力學(xué)本學(xué)期所有課件1第一節(jié)課課程介紹

1、歡迎新同學(xué)！歡迎學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析！主講教師: 姜鑫 (jiang xin)工作單位：數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院Email : 習(xí)題課時間：每周四 第9-10節(jié)地點：J4-406 工科數(shù)學(xué)分析有趣的，激動人心的 OR 可怕的，令人厭煩的工科數(shù)學(xué)分析課程簡介1. 教材 工科數(shù)學(xué)分析教程、上冊、 科學(xué)社2. 學(xué)時數(shù) 正 課： 周6學(xué)時，共計102學(xué)時 習(xí)題課： 周2學(xué)時，共計34學(xué)時3. 主要內(nèi)容 一元和多元微積分及相關(guān)內(nèi)容4. 為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析？ 北航理科的培養(yǎng)模式。 嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力；獨立思考、分析和解決問題的能力；把握全局的能力。5. 為什么要采用這一教程？ 北航的人才培養(yǎng)觀6. 如何學(xué)習(xí)該課程？ 課內(nèi)、

2、課外7.數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容包含什么？主要內(nèi)容：極限理論；微分學(xué)；積分學(xué)；微分與積分的關(guān)系（微積分又有一元微積分和多元微積分）.學(xué)習(xí)研究微積分的重要基本工具是極限理論（又稱無窮小分析）極限理論包括：實數(shù)理論，數(shù)列極限，函數(shù)極限，數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)等微分：在物理方面，在數(shù)學(xué)方面 積分：Riemann積分8. 參考書目數(shù)學(xué)分析(上下)，第三版、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等教育出版社，2003數(shù)學(xué)分析習(xí)題集數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書數(shù)學(xué)分析解題指南，林源渠、方企勤， 北京大學(xué)出版社數(shù)學(xué)分析網(wǎng)站的網(wǎng)址為： （也可以通過教務(wù)處網(wǎng)站，逐級點擊，首頁精品課專欄北京市精品課）+60%+30%+10%考核方式：注意事項：上課時

3、間不要接聽手機、發(fā)短信、不要吃東西上課不要遲到，遲到15分鐘以上記為曠課累計曠課次數(shù)超過總學(xué)時數(shù)1/3者，不能參加本門課程考試，且成績記為零分課間請及時擦黑板按要求完成選課，按統(tǒng)一安排參加考試?本書常見數(shù)集及表示:N-自然數(shù)集Z-整數(shù)集Q-有理數(shù)集R-實數(shù)集N*-正整數(shù)集1 數(shù)形數(shù)（figured numbers）理論可以上溯到畢達哥拉斯（Pythagoras, 569 B.C.500 B. C.）本人。用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，等等，畢達哥拉斯學(xué)派在世界數(shù)學(xué)史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系。古希臘數(shù)學(xué)家Iamblichus（公元4世紀(jì)

4、）在研究 achus算術(shù)引論一書時發(fā)現(xiàn) = n2 Iamblichus或許正是從正方形數(shù)的構(gòu)造中發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論的。 1 數(shù) 前四個四棱錐數(shù)為 1 1+4 1+4+9 1+4+9=16第n個四棱錐數(shù)為1 數(shù) 2 數(shù)列求和萊因得紙草書（約公元前1650年）萊因得紙草上的等比數(shù)列問題 2 數(shù)列求和 2 數(shù)列求和巴比論：泥版數(shù)學(xué)文獻 (約公元前3000年) 但我們無法判斷古代巴比倫人是否知道一 般公式。 2 數(shù)列求和偉大的阿基米德阿基米德阿基米德原理（尼加拉瓜，1971）阿爾海賽姆（Al-Haitham, 9651039）： 10-11世紀(jì)波斯 數(shù)學(xué)家 帕斯卡（B. Pascal, 1623-1662）

5、 3 曲線、曲面、體積公式阿基米德中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的代表人物魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽開普勒（J. Kepler，15711630） 測量酒桶體積的新科學(xué)（1615） 將球體積看成是無窮多個小棱錐的體積之和，這些棱錐的頂點在球心，底在球面上，于是由棱錐體積公式可得球積公式 開普勒歷史上的函數(shù)概念函數(shù)概念應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)的基石 F. Klein（1849-1925）從伽利略到狄利克雷，數(shù)學(xué)家一直絞盡腦汁去理解函數(shù)的概念，但現(xiàn)在卻由定義域、值域和序偶（第一個數(shù)相同時第二個數(shù)也必須相同）來玩弄把戲。 M. Kline（1958） 4 函數(shù)的概念 20世紀(jì)50和60年代函數(shù)的形式化定義是一個大錯誤，我們可以將函數(shù)

