大氣運動的基本方程組

1、描述大氣運動和熱力過程的基本物理量：支配大氣運動的基本物理原理（定律）有： 1）動量守恒原理（牛頓第二(d r)運動定律）；2）能量守恒原理（熱力學第一定律）；3）質(zhì)量守恒原理（連續(xù)方程）；4）狀態(tài)方程；5）水汽方程等。 本章的主要任務是，利用這些物理原理和數(shù)學方法，建立描述大氣運動的基本方程組。 1Chapter 1: 大氣運動(yndng)的基本方程組第1章：大氣運動的基本方程組P、T、q(u、v、w)場變量：是空間上和時間上 的連續(xù)函數(shù)的物理量。共六十一頁 1.1運動學基礎一、標量場的空間變化1、位置矢量：空間上的任一點M(x，y，z)的位置(wi zhi)則可用一個位置(wi zhi)

2、矢量表示： 空間上位置的變化可用位置矢量的改變量（位移矢量）表示： 2共六十一頁2、標量(bioling)場的梯度 任一標量(bioling)場(以氣壓場p為例)可表為空間點和時間的函數(shù)： 考慮某一指定時刻(t=t0 )氣壓p在某一點的鄰域的空間變化，則p可視為只是空間變量的函數(shù)，其空間微分可表為： 定義： 為氣壓梯度。 梯度算子（符）：3共六十一頁 氣壓p沿 （或 ）方向的方向?qū)?shù)可表為： 此式清楚地表明了氣壓空間變化與氣壓梯度的關系：當0時，即p的方向?qū)?shù)取得(qd)最大正值；當/2時，4共六十一頁三、 場變量的時間(shjin)變化1、局地時間變化率 當考察在空間某個固定點（位置矢為 ）

3、上一個場變量隨時間t的變化時，所測得(或觀測到)的變化稱為(chn wi)該場變量在該地點上的局地（時間）變化。 場變量F（ ，t）在點 上的局地變化率(單位時間內(nèi)的變化量)可定量地表為：2、個別時間變化率 個別變化率是指跟隨某個“動點”（如移動的飛機、車、5共六十一頁 船、空氣質(zhì)點或天氣系統(tǒng)中的特性點等）在運動過程中所歷經(jīng)（或測得）某物理量F 隨時間的變化率。 其數(shù)學表達式可寫為： 與局地變化率不同，它是物理量在不同地點(ddin)、不同時刻的變化率。3、平流變化率 改寫個別變化率的表達式： 6局地時間(shjin)變化率共六十一頁右邊第二項的分子可表為：取 (同時有 )的極限： 平流變化率

4、 其中： 為動點的位置矢的時間變化率，也稱為平流速度。F的個別變化率等于其局地變化率與平流變化率之和。當動點就是(jish)空氣質(zhì)點時，氣象上通常用 表示空氣運動的速度： 7共六十一頁其中：這樣有：上式可以看成是“個別微分算子”：作用于場變量F 的結果。若令F=T, T為氣溫(qwn), 則由上式有：這是局地溫度的預報方程。左邊代表局地的溫度變化率，右邊的項可視為影響局地溫度變化的強迫因子。 8共六十一頁上式右邊第二項（ ）稱為(chn wi)溫度平流。當 0 時, 稱為暖平流 ，可造成升溫： T- T+T- T+ 冷平流 暖平流(pn li)例題20共六十一頁三、速度(sd)場的散度和渦度1

5、、速度散度和連續(xù)方程1）速度散度考慮表面積為S、體積為的空氣塊（如圖），由于其表面上各點的速度分布(fnb)不均勻而引起的體積變化率 高斯公式其中：速度散度共六十一頁考慮氣塊體積趨于零有：速度散度的物理意義：空氣微團體積的相對變化率。 當垂直速度為零時， 空氣運動(yndng)為水平運動(yndng)，空氣微團的體積變化率退化為水平面積(A)的變化率： 輻散輻合共六十一頁2）連續(xù)方程3）氣壓(qy)傾向方程（P10） 共六十一頁2、速度場的渦度 1）渦度：是用來描述空氣(kngq)微團的旋轉特性：x分量(fn ling)y分量z分量共六十一頁共六十一頁 對于大尺度運動，垂直(chuzh)方向的

6、渦度分量是主要的，天氣學上常常主要考慮垂直(chuzh)渦度分量z，并且約定： 在北半球：0，稱之為氣旋式渦度， 0(0(C 0)時，氣象上稱之為氣旋式（反氣旋式）環(huán)流。 3）速度環(huán)流與渦度的關系 計算沿圍線ABCD的速度環(huán)流：AB:BC:CD:DA:共六十一頁沿圍線ABCD的總速度環(huán)流則為: 由此有 : 為矩形中心點處的鉛直渦度分量，為矩形ABCD的面積(min j)。當矩形面積(min j)趨于零，取極限則有 可見，鉛直渦度分量可解釋為水平(shupng)圍線上的速度環(huán)流在面積趨于零時的極限，或者說是單位面積上的速度環(huán)流。 共六十一頁1.2 旋轉坐標系中的大氣運動(yndng)方程1慣性坐

