信號檢測及估計.pptx

1、信號檢測與估計(估值)課程介紹課程性質(zhì): 選修課 學(xué)時數(shù): 34學(xué)時教材及參考書: 1)趙樹杰, 趙建勛. 信號檢測與估計理論, 清華大學(xué)出版社, 2005 (注: 第2版,電子工業(yè)出版社, 2013；趙建勛.信號檢測與估計理論第1版學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題解答, 清華出版社, 2007)2)Thomas A. Schonhoff, Arthur A. Giordano著, 關(guān)欣, 等譯.信號檢測與估計理論與應(yīng)用,電子工業(yè)出版社, 20123)Steven M. Kay著, 羅鵬飛,等 譯. 統(tǒng)計信號處理基礎(chǔ)估計與檢測理論,電子工業(yè)出版社, 2006先修課程：概率與隨機過程, 矩陣理論,現(xiàn)代信號處理。研

2、究方向:信號檢測與估計為信息與通信工程一級學(xué)科下的三級學(xué)科,屬于交叉學(xué)科領(lǐng)域，也是招收博士生的入學(xué)考試科目之一(信息與通信工程,控制理論與工程,檢測技術(shù)與自動化裝置,兵器科學(xué)與技術(shù)等學(xué)科)?？己朔绞?(閉卷)筆試或提交課程論文。任課教師:張端金, 教授, 南京理工大學(xué)控制理論與控制工程博士, 華南理工大學(xué)信息與通信工程博士后, 德國杜伊斯堡-埃森(Duisburg-Essen)大學(xué)訪問學(xué)者。Tel:(鄭大新校區(qū)工科園D408)Email: 第1章 信號檢測與估計概論應(yīng)用場合：雷達、通信、圖像處理、生物醫(yī)學(xué)、控制、地震學(xué)、航空航天等領(lǐng)域。如何保證“可靠的通信，精密的

3、測量與正確的控制”(涉及檢測與估計理論)。檢測與估計理論：檢測理論和估計理論。估計理論又分為參量估計和波形估計(濾波理論)。檢測：根據(jù)有限觀測，最佳區(qū)分一個物理系統(tǒng)不同狀態(tài)的理論。主要研究在噪聲或干擾環(huán)境下，所關(guān)心的信號是屬于哪種狀態(tài)的最佳判決問題。參量估計：根據(jù)有限觀測，最佳找出一個物理系統(tǒng)不同參數(shù)的理論。研究在噪聲或干擾環(huán)境下，通過對信號的觀測，如何構(gòu)成待估計參數(shù)的最佳估計問題。 濾波(Filtering): 研究在噪聲或干擾背景下，信號波形的最佳恢復(fù)問題。對于離散系統(tǒng)，也稱狀態(tài)估計。Filter 濾波器注意：在定義中出現(xiàn)的“有限觀測”，“最佳”的含義。 噪聲(Noise): 是指與有用信

4、號無關(guān)的一些破壞性因素。如工業(yè)(industrial)噪聲，脈沖(pulse)噪聲，熱(thermal)噪聲。 干擾(Interference):是指與有用信號有關(guān)的一些破壞性因素。如符號間(inter-symbol)干擾，共信道(co-channel)干擾，各種人為的故意干擾(軍事方面)。 信號(Signal):是指荷載信息的一個時間波形或函數(shù)。信號檢測與估計的分類方法：1)按照對噪聲與干擾的統(tǒng)計特性的先驗了解，進行分類：A 參量檢測(估計)或最佳檢測(估計)。B 非參量檢測(估計)。2)對于信號的類型，進行分類：確知信號的的檢測；具有未知參量信號的檢測；對隨機信號的檢測檢測。3)對于觀測值

5、的處理方式，進行分類：固定觀測樣本值；非固定觀測樣本值(如序列檢測,估計)。舉例：雷達系統(tǒng)(機場監(jiān)視雷達，如何確定飛機的位置)Skolnik M I, Introduction to Radar Systems, McGraw-Hill, New York, 1980工作原理: 為了確定是否有飛機正在靠近以及距離R有多遠。發(fā)射一個電磁脈沖，如果這個脈沖被大的運動目標反射，就顯示有飛機出現(xiàn)。接收波形由反射脈沖、周圍輻射及接收機內(nèi)的電子噪聲組成。圖1.2 雷達系統(tǒng)工作示意圖檢測：有無飛機；估計：判斷飛機的方位距離速度。C為光速第2章 信號檢測與估計理論的基礎(chǔ)知識2.2隨機變量、隨機矢量及其統(tǒng)計描述

