線性代數(shù)(慕課版)第三章----向量與向量空間課件

1、線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第一講 n 維向量及其線性運(yùn)算n維向量的線性運(yùn)算01n維向量的定義02本講內(nèi)容一、n維向量的定義1. n 維向量的定義定義3.1行向量列向量3n維向量的線性運(yùn)算02n維向量的定義01本講內(nèi)容二、 n維向量的線性運(yùn)算2. n 維向量的運(yùn)算即兩個(gè)向量相等，就是各個(gè)對(duì)應(yīng)的分量都相等。（1）零向量分量都為零的向量稱為零向量, 記作O。 （2）負(fù)向量 定義3.2（3）向量的相等5二、n維向量的線性運(yùn)算（4）向量的加法都是 n 維向量，規(guī)定（5）向量的減法即：兩個(gè)向量相加減就是將它們的對(duì)應(yīng)分量相加減6二、n維向量的線性運(yùn)算（6）數(shù)乘即：數(shù)乘向量就是用數(shù)乘以向量的每一

2、個(gè)分量。注向量相加及數(shù)乘兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算7二、n維向量的線性運(yùn)算定理3.1 向量的線性運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律。8二、n維向量的線性運(yùn)算例1解9二、n維向量的線性運(yùn)算例2解10二、n維向量的線性運(yùn)算注11二、n維向量的線性運(yùn)算例3解12線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第二講 向量組的線性關(guān)系(1)向量組的等價(jià)01向量組的線性組合02線性組合的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用舉例03向量組線性相關(guān)性的定義04本講內(nèi)容一、向量組的線性組合定義3.3(3) 任一向量均可由其基本單位向量組唯一線性表示.注意(1) 零向量可由任一向量組線性表示.(2) 向量組中任一向量均可由該向量組線性表示.15一、向量組的

3、線性組合例1證16向量組的等價(jià)02向量組的線性組合01線性組合的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用舉例03向量組線性相關(guān)性的定義04本講內(nèi)容二、向量組的等價(jià)定義3.4性質(zhì)定理3.2定理3.318二、向量組的等價(jià)例2證19二、向量組的等價(jià)例3解20向量組的等價(jià)03向量組的線性組合01線性組合的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用舉例02向量組線性相關(guān)性的定義04本講內(nèi)容三、線性組合的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用舉例在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，需要將某個(gè)量，比如成本，分解成幾部分時(shí)，常常需要用到線性組合的概念.例4解22向量組的等價(jià)04向量組的線性組合01線性組合的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用舉例03向量組線性相關(guān)性的定義02本講內(nèi)容四、向量組線性相關(guān)性的定義定義3.5注24四、向量組線性相關(guān)性的

4、定義25四、向量組線性相關(guān)性的定義例5解26四、向量組線性相關(guān)性的定義例6解27四、向量組線性相關(guān)性的定義例7解28四、向量組線性相關(guān)性的定義29線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第三講 向量組的線性關(guān)系(2)向量組的等價(jià)01向量組的線性組合02線性組合的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用舉例03向量組線性相關(guān)性的定義0405向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)本講內(nèi)容向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)性質(zhì)3.1推論性質(zhì)3.2推論32向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)例1解33向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)性質(zhì)3.3找等式，看系數(shù)34向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)cv性質(zhì)3.3推論35向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)找等式，看系數(shù)性質(zhì)3.436向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)cv性質(zhì)

5、3.437向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)例2解38向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)例3解39向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)性質(zhì)3.540向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)性質(zhì)3.6例4解41向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)42向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)性質(zhì)3.6推論43線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第四講 向量組的線性關(guān)系(3)向量組的等價(jià)01向量組的線性組合02線性組合的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用舉例03向量組線性相關(guān)性的定義0405向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)向量組線性相關(guān)性的判定06本講內(nèi)容向量組線性相關(guān)性的判定定理3.4推論1推論2推論346向量組線性相關(guān)性的判定例1解47向量組線性相關(guān)性的判定例2解48向量組線性相關(guān)性的判定例3解49向量組線性相