7、標系與非慣性坐標系 牛頓第二定律只適用于某種特定的坐標系（或參照系）。按牛頓第二定律是否(sh fu)成立，可將坐標系分成： 絕對 （靜止）坐標系：能使牛頓第二定律成立的坐標系。在這種坐標系中，牛頓慣性定律亦成立，故又稱之為慣性坐標系。 相對于慣性坐標系作勻速直線運動的坐標系仍是慣性坐標系。 相對坐標系：相對于慣性坐標系作加速運動的坐標系，也稱非慣性坐標系。 共六十一頁在氣象學上：1）通常將相對于恒星靜止、不隨地球自轉的坐標系稱為絕對坐標系（慣性(gunxng)坐標系或“靜止”坐標系），在絕對坐標系中觀測到的大氣運動稱為絕對運動；并且，通常略去地球繞太陽公轉引起的加速度(610-3m/s2)；

8、2）將固定于地球上、跟隨地球自轉一起轉動的坐標系稱為相對坐標系（旋轉坐標系），它是一種非慣性坐標系, 在此坐標系中觀測到的大氣運動稱為相對運動。 2 慣性坐標系中的運動方程 在慣性坐標系中，按牛頓第二運動定律，單位質(zhì)量空氣徽團的運動方程可表 共六十一頁 上式是在絕對坐標系中，單位質(zhì)量空氣微團所遵從的運動方程，有時稱為絕對運動方程。但是，由于在地球坐標系中（例如地球上的測站）無法直接觀測到絕對速度和絕對加速度，只能觀測到相對(xingdu)速度和相對(xingdu)加速度。因此，上式并不能直接用于研究地球大氣運動。 找出絕對速度與相對速度以及絕對加速度與相對加速度的關系？3 兩種坐標系中的速度和

9、加速度的關系 共六十一頁絕對(judu)位移相對(xingdu)位移共六十一頁 若將由于地球自轉引起p點的移動速度（稱為牽連速度）記為 ，則p點的牽連位移為 空氣微團的絕對位移等于其相對位移與牽連位移之向量和 若用 除上式兩端(lin dun)，并取 趨于零的極限，則有 即 絕對速度與相對速度(xin du s d)的關系共六十一頁位于緯度(wid) 處的空氣質(zhì)點的牽連速度就是該質(zhì)點隨地球自轉時在緯圈平面上以角速度 作勻速圓周運動的線速度 ： （推導）于是有： 和 從個別變化率的定義出發(fā)，可直接證明，對于任一標量F,絕對坐標系中的個別變化率等于相對坐標系中的個別變化率： 空氣質(zhì)點(zhdin)

10、的牽連速度作業(yè)：習題21，29共六十一頁證明：對任意矢量(shling) ， 成立。共六十一頁令： 有： （推導） 即表述絕對加速度與相對加速度關系(gun x)的定量關系(gun x)式。絕對加速度等于相對加速度加上兩個由于坐標系旋轉而引起的附加加速度： 1）科里奧利（Coriolis）加速度： 2）向心加速度： 通過已經(jīng)確定了旋轉坐標系中的相對速度與絕對速度以及相對加速度與絕對加速度的定量關系， 那么我們就完全可以通過地球上探測到的風速（相對速度）來定量地表述絕對速度和絕對加速度。因而，我們可以進一步導出便于直接用于研究地球大氣運動規(guī)律的運動方程旋坐標系中的運動方程（相對運動方程）。 共六

11、十一頁4 、相對運動(xin du yn dn)方程 在等號的不同(b tn)邊，或稱“慣性力”，或稱 “加速度”共六十一頁5、作用(zuyng)于空氣微團上的作用(zuyng)力1）氣壓梯度力 考慮右圖空氣塊所受壓力：于是，對單位質(zhì)量的空氣小體而言，在x方向(fngxing)上所受壓力的合力為 ：共六十一頁Y方向的合力：Z方向的合力：綜合起來，單位質(zhì)量空氣小體所受總的壓力合力即氣壓梯度力為氣壓梯度力的性質(zhì)： 1）氣壓梯度力的方向與氣壓梯度的方向相反，即與等壓面（線）垂直、指向氣壓降低(jingd)的方向； 2）氣壓梯度力的大小與氣壓梯度的大小成正比，與空氣密度成反比。 共六十一頁2) 科里奧