6、2.2.1隨機變量的統(tǒng)計特性分布函數(shù)(DF)概率密度函數(shù)(PDF)2.1引言復(fù)習(xí)隨機過程的知識，包括均值、方差、協(xié)方差、相關(guān)函數(shù)、譜密度、遍歷性、高斯分布、白噪聲、有色噪聲。概率密度函數(shù)的性質(zhì):注意：大寫P表示概率，小寫p表示概率密度函數(shù)。隨機變量的均值:隨機變量的矩(原點矩、中心矩、一階原點矩、二階中心矩)切比雪夫(Chebyshev)不等式的意義2.2.2常用的隨機變量均勻分布高斯分布三角對稱分布指數(shù)分布瑞利分布萊斯分布這里只介紹高斯分布的隨機變量:圖2.2高斯分布隨機變量的PDF曲線 圖2.3標準高斯分布隨機變量的PDF曲線高斯分布的隨機變量 ， 均值為 ， 方差為 ，概率密度函數(shù) p(

7、x)可表示為對上述隨機變量進行歸一化處理，令則有記為標準高斯分布的一維累積分布函數(shù)為互補累積分布函數(shù)2.2.3隨機矢量的統(tǒng)計特性1. 隨機矢量的概念N維離散隨機信號x1,x2xn可構(gòu)成隨機信號矢量，表示為：2. 隨機矢量的概率密度函數(shù)N維離散隨機信號矢量的N維聯(lián)合概率密度函數(shù)3. 均值矢量和協(xié)方差矩陣均值矢量協(xié)方差矩陣4. 互不相關(guān)性和相互統(tǒng)計獨立性定義：不相關(guān) 當離散隨機信號矢量的分量xk與xj的協(xié)方差滿足時，稱xj與xk之間是互不相關(guān)的。獨立 當離散隨機信號矢量的概率密度函數(shù)滿足時，稱xj與xk之間是相互獨立的。相互獨立互不相關(guān)相互獨立互不相關(guān)高斯5. 聯(lián)合高斯隨機矢量如果隨機矢量的每一個

8、分量都服從高斯分布，則稱 為聯(lián)合高斯隨機矢量?；蛘哒f高斯隨機變量的線性組合仍是高斯隨機變量。其聯(lián)合概率密度函數(shù)為：簡記為主要性質(zhì)：1)N維聯(lián)合高斯隨機矢量的每一個分量服從一維高斯分布。2)N維聯(lián)合高斯隨機矢量的線性變換不變性。3)N維聯(lián)合高斯隨機矢量的各分量之間的互不相關(guān)性等價于相互統(tǒng)計獨立性。2.2.4隨機變量的函數(shù)設(shè)隨機變量 的概率密度函數(shù)為p(x), 其函數(shù)為如果反函數(shù)存在，且連續(xù)可導(dǎo)，則隨機變量 的概率密度函數(shù)p(y)為這就是一維雅可比變換，其中隨機變量函數(shù)的均值為2.2.5隨機矢量的函數(shù)N維隨機矢量X的函數(shù)為上述變換稱為N維雅可比變換。2.3隨機過程及其統(tǒng)計描述2.3.1隨機過程的定

9、義設(shè) 是一概率空間，T是一個實參數(shù)集，定義在T和 上的二元函數(shù) ，稱為隨機過程。2.3.2隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的一維累積分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)分別為2.3.3隨機過程的統(tǒng)計平均量2. 均方值1. 均值3. 方差注：方差的平方根 稱為標準偏差。4. 自相關(guān)函數(shù)5. 自協(xié)方差函數(shù)相同時刻的自相關(guān)函數(shù)等于隨機過程的均方值。相同時刻的自協(xié)方差函數(shù)等于隨機過程的方差。7. 互協(xié)方差函數(shù)6. 互相關(guān)函數(shù)2.3.4隨機過程的平穩(wěn)性如果隨機過程x(t)，經(jīng)過時間平移 后，統(tǒng)計特性保持不變，則該過程具有嚴格的平穩(wěn)性。1. 隨機過程的平穩(wěn)性分類分為嚴格平穩(wěn)、廣義平穩(wěn)(寬平穩(wěn))、非平穩(wěn)的隨機過程。嚴格平穩(wěn)

10、：對于所有的階，隨機過程都是平穩(wěn)的廣義平穩(wěn)：二階平穩(wěn)的隨機過程，同時滿足(2.3.24)和(2.3.25)的條件。2. 嚴格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)隨機過程的關(guān)系3. 平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計平均量嚴格平穩(wěn)廣義平穩(wěn)嚴格平穩(wěn)廣義平穩(wěn)高斯2.3.5隨機過程的遍歷性主要考慮統(tǒng)計均值與時間均值如果平穩(wěn)隨機過程x(t)的統(tǒng)計均值與時間均值相等，則稱x(t)的均值具有遍歷性。如果平穩(wěn)隨機過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)與時間自相關(guān)函數(shù)相等，如果平穩(wěn)隨機過程x(t)的均值、自相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性，則稱x(t)為遍歷性過程。只有平穩(wěn)隨機過程才可能具有遍歷性。遍歷過程一定是平穩(wěn)的，但并非所有平穩(wěn)過程都具有遍歷性。則稱x(t)的自相關(guān)函