6、說成是法則、機器，但決不能把它說成是序偶的集合！ Thorpe中學(xué)階段應(yīng)該教簡單易懂的函數(shù)概念。 M. A. Malik（1980）歷史上的函數(shù)概念較之函數(shù)的現(xiàn)代定義，職前教師對函數(shù)的理解要狹隘得多、原始得多。既然如此，我們還能期望他們按照現(xiàn)代課本上出現(xiàn)的函數(shù)的現(xiàn)代定義來教嗎？參與者對函數(shù)的不完善的理解是有問題的，這又會導(dǎo)致他們學(xué)生的函數(shù)定義與表象之間的不一致性，使學(xué)生的函數(shù)概念表象與18世紀(jì)的表象相類似 R. Even 歷史上的函數(shù)概念約翰伯努利（1718）：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些常數(shù)以任何方式組成的量。Johann Bernoulli, 1667-1748歷史上的函數(shù)概念歐拉（17

7、48）：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式。Leonhard Euler, 1707 - 1783歷史上的函數(shù)概念歐拉（1755）： 如果某些量依賴于另一些量， 當(dāng)后面這些量變化時，前面 這些變量也隨之變化，則前 面的量稱為后面的量的函數(shù)。Leonhard Euler, 1707 - 1783歷史上的函數(shù)概念孔多塞： 設(shè)有若干量x，y，z， F，對于x，y，z，的每 一個確定的值，F(xiàn) 有一個 或多個確定的值與之對應(yīng)， 則稱F為x，y，z，的一 個函數(shù)。A. N. C. Condorcet, 1743-1794歷史上的函數(shù)概念拉克洛瓦（S. F. Lacroix, 17

8、65-1843）（1797）： 任何一個量，如果它的值依賴于一個或多個其他的量，那么它就稱為這些量的函數(shù)，不管我們知不知道這種依賴關(guān)系是通過什么運算實現(xiàn)的。 歷史上的函數(shù)概念拉格朗日（ 1797）：所謂一個或幾個量的函數(shù)，是指任意一個用于運算的表達式，這些量以任意方式出現(xiàn)于表達式中，表達式中可以有（也可以沒有）其它一些具有給定的不變值的量，而函數(shù)的量可以取所有可能的值。 J. L. Lagrange, 1736-1813歷史上的函數(shù)概念傅立葉（ 1822）：函數(shù)f ( x)代表一系列的值或縱坐標(biāo)，它們中的每一個都是任意的。對于無限多個給定的橫坐標(biāo) x 的值，有同樣多個縱坐標(biāo) f ( x) 的值

9、。所有的值要么為正數(shù)，要么為負(fù)數(shù)，要么是零。無需假設(shè)這些縱坐標(biāo)滿足同一個法則；它們可以任何方式接續(xù)，每一個都好象是單個的量。 J. Fourier, 1768 - 1830歷史上的函數(shù)概念柯西分析教程 （1821）：當(dāng)變量之間這樣聯(lián)系起來，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其它變量的值的時候，人們通常想像這些量是用其中的一個來表達的，這時這個量就被稱為自變量；而用自變量表示的其它量就叫做該變量的函數(shù)。A. L. Cauchy, 1789 - 1857歷史上的函數(shù)概念羅巴切夫斯基（1834）： x 的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個 x 都有確定的值，并且隨著 x 的變化而逐漸變化，函數(shù)值

10、或者由解析式給出，或者由一個條件給出，這個條件提供了一種檢驗所有的數(shù)并選擇其中之一的方法，或者雖然依賴關(guān)系存在但可以是未知的。Lobachevsky, 1792-1856歷史上的函數(shù)概念狄里克雷（1837）設(shè)a、b是兩個確定的值，x 是可取a、b之間一切值的變量。如果對于每一個 x，有惟一有限的 y 值與它對應(yīng)，使得當(dāng) x 從 a 到 b 連續(xù)變化時，也逐漸變化，那么 y 就稱為該區(qū)間上 x 的一個連續(xù)函數(shù)。在整個區(qū)間上，y 無需按照同一種規(guī)律依賴于 x，也無需單單考慮能用數(shù)學(xué)運算來表示的關(guān)系。L. Dirichlet,1805 - 1859歷史上的函數(shù)概念斯托克斯（1847）函數(shù)是這樣一個量