6、關(guān)性的判定例4解定理2.850向量組線性相關(guān)性的判定定理3.5推論1推論251向量組線性相關(guān)性的判定例5解52向量組線性相關(guān)性的判定性質(zhì)3.5定理3.5總結(jié)改變向量的個(gè)數(shù)時(shí)，少的相關(guān)，多的也相關(guān)；多的無(wú)關(guān)，少的也無(wú)關(guān).改變向量的維數(shù)時(shí)，低維無(wú)關(guān)，高維也無(wú)關(guān)；高維相關(guān)，低維也相關(guān).同步改變向量的分量順序時(shí)，線性相關(guān)性不變53線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第五講 極大線性無(wú)關(guān)組和秩(1)01極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)本講內(nèi)容極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)向量組的極大無(wú)關(guān)組定義3.6解釋定義3.756極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)注01020304050657極大線性無(wú)關(guān)組和向量

7、組的秩(1)向量組的秩定義3.8向量組的秩的性質(zhì)58極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)向量組的等價(jià)定義3.4性質(zhì)定理3.2定理3.359極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)定理3.6推論60極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)性質(zhì)向量組等價(jià)矩陣等價(jià)61極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)例162極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)解63極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)64極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)例2解65極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)66極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)例3解找等式，看系數(shù)67極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩(1)注68線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第六講 極大線性無(wú)關(guān)組和秩(2)

8、向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系01極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩02本講內(nèi)容一、極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩例1解71一、極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩72一、極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩例2證73向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系02極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩01本講內(nèi)容二、向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系定理3.775二、向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系例3解列擺行變換法76二、向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系例4解77二、向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系78二、向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系例5解定理2.9（3）79二、向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系例6證80二、向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系81線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第七講 向

9、量空間過(guò)渡矩陣與坐標(biāo)變換01向量空間的定義02本講內(nèi)容一、向量空間的定義定義3.9例184一、向量空間的定義定義3.10定義3.1185一、向量空間的定義維數(shù)定義3.6定義3.886一、向量空間的定義例2解87一、向量空間的定義例3解88過(guò)渡矩陣與坐標(biāo)變換02向量空間的定義010本講內(nèi)容二、過(guò)渡矩陣與坐標(biāo)變換定義3.12注注過(guò)渡矩陣90二、過(guò)渡矩陣與坐標(biāo)變換例4解定義3.1291二、過(guò)渡矩陣與坐標(biāo)變換例5解定義3.1292二、過(guò)渡矩陣與坐標(biāo)變換例6解93線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間第八講 向量的內(nèi)積向量組的正交規(guī)范化01向量的內(nèi)積的定義02正交矩陣03本講內(nèi)容一、向量的內(nèi)積的定義9

10、6定義3.13內(nèi)積的性質(zhì)一、向量的內(nèi)積的定義97定義3.14范數(shù)的性質(zhì)定義3.15一、向量的內(nèi)積的定義98例1解向量組的正交規(guī)范化02向量的內(nèi)積的定義01正交矩陣03本講內(nèi)容二、向量組的正交規(guī)范化100正交向量的性質(zhì)定義3.16定義3.17定理3.8二、向量組的正交規(guī)范化101定理3.8二、向量組的正交規(guī)范化102例2證二、向量組的正交規(guī)范化103施密特正交化二、向量組的正交規(guī)范化104例3解向量組的正交規(guī)范化03向量的內(nèi)積的定義02正交矩陣01本講內(nèi)容三、正交矩陣106正交矩陣性質(zhì)三、正交矩陣107結(jié)論例4解三、正交矩陣108例5三、正交矩陣109例5向量組線性相關(guān)性的判定110性質(zhì)3.5定

11、理3.5總結(jié)改變向量的個(gè)數(shù)時(shí)，少的相關(guān)，多的也相關(guān)；多的無(wú)關(guān)，少的也無(wú)關(guān).改變向量的維數(shù)時(shí)，低維無(wú)關(guān)，高維也無(wú)關(guān)；高維相關(guān)，低維也相關(guān).同步改變向量的分量順序時(shí)，線性相關(guān)性不變線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間導(dǎo)學(xué)第三章 向量與向量空間N維向量及其線性運(yùn)算向量組的線性關(guān)系極大無(wú)關(guān)組和秩向量空間本章主要內(nèi)容包括： 平面上的任意點(diǎn)，可以由二元的有序數(shù)組來(lái)表示，空間直角空間直角坐標(biāo)系中表示任意點(diǎn)用三元的有序數(shù)組，討論方程組的解時(shí)，我們用n元的有序數(shù)組，在一個(gè)較復(fù)雜的控制系統(tǒng)中(導(dǎo)彈、飛行器) ，決定系統(tǒng)在某一時(shí)刻t的參數(shù)有n個(gè)，這就需要用n元的有序數(shù)組來(lái)對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行描述.這些有序數(shù)組就是我們