11、數(shù)具有遍歷性。舉例：考慮隨機過程， x(t)=y,試證明x(t)是否具有遍歷性。解：易知x(t)為平穩(wěn)隨機過程，分別計算統(tǒng)計均值和時間均值如下：兩者不相等，因此x(t)不具有遍歷性。2.3.6隨機過程的正交性、不相關(guān)性和統(tǒng)計獨立性1. 定義正交性(自相關(guān)函數(shù)r為0)、互不相關(guān)性(自協(xié)方差函數(shù)c為0)、獨立性(概率密度函數(shù)p具有分解特性)。正交性互不相關(guān)性統(tǒng)計獨立性對于兩個隨機過程，也有類似的特性。2. 正交性、獨立性和不相關(guān)性之間的關(guān)系1)如果均值為0，則相互正交與互不相關(guān)等價。2)相互獨立性可推出互不相關(guān)性；反之不一定成立，高斯分布除外。2.3.7平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度1. 功率譜密度的概

12、念維納-辛欽(Wiener-Khintchine)定理:功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)為一傅里葉變換對。注意：功率譜密度和譜函數(shù)；概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)。2. 功率譜密度的主要性質(zhì)3. 互功率譜密度2.4 復(fù)隨機過程及其統(tǒng)計描述(自學(xué)或選講)2.5 線性系統(tǒng)對隨機過程的響應(yīng)考慮LTI系統(tǒng)，輸入為x(t)，輸出為y(t)，沖激響應(yīng)為h(t)。則有y(t)=h(t)*x(t)。2.5.1響應(yīng)的平穩(wěn)性響應(yīng)的平穩(wěn)性：如果輸入是平穩(wěn)的隨機過程，則LTI系統(tǒng)的輸出也是平穩(wěn)隨機過程。2.5.2響應(yīng)的統(tǒng)計平均量其他統(tǒng)計平均量2.6高斯噪聲、白噪聲和有色噪聲2.6.1高斯噪聲模型高斯噪聲的N維隨機矢量的聯(lián)合概率密度

13、函數(shù)為高斯噪聲的一維概率密度函數(shù)為中心極限定理說明：N個相互獨立的隨機變量之和，趨近于高斯分布(當N很大的時候)。一般情況下，白噪聲也可定義為均值為0，自相關(guān)函數(shù)為 函數(shù)的噪聲過程。2.6.2白噪聲和高斯白噪聲白噪聲(white noise)是指功率譜密度均勻分布的一種噪聲。也就是說其功率譜密度等于常數(shù)。而白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為 函數(shù)。注意：連續(xù)白噪聲過程，離散白噪聲序列的區(qū)別。理想白噪聲不存在，常采用帶限白噪聲。高斯白噪聲：PDF服從高斯分布,P(w)為均勻分布。2.6.3有色噪聲(color noise)不是白噪聲的任何噪聲稱為有色噪聲，其功率譜密度P(w)的分布是不均勻的。2.7信號和隨機

14、參量信號及其統(tǒng)計描述2.7.1信號的分類連續(xù)信號，離散信號，采樣信號，數(shù)字信號確知信號(確定性信號)和參量信號。參量信號又分為未知參量信號和隨機參量信號。2.7.2隨機參量信號的統(tǒng)計描述隨機相位信號可認為服從均勻分布其他隨機相位信號的通用模型描述如上式，其中v為控制參數(shù)，與信道的物理特性有關(guān)。其他隨機相位信號分布的通用模型曲線隨機振幅信號服從瑞利分布：其他附：第2章 習(xí)題舉例2-7，2-13，2-15，2-20，2-21，2-24，2-29第3章 信號的統(tǒng)計檢測理論3.1 引言 檢測理論:在受噪聲或干擾的隨機信號中，如何最佳判出信號所處的狀態(tài)。 統(tǒng)計判決理論，假設(shè)檢驗理論是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 不同的檢

15、測準則,不同的應(yīng)用領(lǐng)域。 如Neyman-Pearson準則(雷達、聲納)， Bayes準則(通信、模式識別)。3.2 統(tǒng)計檢測理論的基本概念3.2.1 統(tǒng)計檢測的基本模型1. 二元信號檢測的模型圖3.1二元信號統(tǒng)計檢測理論模型定義：一個被觀測的物理系統(tǒng)可能處于M個狀態(tài)之一，稱“系統(tǒng)處于狀態(tài)j (j=1,2, M)為假設(shè)Hj。也可把信源的輸出稱為假設(shè)。對于二元檢測，H0為零假設(shè)，H1為備擇假設(shè)。1)信源二元信號（某時刻輸出的兩種信號之一，如0或1，有或沒有）2)概率轉(zhuǎn)移機構(gòu)在一個假設(shè)為真的基礎(chǔ)上，把噪聲或干擾中的假設(shè)Hj (j=0,1)為真的信號以一定的概率關(guān)系映射到觀測空間。條件概率密度(轉(zhuǎn)