11、，它的值以任意方式依賴于構(gòu)成它的一個或幾個變量的值。因此，函數(shù)不必通過任何代數(shù)符號的組合來表達，甚至在變量的很近的界限之間也是如此。G. G. Stokes, 1819-1903歷史上的函數(shù)概念黎曼（1851）：假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值。若對它的每一個值，都有不定量 w 的惟一的值與之相對應(yīng)，則稱 w 為 z 的函數(shù)。B. Riemann, 1826-1866歷史上的函數(shù)概念布爾 (1854)： 任何包含符號 x 的代數(shù) 式稱為 x 的函數(shù)，并用 一般的簡記符號f ( x)來 表示。G. Boole, 1815-1864歷史上的函數(shù)概念漢克爾（1870）： x 的一個函數(shù)

12、被稱為f(x)，如果對于某區(qū)間內(nèi) x 的每一個值， f(x) 都有的惟一確定的值與之相關(guān)聯(lián)。此外， f(x) 是通過量的解析運算還是通過別的方式確定，根本無關(guān)緊要。 f(x) 的值只須處處惟一確定。H. Hankel, 1839-1873歷史上的函數(shù)概念戴德金 (1887)：函數(shù)就是系統(tǒng)S的一個映射，對于S中每一個確定的元素s，按照法則，都有一個確定的對象與之相關(guān)聯(lián)，這個對象稱為s的象，以(s)將表示；也可以說，(s)是由s通過映射產(chǎn)生的，即s通過映射變換成(s)。R. Dedekind, 1831-1916歷史上的函數(shù)概念坦納里(1904）：考慮不同數(shù)的集合(X)，將這些數(shù)看成是x的取值，于

13、是x就是一個變量。假設(shè)x的每一個值，即集合(X)的每一個元素，對應(yīng)于一個數(shù)，這個數(shù)可以看成是字母y的取值；我們說y是由該集合(X)所確定的x的函數(shù)：如果定義了對應(yīng)關(guān)系，就定義了該集合上的一個函數(shù)。y所取的不同值的集合(Y)是由同一個對應(yīng)關(guān)系確定的：我們說b是(Y)的一個元素，即(X)的一個元素a與數(shù)b對應(yīng)。(X)的每一個元素對應(yīng)于(Y)的一個元素；反之亦然；但在前面的定義中，并沒有排除(X)的幾個不同元素對應(yīng)于(Y)的同一個元素，換言之，(X)和Y)之間的對應(yīng)不一定是完全的。J.Tannery,1848 - 1910歷史上的函數(shù)概念維布倫：若在變量y 的集合與另一個變量 x的集合之間有這樣的關(guān)

14、系成立，即對 x的每一個值，有完全確定的 y值與之對應(yīng)，則稱變量 y 是變量 x 的函數(shù)。 O. Veblen, 1880 - 1960歷史上的函數(shù)概念皮亞諾（1911）：函數(shù)是這樣一種關(guān)系 u，對于任意的x，y 和 z，如果第二個元素相同的兩個序偶 y；x 和 z；x 滿足這個關(guān)系，那么必有 y = x。G. Peano, 1858-1932歷史上的函數(shù)概念豪斯道夫 （1914）：設(shè) P 是序偶 p = (a, b)組成的一個集合，對于每一個 ，稱 b 為 a 的象，在特殊情況下，每個 a 只有惟一的象 b，則被此 a決定且與a相關(guān)的元 b稱為a 的函數(shù)，記為 。F. Hausdorff,

15、1868-1942歷史上的函數(shù)概念古爾薩（1923）：函數(shù)這個詞的現(xiàn)代定義是柯西和黎曼給出的。如果 x 的一個值與 y 的一個值相對應(yīng)，那么我們就說y是x的一個函數(shù)。我們用方程 y = f (x) 來表示。 E. Goursat, 1858 - 19365 曲線的切線 歐幾里得幾何原本圓的切線：與圓相遇、但延長后不與圓相交的直線。第3卷命題16推論：“過圓的直徑的端點作和它成直角的直線與圓相切?！盓uclid（about 325 BC - about 265 BC）阿波羅尼斯圓錐曲線 命題32稱：“從圓錐曲線頂點作直線與相應(yīng)縱坐標(biāo)線平行，則該直線與圓錐曲線相切，且在圓錐曲線與該直線之間不能再插

16、入另外的直線。” Apollonius（about 262 BC - about 190 BC）5 曲線的切線命題3334：圓錐曲線的切線作圖5 曲線的切線阿基米德論螺線Archimedes（287 BC - 212 BC）5 曲線的切線費馬的方法5 曲線的切線笛卡兒的方法Ren Descartes（1596 1650）5 曲線的切線洛必達無窮小分析曲線的切線是曲線的內(nèi)接“無窮邊形”一邊的延長線。G. L Hospital（1661-1704）5 曲線的切線6 數(shù)學(xué)怪佬們的作品令人眼花繚亂的三等分角作圖法 神秘的三等分角法（K.B.S., 1972） 6 數(shù)學(xué)怪佬們的作品一位美國大學(xué)校長的三

