第十二章反常積分與含參變量的積分-課件

1、第十二章 反常積分與含參變量的積分12.1 無窮積分12.2 瑕積分12.3 含參變量的積分第一節(jié) 無窮積分&無窮積分收斂與發(fā)散的概念&無窮積分與級數(shù)&無窮積分的性質&無窮積分的斂散性判別法 一、無窮限的廣義積分類似定義注：若 f (x) 的原函數(shù)為 F (x), 無窮積分的牛頓萊布尼茲公式寫作證由函數(shù)極限的柯西準則 ，得定理 11.1（Cauchy準則） 二、無窮積分的性質性質1 性質2 若f在任何有限區(qū)間a,u上可積， a1時，由比較判別法請同學記憶本題結果。由狄利克雷（Dirichlet)判別法，例3 證明下列無窮積分都是條件收斂的： 解由例1，得條件收斂。由（1），得條件收斂。 作 業(yè)

2、P275. 3 4 （2、4、6） 5 （2、3）第二節(jié) 瑕積分&瑕積分收斂與發(fā)散的概念&瑕積分斂散性判別法 一、無界函數(shù)的廣義積分-瑕積分定義中c為瑕點，以上積分稱為瑕積分.證注意 廣義積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用同一種表達方式，但其含義卻不同，遇到有限區(qū)間上的積分時，要仔細檢查是否有瑕點。 廣義積分中的N-L公式，換元積分公式、分部積分公式仍然成立，不過代入上、下限時代入的是極限值。如 無窮限積分再如 瑕積分瑕積分和無窮積分之間的關系式-可以相互轉化二、 瑕積分的性質與收斂判別法一 瑕積分的性質假設為函數(shù)的瑕點.瑕積的柯西收斂準則:定理11.1收斂即定理11.5收斂性質1

3、若和都收斂,為常數(shù),則也收斂,且性質1若和都收斂,為常數(shù),則也收斂,且性質2若在任何有限區(qū)間上可積,則與同時收斂或同時發(fā)散,且有性質2若為的瑕點,則與同時收斂或同時發(fā)散,且有性質3若在任何有限區(qū)間上可積,且有收斂,則亦必收斂,并有性質3若在任何有限區(qū)間上可積,且有收斂,則亦必收斂,并有絕對收斂的瑕積分,它自身也一定收斂.但是它的逆命題一般不成立.稱收斂而不絕對收斂者為條件收斂.二 比較判別法定理112(比較法則) 設定義在上的兩個函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積,且滿足則當收斂時收斂. (或者,當發(fā)散時,必發(fā)散).定理116(比較法則) 設同為兩個函數(shù)和的瑕點,且在任何區(qū)間上可積,且滿足則當收斂時

4、收斂. (或者,當發(fā)散時,必發(fā)散).推論1設定義于且在任何有限區(qū)間上可積，則有:(i)當且時收斂;(ii)當且時發(fā)散.推論1設定義于且在任何有限區(qū)間上可積，則有:(i)當且時收斂;(ii)當且時發(fā)散.比較法則的極限形式推論2若和都在任何上可積,且則有:(i)當時,與同斂態(tài);(ii)當時，由收斂可推知也收斂;(iii)當時，由發(fā)散可推知也發(fā)散.推論2若且則有:(i)當時,與同斂態(tài);(ii)當時，由收斂可推知也收斂;(iii)當時，由發(fā)散可推知也發(fā)散.柯西判別法選用作為比較對象推論3設定義于且在任何有限區(qū)間上可積,且則有:(i)當時,收斂;(ii)當時,發(fā)散.推論3設定義于且在任何有限區(qū)間上可積,

5、且則有:(i)當時,收斂;(ii)當時,發(fā)散.例1討論下列瑕積分的收斂性:2)2)瑕點為又故 發(fā)散.三 狄利克雷判別法與阿貝爾判別法 判別一般瑕積分收斂時, 也有相應的狄利克雷判別狄利克雷判別法 阿貝爾（Abel）判別法 若 在上有界，則收斂若以a為瑕點的瑕積分收斂， 收斂只敘述如下由于證明與無窮積分的類似，法與阿貝爾判別法. 故在此當時,單調趨于, 在 上單調有界， 則 首頁含參量積分：稱為格馬 (Gamma) 函數(shù)（寫作函數(shù)）.它們在應用中經常出現(xiàn)，統(tǒng)稱為歐拉積分，稱為貝塔 (Beta) 函數(shù)（寫作B函數(shù)）.下面分別討論這兩個函數(shù)的收斂域四 函數(shù)與函數(shù)首頁1、函數(shù)1. 積分區(qū)間為無窮;特點