16、移概率)一般只取決于干擾、噪聲。 表示Hj為真時觀測數(shù)據(jù)為X的條件概率密度，也稱為似然函數(shù)。下面分四個部分介紹。舉例說明二元信號的檢測：觀測信號的表示方法噪聲服從高斯分布觀測信號模型為 H0: x=-A+n H1: x=A+n若進行有限的N次觀測，將得到N維觀測矢量和N維聯(lián)合概率密度函數(shù)。圖3.2二元信號檢測統(tǒng)計模型3)觀測空間R在噪聲或干擾下，由概率轉(zhuǎn)移機構(gòu)生成的全部可能觀測量的集合。4)判決規(guī)則統(tǒng)計判決(假設(shè)檢驗)：根據(jù)觀測量在觀測空間中的位置，按照一定的檢驗規(guī)則，作出信號狀態(tài)屬于哪個假設(shè)的判決問題。整個觀測空間R分為兩個子空間。子空間R0和R1稱為判定域(critical region)

17、。圖3.3二元信號檢測的判決域圖3.4 M元信號檢測的判決域2. M元信號檢測模型M種狀態(tài)，M個假設(shè)Hj (j=0,1,M-1)。3.2.2 統(tǒng)計檢測的結(jié)果和判決概率1 二元信號的情況 表示在假設(shè)Hj為真的條件下，判斷假設(shè)Hi成立的結(jié)果。判斷概率 表示在假設(shè)Hj為真的條件下，判決假設(shè)Hi成立的概率。對于二元信號檢測，共有4種判決概率。其中兩個為正確判決的概率，兩個為錯誤判決的概率。希望正確的判決概率大，錯誤的判決概率要小。2 M元信號的情況在假設(shè)Hj為真，判決Hi成立的結(jié)果為其中M種正確判決，M(M-1)為錯誤的判決結(jié)果。圖3.5二元信號檢測的判決域劃分與判決概率觀察：x0減小，H1的正確判決

18、概率增大，H0的正確判決概率減小。反之x0增大，結(jié)果相反。引出最佳劃分和折衷處理的問題。二元信號狀態(tài)統(tǒng)計監(jiān)測的歸納：M元信號狀態(tài)統(tǒng)計監(jiān)測的歸納：3.3貝葉斯準則3.3.1平均代價的概念和貝葉斯準則判決概率先驗概率 ，引入代價因子cij的概念：表示假設(shè)Hj為真時判決Hi成立所付出的代價。Bayes準則：在假設(shè)Hj的先驗概率 已知，各種判決代價因子cij給定的情況下，使平均代價C最小的準則。3.3.2平均代價C的表示式對于假設(shè)Hj為真，判決Hi成立所付出的條件平均代價為上式展開為考慮Hj的先驗概率，則判決付出的總平均代價為(3.3.1)(3.3.2)下面推導(dǎo)平均代價的表達式(主要利用了概率和概率密

19、度的關(guān)系，以及整個觀測空間的概率為1，即可得出)。3.3.3判決表示式分析(3.3.7)： 前2項為固定平均代價的分量，看最后一項的結(jié)果，由于cijcjj, 概率密度非負，為了求C的最小化，判決H0成立的判決域R0由下式確定：不滿足上式的x值劃歸R1域，判定假設(shè)H1成立。(3.3.9)式的左邊定義為似然比函數(shù)，右邊稱為檢驗門限。兩種情況的判決結(jié)果合并在一起，即為(3.3.9)式。圖3.6二元信號檢測原理框圖 通過對前面的似然比檢驗或?qū)?shù)似然比檢驗進行簡化，得到下面的表達式。l(x)為檢驗統(tǒng)計量。3.3.4檢測性能分析平均代價C是貝葉斯準則的性能指標。先計算概率密度函數(shù)，再算判決概率，結(jié)合先驗概

20、率和代價因子，最后計算出平均代價C,從而對檢測性能進行評價，找出改進措施。舉例3.3.1(見教材第45頁)3.4.1最小平均錯誤概率準則通信系統(tǒng)中，一般 , 將其代入到貝葉斯準則(3.3.2)， 可得到最小平均錯誤概率準則。3.4派生貝葉斯準則在對P(Hj)，cij進一步約束后，可得到Bayes準則的一些特例或派生準則。結(jié)果如下：最大似然準則(3.4.10)：在最小平均錯誤概率準則中，如果假設(shè)H0和H1的先驗概率相同，P(H0)=P(H1)=1/2。3.4.2最大后驗概率檢測準則在Bayes準則中，如果 ，則稱為最大后驗概率準則，也稱為理想觀察者準則。 此時的判決表達式為 當dx很小時，有 最

