 則y=f (x)在a,b上單調(diào)增加;(2)若x(a,b)有f (x) 0.則y=f (x)在a,b上單調(diào)減少;設(shè)y=f (x)C(a,b), 且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).證: x1, x2 a,b 且x10,則f ( )0.故f (x2) f (x1)0, 即 f (x2) f (x1). (2)若f (x)0, 則f ()0. 故f (x2) f (x1)0, 即 f (x2) f (x1). f (x2 ) f (x1 )= f ()(x2 x1 ) (

2、x1 x2)根據(jù)Lagrange中值定理,得出由x1, x2 在a,b上的任意性知f (x)在a, b上單調(diào)增加.于是f (x)在a,b上單調(diào)減少.第三張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月例1. 討論y=lnx在(0, +)上的單調(diào)性.解:由定理1知 y=lnx在(0,+)內(nèi)單調(diào)增加.oxyy=lnx第四張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月例2. 討論f (x)=x36x2+9x3的單調(diào)性.解: f (x)=3x212x+9以x1=1, x2=3為界將f (x)的定義域(,+)分成三個(gè)部分區(qū)間(, 1), (1, 3), (3, +).當(dāng) x0, 當(dāng)1x3時(shí): f (x)3 時(shí): f

3、(x)0, = 3(x1)(x3)所以f (x)單調(diào)增加;所以f (x)單調(diào)減少;所以f (x)單調(diào)增加.第五張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月10331yx故 f (x) 在 (, 1) (3, +) 內(nèi)單調(diào)增加,在(1, 3)內(nèi)單調(diào)減少.第六張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月例3. 討論f (x)=x3的單調(diào)性.解: 因?yàn)閒 (x)=3x20 (x 0) 由定理1知 f (x)=x3在(, 0)和(0, +)內(nèi)均單調(diào)增加.這里 x=0 時(shí) f (0)=0. 但x0時(shí)有f (x)0時(shí),有f (0) 0 時(shí) x ln(1+ x)y= f ( x) f (x)0思考問(wèn)題第八張,PPT

4、共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月二、 曲線的凹凸性及其判定法oxyy =x2第九張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月oxyx1x2f (x1)f (x2)AB 在曲線 y=f (x)上任取兩點(diǎn) A(x1, y1)和 B(x2, y2),固定 t(0, 1) 得 (x1, x2)內(nèi)一點(diǎn)t0, 1則弦 AB 的參數(shù)方程為:第十張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月oxyx1x2f (x1)f (x2)AB這時(shí),弦上對(duì)應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)為而曲線弧上對(duì)應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)為有第十一張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月x1x2f (x1)f (x2)oxyAB有第十二張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月定義1

5、: 設(shè)f (x)C ( a, b ) ,x1, x2 a, b (x1x2)和 t(0, 1), 若有則稱(chēng)曲線y=f (x)在a, b上是凹的(凸的).()第十三張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月oxyoxy定理2. 設(shè)f (x)C a,b且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).則曲線 y=f (x) 在a, b上為凹的(凸的)充分必要條件是 f (x)在(a, b)內(nèi)單調(diào)增加(減少).第十四張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月定理3. (曲線凹凸的判別法) 設(shè) f (x)C(a, b)且在(a, b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).(1)若x (a,b), 有f (x)0. 曲線y=f (x)在a, b上是凹的.(

6、2)若x (a,b), 有f (x)0. 曲線y=f (x)在a, b上是凸的.第十五張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月例4. 討論曲線y=lnx在(0, +)內(nèi)的凹凸性.解:由定理3知曲線 y=lnx在(0, +)內(nèi)是凸的. oyx1y=lnx第十六張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月例5. 討論曲線 y=x3 的凹凸性.解: y=6x當(dāng) x0時(shí), y0時(shí), y 0. 這里點(diǎn)(0, 0)稱(chēng)曲線 y=x3 的拐點(diǎn).故 y=x3在(, 0內(nèi)是凸弧.故 y=x3 在 0, +) 內(nèi)是凹弧.0yxy=x3第十七張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月 一般地,設(shè)f (x)C ( U ( x

7、0) ), 若曲線 y=f (x)在點(diǎn)(x0, f (x0)處左右兩側(cè)凹凸性相反,則稱(chēng) (x0, f (x0) 為該曲線的拐點(diǎn).第十八張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月定義1中有 y=f (x)凹 f (t x1+(1t)x2) 0, y0 且 xy 時(shí),有其中n1.證:令 f ( t )= tn. ( t 0 )f ( t )=n(n1) t n2 0. ( t 0)故t 0時(shí) f (t)的曲線為凹的.取 x 0, y 0 得第二十張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月3-5 函數(shù)的極值與最大值最小值y y= f ( x )x0有 f (x) f (x0) )定義1. 設(shè)f (x)在