6、:函數(shù)2. 當 s - 1 0 時，x = 0 為瑕點;寫函數(shù)為如下兩個積分之和：首頁當 s 1 時，為正常積分，當 0 s 0 時收斂.即函數(shù)的定義域為 s 0 對任何實數(shù) s ，都是收斂的，特別當 s 0 時收斂.2、B函數(shù)首頁當 p 1 時，I (p, q) 為正常積分，當 0 p 1時收斂.當 q 1 時，J (p, q) 為正常積分，當 0 q 0 , q 0 時, B(p, q) 收斂.即B(p, q)函數(shù)的定義域為 p 0 , q 0第三節(jié) 含參量積分&含參量有限積分&含參量的無限積分1 含參量正常積分 對多元函數(shù)其中的一個自變量進行積分形成的函數(shù)稱為含參量積分, 它可用來構造新

7、的非初等函數(shù). 含參量積分包含正常積分和非正常積分兩種形式. 一、含參量正常積分的定義 返回五、例題 四、含參量正常積分的可積性 三、含參量正常積分的可微性 二、含參量正常積分的連續(xù)性 一、含參量正常積分的定義設是定義在矩形區(qū)域上的 定義在上以 y 為自變量的一元函數(shù). 倘若這時 在上可積, 則其積分值 是定義在 上的函數(shù).一般地, 設 為定義在區(qū)域二元函數(shù).當 x取上的定值時,函數(shù) 是上的二元函數(shù), 其中c (x), d (x)為定義在上的連續(xù)函數(shù)(圖19-1), 若對于上每一固定的 x 值, 作為 y 的函 數(shù)在閉區(qū)間 上可積, 則其積分值 是定義在 上的函數(shù).用積分形式 (1) 和 (2

8、) 所定義的這函數(shù) 與通稱為定義在 上的含參量 x 的(正常)積分, 或簡稱為含參量積分. 二、含參量正常積分的連續(xù)性定理19.1 () 若二元函數(shù)在矩 形區(qū)域 上連續(xù), 則函數(shù)在 a , b上連續(xù).證 設 對充分小的(若 x 為區(qū)間的端點, 則僅考慮 ), 于是 由于 在有界閉區(qū)域 R上連續(xù), 從而一致連續(xù), 即對任意總存在對R內任意兩點 只要就有 所以由(3), (4)可得, 即 I (x) 在 上連續(xù).同理可證: 若在矩形區(qū)域 R上連續(xù),則含參 量 的積分 在c ,d 上連續(xù).注1 對于定理19.1的結論也可以寫成如下的形式: 若在矩形區(qū)域 R 上連續(xù),則對任何 都有 這個結論表明,定義

9、在矩形區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),其極限運算與積分運算的順序是可以交換的.為任意區(qū)間. 注2 由于連續(xù)性是局部性質, 定理19.1中條件定理19.2 () 若二元函數(shù)在區(qū) 域上連續(xù), 其 中c(x), d(x)為 上的連續(xù)函數(shù), 則函數(shù) 在上連續(xù).證 對積分(6)用換元積分法, 令 當 y 在c(x)與d(x)之間取值時, t 在 0, 1 上取值, 且 所以從(6)式可得 由于被積函數(shù) 在矩形區(qū)域 上連續(xù), 由定理19.1得積分 (6)所確定的函數(shù) F(x) 在a, b連續(xù). 三、含參量正常積分的可微性定理19.3 () 若函數(shù) 與其偏導 數(shù)都在矩形區(qū)域 上連續(xù), 則函數(shù) 在上可微, 且證 對于 內任

10、意一點x, 設(若 x為 區(qū)間的端點, 則討論單側函數(shù)), 則 由微分學的拉格朗日中值定理及 在有界閉 域 R上連續(xù)(從而一致連續(xù)),對 只要 就有這就證明了對一切 有上連續(xù), c(x), d(x)為定義在上 定理19.4 (的可微性) 設在 其值含于 p, q內的可微函數(shù), 則函數(shù)在上可微, 且證 把 F(x) 看作復合函數(shù): 由復合函數(shù)求導法則及變動上限積分的性質, 有 注 由于可微性也是局部性質, 定理19.3 中條件 f 與 其中 為任意區(qū)間. 四、含參量正常積分的可積性由定理19.1與定理19.2推得:定理19.5 () 若在矩形區(qū)域 上連續(xù),則 I (x)與 J (x)分別在和上可

11、積. 這就是說: 在連續(xù)性假設下, 同時存在兩個求積順序不同的積分: 與 為書寫簡便起見, 今后將上述兩個積分寫作 與 前者表示先對 y 求積然后對 x 求積, 后者則表示求積順序相反. 它們統(tǒng)稱為累次積分.在連續(xù)性假設下,累次積分與求積順序無關.定理19.6 若在矩形區(qū)域上 連續(xù), 則 證 記 其中對于 則有因為 與都在R上連續(xù), 由 定理19.3, 故得 因此對一切 有 當 時, 即得取 就得到所要證明的(8)式.例5 求解 因為又由于函數(shù)上滿足定理19.6 的 條件, 所以交換積分順序得到首頁例7解: 復習思考題1. 參照定理19.1的證明, 定理19.1中條件是否可減 弱為: (1)則