21、后一個不等式表示的是在觀測量x已知的條件下，假設(shè)H1, H0為真的概率，稱為后驗概率。 3.4.3極小化極大檢測準則在代價因子cij已知，先驗概率P(Hj)無法確定的條件下，使極大可能代價極小化的準則。引入記號：P1未知，此時的代價函數(shù)為為了使用Bayes準則，先猜測一個先驗概率P1g， 圖3.8平均代價C與P1的關(guān)系曲線 已經(jīng)提到過貝葉斯準則，極小化極大準則，最小平均錯誤概率準則，最大后驗概率準則。這些準則都有一定的前提條件，但有時無法保證。 N-P準則：在錯誤判決概率 的約束下，使正確判決概率最大的準則。3.4.4奈曼皮爾遜(N-P)準則1概念2解的存在性說明3. 奈曼皮爾遜準則的判決表示

22、式4. 奈曼皮爾遜準則的求解步驟3.5信號統(tǒng)計檢測的性能二元假設(shè)檢驗的統(tǒng)計術(shù)語對照表統(tǒng)計學(xué)工程領(lǐng)域檢驗統(tǒng)計量和門限 檢測器零假設(shè)(H0) 只有噪聲假設(shè)備擇假設(shè)(H1) 信號+噪聲假設(shè)判定域 信號存在判決域第1類錯誤(當H0為真時判H1成立)虛警(FA)第2類錯誤(當H1為真時判H0成立) 漏警(M)顯著性水平或檢驗尺度() 虛警概率PFA 第2類錯誤概率() 漏警概率PM檢驗的勢(1-)檢測概率PD檢驗的最佳準則，與判決概率有關(guān)。似然比檢驗的判決表達式為圖3.11判決概率P(H1|H0)和P(H1|H1)示意圖Q為標準高斯分布的右尾積分，d為幅度信噪比，功率信噪比為(3.5.13)。利用檢測門

23、限和信噪比d，可將檢測概率PD和虛警概率PF聯(lián)系起來。圖3.12 接收機工作特性(ROC)d=0, PD=PF, 從表達式(3.5.12)可以得到。d增大，曲線越陡，PD增大，性能越好。d固定，門限增大，PD下降，PF下降。ROC描述信號檢測性能，反映PD(, d)和PF(, d)之間的關(guān)系。3.6 M元信號的統(tǒng)計檢測接收機的工作特性的共同特點：1)所有連續(xù)似然比檢驗的ROC都是上凸的。2)所有連續(xù)似然比檢驗的ROC均在對角線之上。3)ROC在某點處的斜率等于該點上PD和PF所要求的檢測門限。3.6.1 M元信號檢測的貝葉斯準則圖3.15 M元信號檢測模型Bayes平均代價C的表達式為分析發(fā)現(xiàn)

24、，(3.6.5)式大于等于0。當滿足(3.6.7)式時，判決Hi成立。這可由(M-1)個聯(lián)立不等式組獲得。如果采用似然比檢驗，則選擇使(3.6.9)式最小的對應(yīng)假設(shè)成立。3.6.2 M元信號檢測的最小平均錯誤概率準則若P(Hj)已知，cii=0, cij=1, 則貝葉斯準則就變?yōu)榱俗钚∑骄e誤概率準則進一步，假設(shè)檢測的先驗概率相同，設(shè)定為P, 則有最大似然準則。舉例3.6.1(p67)3.7參量信號的統(tǒng)計檢測3.7.1參量信號統(tǒng)計檢測的基本概念簡單假設(shè)檢驗：確知信號或確定性信號復(fù)合假設(shè)檢驗：未知參量信號(未知的確定信號或隨機參量)N維觀測矢量的統(tǒng)計特性與噪聲和未知參數(shù)有關(guān)，概率密度函數(shù)不完全給

25、定。檢測性能與未知的參量有關(guān)，具有不確定性或隨機性。3.7.2參量信號統(tǒng)計檢測的方法廣義似然比檢驗：先用最大似然估計去估計未知參數(shù)，再用似然比檢驗。貝葉斯方法：把未知參量看作隨機過程，利用貝葉斯準則實現(xiàn)檢測。3.7.3廣義似然比檢驗3.7.4貝葉斯方法1隨機參量的概率密度函數(shù)p(j)已知的情況采用統(tǒng)計平均方法去掉隨機信號參量的隨機性。條件概率密度看成未知參量的函數(shù)，進行似然比檢驗。2. 隨機參量猜測先驗概率密度函數(shù)的情況 猜測PDF，再去應(yīng)用確知信號的檢測方法(猜測也要符合一定的依據(jù))。3. 未知參量的奈曼皮爾遜準則信號檢測在P(H1|H0)=約束下，使得P(H1|H1)最大的準則。對任意的未