12、要討論的向量，向量是解決數(shù)學(xué)以及工程技術(shù)問(wèn)題的有力的工具。向量的內(nèi)積11201向量與矩陣向量組的線性關(guān)系向量空間0204向量組的正交規(guī)范化03本講內(nèi)容 列矩陣行矩陣行向量列向量mXn矩陣第二章默認(rèn)向量的定義01 向量與矩陣114代數(shù)和數(shù)乘乘法矩陣數(shù)乘乘法數(shù)向量沒(méi)有冪運(yùn)算向量代數(shù)和相等相等列向量與行向量相乘行向量與列向量相乘方陣冪運(yùn)算01 向量與矩陣11502向量與矩陣向量組的線性關(guān)系向量空間0104向量組的正交規(guī)范化03導(dǎo)學(xué)內(nèi)容02 向量組的線性關(guān)系線性表示向量組等價(jià)線性相關(guān)性定義性質(zhì)定理判定定理矩陣等價(jià)第二章總成本第二章矩陣的秩極大無(wú)關(guān)組與秩極大無(wú)關(guān)組向量組的秩矩陣的秩第二章第二章初等變換1

13、1703向量與矩陣向量組的線性關(guān)系向量空間0102向量組的正交規(guī)范化04導(dǎo)學(xué)內(nèi)容03 向量空間基(底)向量組的秩向量組維數(shù)向量空間極大無(wú)關(guān)組定義定義坐標(biāo)過(guò)渡矩陣11904向量與矩陣向量組的線性關(guān)系向量空間0102向量組的正交規(guī)范化03導(dǎo)學(xué)內(nèi)容04 向量組的正交規(guī)范化向量的內(nèi)積定義性質(zhì)正交向量組定義性質(zhì)施密特正交化正交矩陣定義性質(zhì)121線性代數(shù)（慕課版）第三章 向量與向量空間本章小結(jié)01知識(shí)點(diǎn)歸納教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議02本章小結(jié) 1 知識(shí)點(diǎn)歸納124向量與向量空間向量的基本運(yùn)算向量的內(nèi)積向量組的線性關(guān)系向量空間極大無(wú)關(guān)組與秩第五章預(yù)備知識(shí)第四章預(yù)備知識(shí)矩陣的秩 1 知識(shí)點(diǎn)歸納125(1)向量的基本

14、運(yùn)算相等代數(shù)和乘積數(shù)乘數(shù)列向量與行向量相乘行向量與列向量相乘方陣 1 知識(shí)點(diǎn)歸納126(2)向量組的線性關(guān)系向量組等價(jià)定義性質(zhì)定理線性組合判定定理部分組延長(zhǎng)向量組線性相關(guān)性 1 知識(shí)點(diǎn)歸納127(3)極大無(wú)關(guān)組與秩向量組的秩定義求解方法極大無(wú)關(guān)組列擺行變換法線性相關(guān)性定義求解方法矩陣的秩關(guān)系具體矩陣求秩初等變換法抽象矩陣求秩利用結(jié)論(4) 向量空間維數(shù)基(底)坐標(biāo)過(guò)渡矩陣 1 知識(shí)點(diǎn)歸納128(5)向量的內(nèi)積正交向量組范數(shù)夾角內(nèi)積定義施密特正交化正交矩陣先正交化再單位化01知識(shí)點(diǎn)歸納教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議02本章小結(jié) 2 教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議130（1）理解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩（3）（2）理解向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法.（4）理解向量組等價(jià)的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關(guān)系了解維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標(biāo)等概念了解基變換和坐標(biāo)變換公式，會(huì)求過(guò)渡矩陣.（5）了解內(nèi)積的概念，掌握線性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特(Schmidt)方法. 了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質(zhì).（6）131向量的