12、利（Coriolis）力: 它的存在條件：0 （旋轉）； 0，即有相對于地球的運動(yndng)。 科氏力（地轉偏向力）的性質(zhì)： i) 即科氏力一定在緯圈平面上； ii) 科氏力只會改變運動的方向，不改變其大小，即對空氣微團不做功。 iii) 對于北半球的水平運動，科氏力總是指向運動前進方向的右方（觀測者面向運動前進方向），南半球的情形則相反，指向運動前進方向的左方。 共六十一頁例如，在北半球，向南（北）流的水流會受到指向西（東）的科氏力的作用，引起水流向南（北）流的河床的西（東）岸受到更為嚴重的沖刷。又如，在北半球運行的遠程火箭，當它鉛直上升（下降）時，其軌道要向西（東）偏移；當它在水平面方

13、向向東（西）飛行時，其軌道要向南并向上（向北并向下）偏移。3 重力 ：地心引力與慣性離心力的合力(hl)單位質(zhì)量空氣微團所受地心引力可表為 共六十一頁 地心引力是指向地心的有勢力，設 為地心引力勢，則地心引力可表為： 勢力的性質(zhì)：沿閉合路線積分(jfn)為零，無旋。（證明） 若假定極地海平面（ ）上的地心引力勢為零 （ ），則可以求得地心引力勢為： 物理圖像：地心引力的等勢面為以地心為球心的同心球面族。 共六十一頁 慣性離心力： 垂直于地軸、從地軸指向外，也是一種有勢力。設其勢函數(shù)為 ，則可將慣性離心力表為： （證明） 若假設地軸上（ ）的慣性離心力勢為零（ ），則可求得 物理圖像：慣性離心力

14、的等勢面為以地軸為軸的同軸圓柱面族。 這樣，重力(zhngl)加速度可表為 ： 重力位勢： 共六十一頁 由地心引力和慣性離心力的性質(zhì)可知，重力的大小隨所處的緯度和高度不同而不同。在同一海拔高度上，重力加速度隨緯度增大而增大，赤道(chdo)上最小，極地最大；在同一緯度，重力加速度隨海拔高度增大而減小。計算重力的近似公式（1930年國際重力公式）可表為： 這里 為緯度，z為海拔高度（以米為單位）。 由于重力加速度隨緯度和高度的變化很小，它與地心引力的 夾角也很小，故氣象上一般將重力加速度視為常數(shù)，取g9.81 米/秒2；并近似地視地球為半徑a6371公里的球形，視等重力位勢面為同心球面族。 單位

15、(dnwi)？共六十一頁重力位勢則可近似估算為（假定 ）： （推導）4 分子粘性力（內(nèi)摩擦力） 其中， 為運動學粘性系數(shù)， 為動力粘性系數(shù)。 大氣(dq)是一種低粘流體，除了貼近地面幾厘米厚度的薄層，因為空氣運動速度垂直梯度很大，必須考慮分子粘性作用的影響外，一般都可忽略分子粘性力的作用。 共六十一頁最后，矢量形式(xngsh)的相對運動方程可改寫為 共六十一頁1.3 運動(yndng)方程的分量形式 1 球坐標系： 原點O卻在地心 經(jīng)度； 緯度 r 距球心距離 為沿緯圈指向(zh xin)東 沿經(jīng)圈指向北 沿徑向指向天頂?shù)?單位向量。 共六十一頁沿各方向的坐標(zubio)線元分別為：在球坐

16、標中，若將空氣微團的運動速度矢表為則有： ，共六十一頁2 球坐標系的個別微分算子 對任意一個場變量 ，有： 兩邊除以dt，取極限，并利用球坐標各速度(sd)分量的表達式有： 所以：球坐標個別微分算子：共六十一頁梯度算子： 要求得運動方程在球坐標系中的分量方程，就得先將運動方程中向量(xingling)形式的各項分別分解到球坐標系的各個方向上，即求出各項的分量式。 3 球坐標系加速度的分量形式 (1) 相對加速度可寫為： 問題歸結為求單位向量 、 和 的個別變化率的分量表達式。 共六十一頁 由于 所以： 考慮單位(dnwi)矢量 隨經(jīng)度的變化： 共六十一頁 大?。?于是： 的方向（即 的方向）與

17、 方向相反，指向(zh xin)地軸。 共六十一頁于是，有 （還有簡便(jinbin)的推導） 共六十一頁其中，包含(bohn)因子 1/r 的項是由于地球的球面性引起的曲率項，稱為“曲率加速度”。4 各作用力在球坐標系中的分量(1) 氣壓梯度力的分量形式 利用球坐標系中的梯度算子，可得氣壓梯度力在球坐標系中分解式為:(2)科氏力 其中， 地轉角速度可表為： 共六十一頁各分量可分別表為：于是，在球坐標系中，科氏力可表為其中稱為(chn wi)科氏參數(shù)。 共六十一頁（3）重力和分子粘性力重力只在垂直方向有分量(fn ling)：分子粘性力可形式上表為： 5 球坐標系的運動方程的分量形式， 共六十