26、知參量， P(H1|H1)都最大，則稱為一致最大勢檢驗(UMF), 也稱一致最大功效檢驗(UMP)。4. M元參量信號的統(tǒng)計檢測與二元參量信號檢測方法類似，也有廣義似然比檢驗和貝葉斯方法。例題3.7.1(p101)：參量信號檢測3.8 信號的序列檢測3.8.1信號序列檢測的基本概念給定檢測性能指標，觀測次數(shù)滿足，則停止檢測作出判決，否則繼續(xù)觀測。優(yōu)點：平均觀測次數(shù)最少，檢測時間最短。圖3.20序列檢測的判決域似然比檢驗為奈曼-皮爾遜準則N次觀測且相互獨立若滿足(3.8.9)式，則進一步觀測，直到(3.8.7)或(3.8.8)滿足，給出確定判決。檢測門限3.8.2信號序列檢測的平均觀測次數(shù)假設(shè)H

27、1為真假設(shè)H0為真條件均值平均觀測次數(shù)當N=n時，上式表明信號的序列檢測有終止。也可以人為設(shè)定觀測次數(shù)N的上限，若仍無法做出確切的判斷，就轉(zhuǎn)為固定觀測的檢測模式，此時稱為可截斷的序列檢測。例題3.8.1(p108)：求平均觀測次數(shù)3.9 一般高斯信號的統(tǒng)計檢測(課內(nèi)自習(xí))3.10 復(fù)信號的統(tǒng)計檢測(課外自學(xué))附：第3章 習(xí)題3.1，3.4，3.8，3.11，3.23第4章 信號波形的檢測4.1引言信號檢測：觀測信號一般為N維隨機矢量。信號波形的檢測：接收信號為隨機過程x(t)。信號波形檢測的分析方法：先對x(t)進行正交級數(shù)展開，再利用信號檢測的方法，研究信號波形的檢測問題。檢測準則設(shè)計：視具

28、體情況而定。如最小平均錯誤概率準則(通信)，奈曼-皮爾遜準則(雷達、聲納)。不失一般性，二元信號檢測模型可表示為：H0: x(t)=n(t), 0tTH1: x(t)=s(t)+n(t), 0tT或者寫為H0: x(t)=s0(t)+n(t), 0tTH1: x(t)=s1(t)+n(t), 0tT其中n(t)是白噪聲或高斯白噪聲，還可能為有色噪聲。用來說明信號在信道傳輸過程中受到的干擾，主要考慮加性噪聲干擾。s(t)為發(fā)送信號，x(t)為接收信號。考慮如下的通信系統(tǒng)模型：圖4.1二元數(shù)字通信系統(tǒng)波形檢測模型4.2匹配濾波器理論4.2.1匹配濾波器的概念圖4.2接收機模型 如果LTI (lin

29、ear time invariance)濾波器輸入信號為確定信號，加性平穩(wěn)噪聲，則在輸入功率信噪比一定的條件下，使得輸出功率SNR (signal noise ratio)最大的濾波器，就是與輸入信號匹配的最佳濾波器，稱為匹配濾波器(match filter/ MF)。4.2.2匹配濾波器的設(shè)計圖4.3 線性濾波器考慮LTI系統(tǒng)的濾波器的輸入為x(t)，輸出為y(t)。其中輸入信號s(t)為確知信號，能量Es有界。n(t)是為均值為0的平穩(wěn)過程。輸出s0(t)為濾波器對輸入s(t)的響應(yīng)，n0(t)表示噪聲n(t)經(jīng)過濾波器后的響應(yīng)。如果輸入信號s(t)的能量有界，則其傅立葉變換存在。利用線性

30、系統(tǒng)的性質(zhì)，可得到輸出的頻譜函數(shù)為(4.2.4)，再取傅立葉逆變換，得到輸出s0(t)。下面給出濾波器輸出噪聲n0(t)的平均功率，輸出信號s0(t0)的峰值功率，以及SNR的定義。(4.2.11)為Schwarz不等式利用Schwarz不等式，可將(4.2.10)式整理為從(4.2.16)式可以看出信噪比的最大取值。再利用Schwarz不等式取等號的條件，可知系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)為(4.2.17)。進一步如果輸入為白噪聲，Pn(w)=N0/2,可化簡系統(tǒng)函數(shù)為(4.2.19)的形式，其中k=2a/N0。匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)為如果濾波器輸入信號s(t)為實函數(shù)，則對應(yīng)的匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t

31、)為(4.2.22)。有時為了簡便，往往取k=1，而不影響頻率特性的形狀。1匹配濾波器脈沖響應(yīng)h(t)的特點和t0時刻的選擇對實信號s(t)的匹配濾波器，其脈沖響應(yīng)為4.2.3匹配濾波器的主要特性圖4.4 匹配濾波器的脈沖響應(yīng)特性考慮物理可實現(xiàn)，匹配濾波器的脈沖響應(yīng)應(yīng)為t0至少要選擇在s(t)的末尾。t0為輸出功率信噪比取最大值的時刻。2. 匹配濾波器的輸出功率信噪比 SNR0=2Es/N0 其中Es為輸入信號能量，N0/2為白噪聲的功率譜密度。3. 匹配濾波器的適應(yīng)性(適用性)對振幅和時延不同的信號具有適應(yīng)性，對頻移信號不再適用?？紤] s1(t)=As(t-), S1(w)=AS(w)exp