8、U(x0)內(nèi)有定義. 若(極小值).(極小值點(diǎn)).點(diǎn)x0稱(chēng)為極大值點(diǎn)一、函數(shù)的極值及其求法第二十一張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月定理1. (Fermat) 若f (x)在x0可導(dǎo), 且在 x0 取得極值, 則 f (x0)=0.使 f (x) 為零的點(diǎn)稱(chēng)為f (x)的駐點(diǎn).第二十二張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn). 但其逆命題不成立. (2)連續(xù)函數(shù)在其導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處,也有可能取得極值. 0yxy=|x|0yxy=x3例如y=x3在x=0處不取極值.例如y=|x|在x=0處有極小值f (0)=0.第二十三張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月

9、0yxx00yxx0(1)當(dāng) x0,當(dāng) xx0時(shí), f (x) 0, 則f (x)在 x0 處取極大值;(2)當(dāng) xx0 時(shí), f (x)x0時(shí), f (x)0, 則f (x)在x0處取極小值.定理2. (判別條件I ) 設(shè)f (x)C(U(x0), 在可導(dǎo).第二十四張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月證:(1) 在當(dāng) x0. 故 f (x) 單調(diào)增加,有 f (x) x0時(shí),f (x) 0. 故 f (x) 單調(diào)減少,也有 f (x) f ( x0 ).從而有f (x) f ( x0 ).即 f ( x0 )為極大值.同理證(2).第二十五張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月例1.

10、求f (x)=x33x29x+5的極值.解: f (x)=3x2 6x 9 =3(x+1)(x3)令f (x)=0 解得駐點(diǎn) x1= 1, x2=3x= 1: x0. x1時(shí) f (x)0 x=3: x3時(shí) f (x)3時(shí) f (x)0 極大值f (1)=10. 極小值 f (3)= 22.第二十六張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月例2. 求f (x)=的極值解: x 0時(shí), f (x) 0時(shí), f (x) 0故得 極小值f (0)=0 xy0第二十七張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月定理3. (判別條件II) 設(shè)f (x)在U(x0)內(nèi)二階可導(dǎo). 且f (x0)=0. f (x0

11、)0, 則(1) 當(dāng) f ( x0) 0 時(shí), f (x)在 x0 取極小值.第二十八張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月證: (1) 由 f (x0) 0 時(shí), 按定義得根據(jù)極限保號(hào)性,在U( x0 ) 內(nèi)有又由于f (x0 )=0 所以第二十九張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng) x0, xx0時(shí) f (x)0, 同理可證(2).于是在U(x0)內(nèi), 從而由定理2知 f (x) 在 x0 取極大值.第三十張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月例3. 求的極值.解: f (x) 以2 為周期,故考慮區(qū)間0, 2 )令 f (x)=cosxsinx = 0又有得駐點(diǎn)第三十一張,P

12、PT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月由定理3知 由周期性知分別為 f (x) 的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).第三十二張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月二、曲線的拐點(diǎn)若 f (x)C( a, b ), 且在(a, b)內(nèi)可導(dǎo),則 y = f (x)凹(凸) f (x)( )(x0, f (x0)是 y=f (x)拐點(diǎn) x0是 f ( x) 極值點(diǎn).定理4. 若f (x0)存在,且點(diǎn)(x0, f (x0)是曲線 y=f (x)的拐點(diǎn),則 f (x0) = 0第三十三張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月0yx定理5. (拐點(diǎn)的充分條件) 設(shè)f (x)C(U(x0), 且在內(nèi)二階可導(dǎo),若 f ( x

13、)x0的兩側(cè)符號(hào)相反,則(x0, f (x0)是拐點(diǎn).y0 y=x4第三十四張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月例4. 確定曲線y=3x44x3+1的凹凸和拐點(diǎn).解:由 x1=0, 顯然 x 0故曲線在(, 0和上為凸的.xyy=3x44x3+1110第三十五張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月例5. 確定曲線解:在 x=0 處 y 不存在. 但 x 0 x 0: y 0 時(shí)因其唯一. 故也是最小值點(diǎn).于是當(dāng)時(shí),S最小. 故所用材料能最省. 此時(shí)思考問(wèn)題第四十五張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月例7. 某企業(yè)開(kāi)發(fā)出一種新產(chǎn)品. 已知生產(chǎn)銷(xiāo)售 x件產(chǎn)品所需成本費(fèi)用C = 25000+5x(元). 若每件產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)為問(wèn)生產(chǎn)銷(xiāo)售多少件產(chǎn)品,能使企業(yè)的利潤(rùn)最大?這時(shí)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)定為多少?解:目標(biāo)函數(shù):= x P C利潤(rùn) L = 收入成本第四十六張,PPT共五十頁(yè),創(chuàng)作于2022年6月亦即最大值點(diǎn). 故生產(chǎn)銷(xiāo)售 x=2500 件產(chǎn)品可使企業(yè)的利潤(rùn)最大,此時(shí)求解:第四十七張,PP

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