18、一頁 等式右邊的含因子1/r的項源于球坐標系中的“曲率加速度”，可稱為“曲率慣性力”，可以證明該力與速度垂直，即其對空氣微團不做功。由于90%以上的大氣都集中在離地面20公里以下的薄層內(nèi)，有時采用(ciyng)郭曉嵐稱謂的“薄層近似”，即在上述方程中，當r 作為系數(shù)出現(xiàn)時，近似地取 于是薄層近似下的運動方程可表為: 共六十一頁6 球坐標系的速度散度和渦度球坐標系中的單位向量的基本微分(wi fn)公式可表為：及 共六十一頁利用上述微分關系，可得到(d do)球坐標系中速度場的散度：類似地，速度場的渦度可表為球坐標系中的拉普拉斯算子可表為 共六十一頁6 球坐標系得連續(xù)方程 將球坐標系中的散度表達

19、式代入上連續(xù)方程，可將球坐標系中的質(zhì)量(zhling)連續(xù)方程寫為： 或： 另一種推導方法： 小體積得空氣質(zhì)量增加凈的質(zhì)量流入 共六十一頁 1.4 局地直角坐標系中的運動方程(fngchng)與連續(xù)方程(fngchng) 1 局地直角坐標系 局地直角坐標系的坐標原點位于海平面上指定地點，x軸沿緯線指向東，y軸沿經(jīng)線指向北，z軸指向天頂。 三個坐標軸向的單位向量分別為和，它們與球坐標系中沿和方向的單位矢的指向完全相同，所不同的是，現(xiàn)在，在坐標原點附近的“局部地區(qū)”（研究問題的區(qū)域），單位矢量將視為不隨地點的改變而改變的單位矢量。（當范圍不大時，即局地看成一個平面，而不是球面） 共六十一頁2 局地

20、直角坐標系中的運動方程與連續(xù)方程 在球坐標系的基礎上，假定： 1）略去(l q)球面性所產(chǎn)生的曲率項。 2）形式上，令空氣運動的速度分量可表為： ，共六十一頁局地直角坐標系中的運動(yndng)方程可表為：局地直角坐標系中的連續(xù)方程為 ：或 共六十一頁-平面近似 采用局地直角坐標系，忽略地球的球面性，可以使方程形式變得簡單，但是，以后將會看到，如果完全略去地球的球面性，取科氏參數(shù)為常數(shù)（即所謂的f-平面近似），除了精度降低外，還會帶來一個嚴重的動力學缺陷，即消除了氣象學中非常重要的一種(y zhn)波動羅斯貝（Rossby）波的生存條件。為了彌補這種缺陷，可采用所謂的-平面近似，部分地保留地球

21、球面性的影響。 設局地直角坐標系原點所在緯度為 ，科氏參數(shù) f 可在的鄰域展為如下泰勒級數(shù)： 其中， 共六十一頁若只保留泰勒級數(shù)右邊第一項，略去其它項，則得如下最低階近似： 常數(shù) 此近似稱為“-平面近似”。當取泰勒級數(shù)右邊第一和第二項，略去其它項時，有：其中(qzhng)， 。以上近似即所謂的“-平面近似”。 球坐標系和局地直角坐標(zh jio zu bio)系的比較共六十一頁1.5 大氣運動(yndng)的閉合方程組與初、邊條件 1 閉合方程組 閉合方程組：獨立方程的個數(shù)與未知函數(shù)的個數(shù)相同的方程組。描述大氣(dq)運動的基本方程有：運動方程（含三個分量方程）、連續(xù)方程、熱力學方程、狀態(tài)方程和水份守恒方程等共七個方程 ： 共六十一頁 并非是一個精確的已知量； 為對單位質(zhì)量空氣的非絕熱加熱率，包括輻射加熱、水的相變加熱和分子的或湍流的熱傳導等。每一種(y zhn)非絕熱過程都是非常復雜的過程，至少目前人們還不能用嚴格而精確的解析式來表達它們，即這一項也并不是嚴格意義上的已知函數(shù)。 所以，要閉合上述方程組的主要困難是缺乏精確的表達式來描述大氣中的重要源、匯項 和 等。在本課程范圍內(nèi)，我們將主要考慮干空氣（ =0）的絕熱（ =0）過程，這時，上述方程組變?yōu)榘鶄€