32、(-jw), s2(t)=s(t)exp(jvt), S2(w)=S(w+v)4. 匹配濾波器與相關(guān)器的關(guān)系圖4.5自相關(guān)器圖4.6互相關(guān)器討論匹配濾波器與相關(guān)器的關(guān)系。若n(t)為零均值白噪聲，本地信號為s(t)，相關(guān)器的輸出為yc(t)。匹配濾波器的輸出為yf(t)。比較(4.2.32)和(4.2.30)式可知在t=T時刻，零均值白噪聲條件下，匹配濾波器的輸出與相關(guān)器的輸出是相等的。4.3隨機過程的正交級數(shù)展開4.3.1完備的正交函數(shù)集及確知信號的正交級數(shù)展開正交函數(shù)集：函數(shù)集fk(t)在(0,T)內(nèi)滿足(4.3.1)式。完備的正交函數(shù)集：確知信號的正交級數(shù)展開：(4.3.2)展開系數(shù)的計

33、算：(4.3.3)4.3.2隨機過程的正交級數(shù)展開接收信號x(t)=s(t)+n(t) 為隨機過程，可展開為要求正交級數(shù)展開的均方誤差收斂到零。4.3.3隨機過程的卡亨南-洛維(Karhunen-Loeve)展開如何根據(jù)噪聲的特性，選擇正交函數(shù)集fk(t)使得展開系數(shù)xk之間是互不相關(guān)的隨機變量。展開系數(shù)的均值為我們希望各展開系數(shù)之間的協(xié)方差滿足：上式為齊次積分方程，rn(t-u)為核函數(shù)，fk(t)為特征函數(shù)。解出的fk(t)作為正交函數(shù)集合，對進行正交級數(shù)展開，各xk之間互不相關(guān)，即為Karhunen-Loeve展開。注：在(4.3.9)的推導(dǎo)中，用到了x(t)=s(t)+n(t)。4.3

34、.4白噪聲情況下正交函數(shù)集的任意性對于n(t)為白噪聲的情形，其均值為0，自相關(guān)函數(shù)為rn(t-u)=(N0/2)(t-u)，展開系數(shù)的協(xié)方差為上式說明白噪聲下正交函數(shù)集的任意性。4.3.5參量信號時隨機過程的正交級數(shù)展開若信號s(t;)含有未知或隨機參量，n(t)不變，如何進行級數(shù)展開而使得展開系數(shù)互不相關(guān)的問題。從(4.3.16)出發(fā)可導(dǎo)出(4.3.10)的積分方程，仍采用卡亨南-洛維展開，只是以參量為條件進行展開。4.4高斯白噪聲中確知信號波形的檢測4.4.1簡單二元信號波形的檢測1信號模型n(t)的均值為0、功率譜密度為N0/2，服從高斯分布。2判決表示式由(0,T)時間內(nèi)的觀測信號波

35、形x(t)的統(tǒng)計特性，進行統(tǒng)計判決H0或H1成立。分為四個步驟：研究方法：信號模型判決表達式檢測系統(tǒng)設(shè)計檢測性能分析最佳波形設(shè)計。學(xué)習(xí)順序：簡單二元一般二元M元信號波形檢測。H0: x(t)=n(t), 0tTH1: x(t)=s(t)+n(t), 0tT1)利用級數(shù)展開系數(shù)來表示 x(t)接收信號可表示為 H0: xk=nk, H1: xk=sk+nk, 其中 其中展開系數(shù)為 x(t)為高斯隨機過程，xk為高斯隨機變量，若能求出均值和方差，就可得到概率密度函數(shù)。展開系數(shù)之間互不相關(guān)，統(tǒng)計獨立。2) (k=1,2)是不不相關(guān)的高斯離散隨機信號，取其前有限N項，求得離散似然函數(shù) 結(jié)果為式中 是某

36、個常數(shù)。 3)對 取N的極限，利用x(t)展開式和展開系數(shù) (k=1,2)，得到觀測信號x(t)的似然函數(shù)4)根據(jù)采用的信號檢測準則計算似然比檢測門限，構(gòu)成似然比檢驗判決式，經(jīng)化簡得最佳判決式3. 檢測系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖4.8 相關(guān)檢測系統(tǒng)結(jié)構(gòu)(相關(guān)接收機)圖4.9 匹配濾波器檢測系統(tǒng)結(jié)構(gòu)最佳檢測系統(tǒng)(最佳接收機),依據(jù)判決表達式進行設(shè)計。也可用匹配濾波器進行設(shè)計。4. 檢測性能分析統(tǒng)計檢驗量為高斯隨機變量，先求均值和方差，再計算判決概率。均值方差功率信噪比判決概率5. 最佳信號波形設(shè)計 接收機工作特性ROC,檢測性能取決于偏移系數(shù)，而偏移系數(shù)又取決于信號s(t)的能量Es，與信號波形無關(guān)。 圖4.