12、 (2)驗證你的結論.2.若 在上一致連續(xù) ,能否推得在上一致連續(xù)?2 含參量反常積分設 是定義在無界區(qū)域 上, 若對每一個固定的 , 反常積分 都收斂,則它的值是 在區(qū)間 上取值的函數(shù),表為 稱為定義在 上的含參量 的無窮限反常積分, 或 簡稱為含參量反常積分.由反常積分收斂的定義其中 N 與 x 有關. 如果存在一個與無關的使得該不等式成立，就稱反常積分在區(qū)間 a, b 上一致收斂使得對于含參量反常積分 和函數(shù) 則稱含參量反常積分 在 上一致收斂于 .注1 由定義, 在上一致收斂的 充要條件是 注2 由定義, 在上不一致收斂 的充要條件是 例1 討論含參量反常積分 的一致收斂性. 解 若則

13、 于是因此, 含參量積分在上非一致收斂.而因此, 含參量積分在上一致收斂. 一致收斂的柯西準則:含參量反常積分 在 上一致收斂的充要 一致收斂的充要條件;含參量反常積分 在 上一致收斂的充要條件是:對任一趨于 的遞增數(shù)列 (其中 ),函數(shù)項級數(shù) 在 一致收斂.魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若一致收斂。證明因為 收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有且 收斂，則 關于從而所以 關于一致收斂。證因為，有并且反常積分收斂所以 狄利克雷判別法;證 于是, 由積分第二中值定理，由一致收斂的柯西準則,在上一致收斂. 阿貝爾判別法;證因為，反常積分收斂，從而對于參量 y 它在 0, d 上

14、一致收斂，函數(shù)對每個 y ，關于變量 x 單調減少，且在 0, d 上一致有界：故由阿貝爾判別法，知在 0, d 上一致收斂1. 連續(xù)性定理設 在 上連續(xù)， 關于 在 上一致收斂，則一元函數(shù) 在 上連續(xù)。證明因為 在 內一致收斂，所以因此，當 時，又 在 上連續(xù)，所以作為 的函數(shù)在 連續(xù)，于是從而，當 時，有定理證畢。2. 積分順序交換定理設 在 上連續(xù)， 關于在 上一致收斂，則 在可積，并且3. 積分號下求導的定理設 在 上連續(xù)， 收斂， 關于 在 上一致收斂，則在 可導，且證明因為 在 連續(xù)，由連續(xù)性定理在 連續(xù)， 沿區(qū)間 積分 ，由積分順序交換定理，得到在上式兩端對 求導，得定理證畢。

15、連續(xù)性即: 可微性可微性定理表明在定理條件下,求導運算和積分運算可以交換.即 可積性表明在一致收斂的條件下,積分可交換順序(2), 含參量反常積分一致收斂的定義;(1), 含參量反常積分的定義;(3), 含參量反常積分一致收斂的判別; 一致收斂的柯西準則: 一致收斂的充要條件; 魏爾斯特拉斯M判別法; 阿貝耳判別法; 狄利克雷判別法;(4), 含參量反常積分的性質;( i), 連續(xù)性;(ii), 可微性;(iii), 可積性;3 歐 拉 積 分 在本節(jié)中我們將討論由含參量反常積分 定義的兩個很重要的非初等函數(shù) 一、函數(shù)函數(shù)二、返回函數(shù)和 函數(shù). 三、函數(shù)與函數(shù)之間的關系 一 函 數(shù) 含參量積分

16、：稱為格馬函數(shù). 函數(shù)可以寫成如下兩個積分之和： 其中時是正常積分,當時是收斂 的無界函數(shù)反常積分(可用柯西判別法推得); 時是收斂的無窮限反常積分(也可用柯西 判別法推得). 所以含參量積分(1)在時收斂, 即函數(shù)的定義域為 . 1. 在定義域 內連續(xù)且有任意階導數(shù) 在任何閉區(qū)間 上, 對于函數(shù) 當 時有 由于 收 斂, 從而 在 上也一致收斂,對于 當 上連續(xù).用上述相同的方法考察積分它在任何區(qū)間 上一致收斂. 于是由定理 19.10得到 在 上可導, 由a, b的任意性, 時, 有由于 在收斂,從而 在上也一致收斂, 于是 同理可證 2. 遞推公式 對下述積分應用分部積分法, 有 在 上可導, 且讓就得到 的遞推公式:設應用遞推公式(3) n次 可以得到 公式(3)還指出, 如果已知 在上的值, 那么在其他范圍內的函數(shù)值可由它計算出來. 若s為正整數(shù)n+1,則(4)式可寫成 二、B 函 數(shù) 含參量積分： 稱為貝塔 (Beta) 函數(shù) (或寫作 B 函數(shù)). 注 與前討論的單參變量的含參數(shù)積分不同,B 函數(shù) 是含兩元的含參量積分，但討論的步驟與方法是完 全類似的. B 函數(shù)(2)當 時, 是以 為瑕點的無界函數(shù) 反常積分; 當 時, 是以 為瑕點的無界函數(shù) 反常積分. 應用柯西判別法可證得當 時 這兩個無界函數(shù)反常積分都收斂. 所以函數(shù) 的定義域為 1. 在定義域 內連續(xù)