17、等分角作圖法（1933）6 數(shù)學(xué)怪佬們的作品案例： 實無窮概念實無窮測試題1、正整數(shù)集1，2，3，4，5，中的元素是否比平方數(shù)集 1，4，9，16，25，中的元素多？ A、是 B、否 C、不知道 解釋你的答案。2、正整數(shù)集1，2，3，4，5，中的元素是否比偶數(shù)集 2，4，6，8，10，中的元素多？ A、是 B、否 C、不知道 解釋你的答案。案例 實無窮概念研究發(fā)現(xiàn)：學(xué)生比較無窮集合所用的策略 類型1 集合A與集合B中的元素個數(shù)均為無窮，所以元素一樣多。 類型2 集合A與集合B的元素都是無窮多，無法比較。 類型3 集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。 類型4 集合A與B之間

18、存在一一對應(yīng)關(guān)系，兩個集合中的元素一樣多。案例 實無窮概念歷史相似性古希臘G. Galilei (1638)：Dialogues concerning two new sciences：兩條不相等的線段AB和CD上的點可以構(gòu)成一一對應(yīng)；正整數(shù)集和正整數(shù)平方所構(gòu)成的集合之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系。伽利略沒能解決部分與整體“相等”的矛盾。他認(rèn)為無窮大量都是一樣的，不能比較大小，即不能將“大于”、“小于”和“等于”這樣的詞用于無窮大量。 案例 實無窮概念19世紀(jì)，高斯（C. F. Gauss, 1777-1855）、柯西（A. L. Cauchy, 1789-1857）、魏爾斯特拉斯（K. Wiere

19、strass, 1815 -1897）等都無法接受無窮集合，因為它們和伽利略一樣，無法解決“部分等于整體”這個矛盾。波爾察諾（B. Bolzano,1781-1848）Paradoxes of the Infinite：包含關(guān)系準(zhǔn)則“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素?！卑咐?實無窮概念康托爾（G. Cantor, 1845-1918）創(chuàng)立集合論，將實無窮作為一個概念引入數(shù)學(xué)。他定義了“勢”這個概念（或稱“基數(shù)”），并提出比較兩個無窮集合的一一對應(yīng)準(zhǔn)則：“兩個集合A和B具有相同的勢（基數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)在A和B之間存在一一對應(yīng)?！?微積分介紹 微積分（Calc

20、ulus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，它是數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)學(xué)科。它在天文學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)都有著十分廣泛的應(yīng)用。微積分學(xué)內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學(xué)，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。 萊布尼茨(Leibniz,1646-1716) 牛 頓(Newton,1642-1727) 參考書目1.王數(shù)禾.數(shù)學(xué)思想史.北京:國防工業(yè)出版社,20032.莫里斯.克萊因

21、著,朱學(xué)賢等譯.古今數(shù)學(xué)思想(第二 冊).上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,20023.龔升.簡明微積分.4.Patrick M.Fitzpatrick.高等微積分(英文版). 北京:機械工業(yè)出版社,20035.劉玉璉等.數(shù)學(xué)分析(上).北京:高等教育出版社,1994 6.周明強.數(shù)學(xué)分析(第一冊). 上海:上?？茖W(xué)技術(shù) 出版社,20027.北大、清華、科技大等編寫的高等數(shù)學(xué)教材 書店介紹1.北航出版社書店(理工):院內(nèi)綜合樓2.高等教育出版社書店(理工):成府路口(331,375路) (北京科技大學(xué)北)3.九章書店(數(shù)學(xué)):海淀圖書城(47路)4.中關(guān)村圖書大廈(綜合):海淀橋(47路)5.西單圖書

22、大廈(綜合):西單文化廣場旁(地鐵) 第一節(jié) 函 數(shù)一. 實數(shù)與區(qū)間二. 函數(shù)概念三. 函數(shù)的特性四. 反函數(shù)五. 小 結(jié)第一章 函數(shù)與極限一、實數(shù)與區(qū)間1.集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集(元素個數(shù)有限)無限集(元素個數(shù)無限)子 集常見數(shù)集:N-自然數(shù)集 Z-整數(shù)集Q-有理數(shù)集 R-實數(shù)集關(guān)系例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.相等:空集:2.區(qū)間是指介于某兩個不等實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為有限區(qū)間稱為無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.3.鄰域4.常量與變量 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母 a, b, c 等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母 x, y, t 等表示變量.5.絕對值運算性質(zhì):絕對值