37、11檢測概率PD與參數(shù)d的關(guān)系與信號檢測中的序列檢測類似(固定樣本有限觀測)。無窮維觀測有限維觀測(充分統(tǒng)計量滿足信號波形檢測)。n(t)為白噪聲，展開系數(shù)xk互不相關(guān)的正交函數(shù)集fk(t)可以任意選擇。構(gòu)造與確知信號s(t)有關(guān)的fk(t)。第一個坐標函數(shù)f1(t)選擇為s(t)的歸一化信號，剩下的fk(t)是與f1(t)正交且兩兩相互正交的任意歸一化函數(shù)。對x(t)進行正交級數(shù)展開，第1個系數(shù)記為x1。6. 充分統(tǒng)計量的分析方法分析發(fā)現(xiàn)：k2時，xk在H0、H1的假設(shè)下，都是n(t)的展開系數(shù)nk，只有x1的結(jié)果含有假設(shè)H0,H1的信息。而其余的展開系數(shù)與假設(shè)無關(guān)，對判決無影響。展開系數(shù)x

38、1為充分統(tǒng)計量。利用充分統(tǒng)計量，構(gòu)成似然比檢驗：x1為高斯隨機變量，求概率密度函數(shù)，只需求出均值和方差。4.4.2一般二元信號波形的檢測1 信號模型H0: x(t)=s0(t)+n(t), 0tTH1: x(t)=s1(t)+n(t), 0tTn(t)是均值為0、功率譜密度為N0/2的高斯白噪聲。信號能量為：2判決表達式H0:H1:對接收信號進行正交級數(shù)展開：其中展開系數(shù)為用展開系數(shù)來表示接收信號 H0: xk=s0k+nk, H1: xk=s1k+nk, 分析可知，展開系數(shù)xk為高斯隨機變量，且相互獨立。為了進行似然比檢驗，只要求出均值和方差，就可得到概率密度函數(shù)。取極限，得到判決表達式3

39、檢測系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)1)雙路相關(guān)器檢測系統(tǒng)結(jié)構(gòu)2)雙路匹配濾波器檢測系統(tǒng)結(jié)構(gòu)4 檢測性能分析定義s1(t)和s0(t)之間的波形相關(guān)系數(shù)檢驗統(tǒng)計量 是高斯離散隨機信號。檢驗統(tǒng)計量的均值檢驗統(tǒng)計量的方差功率信噪比判決概率在約束條件Es0+Es1=2Es(常數(shù))下，如何設(shè)計信號s0(t)和s1(t)的最佳波形，以便獲得最好的檢測性能。檢測性能隨著偏移系數(shù)的增大而提高。1)波形相關(guān)系數(shù)=-1，若信號滿足s0(t)=-s1(t), 即互補信號。 另外Es0=Es1=Es，此時偏移系數(shù)取最大值：5 最佳信號波形設(shè)計2)波形相關(guān)系數(shù)=0， s0(t)和s1(t)正交，此時的偏移系數(shù)為3)波形相關(guān)系數(shù)01， 此時

40、的偏移系數(shù)滿足隨著趨近于1，偏移系數(shù)趨近于0，檢測性能逐步變差。6 充分統(tǒng)計量的分析方法舉例4.4.1(p125)類似簡單二元信號波形檢測情況，一般二元信號波形也可采用充分統(tǒng)計量的分析方法，構(gòu)造與信號有關(guān)的坐標函數(shù)，實現(xiàn)信號檢測4.4.3 M元確知信號波形的檢測(簡介)1.觀測信號模型2.最佳判決式3.檢測性能分析4.5 高斯有色噪聲中確知信號波形的檢測 (簡介) 采用卡亨南-洛維展開，即要根據(jù)噪聲的自相關(guān)函數(shù)，或協(xié)方差函數(shù)構(gòu)造正交函數(shù)集的坐標函數(shù)，在講觀測信號用展開系數(shù)表示； 信號的檢測性能不僅與信號能量、信號波形之間的相關(guān)系數(shù)有關(guān)，海域信號的波形有關(guān)。最佳波形需要根據(jù)噪聲的自相關(guān)函數(shù)設(shè)計。第5章 信號的統(tǒng)計估計理論5.1引言參量估計(靜態(tài)估計)，狀態(tài)估計(動態(tài)估計)。5.2信號參量統(tǒng)計估計理論的概念5.2.1參量估計的數(shù)學(xué)模型和估計量的構(gòu)造圖5.1信號參量統(tǒng)計估計的數(shù)學(xué)模型參量空間M個未知參量1,2,m 組成矢量，可由M維參量空間的一個隨機點表示。概率映射觀測矢量x的值推測出參量的值。觀測空間利用N維觀測矢量x，對進行統(tǒng)計估計。估計規(guī)則估計規(guī)則保證估計量在一定準則下為