第十二節(jié) 定積分與微積分基本定理(共7頁)

1、 第十二節(jié) 定積分(jfn)與微積分基本定理公式(gngsh)（1） （2） （3）( 4) (5)； (6) 【題型 】1.設(shè)函數(shù)(hnsh)f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(x0)，則x0等于()A1B.eq r(2)Ceq r(3) D2解析：選Cf(x)dx (ax2b)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)ax3bx)9a3b，9a3b3(axb)，即xeq oal(2,0)3，x0eq r(3)，故選C.2計(jì)算下列定積分：(1)eq avs4al()eq oal(3,1)(3x22x1)dx；(2) eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1

2、,x)dx；(3)eq avs4al()eq oal(,0)(sin xcos x)dx；解：(1)eq avs4al()eq oal(3,1)(3x22x1)dx(x3x2x)eq avs4al(|)eq oal(3,1)24.(2) eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x2ln x)eq f(3,2)ln 2.(3)eq avs4al()eq oal(,0)(sin xcos x)dxeq avs4al()eq oal(,0)sin xdxeq avs4al()eq oal(,0)cos xdx(cos x) s

3、in x2.(4)|1x|dx(1x)dx(x1)dxeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)x2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x2x)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)0eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)222)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)121)1. 3.計(jì)算以下定積分： (1) (2x2eq f(1,x)dx； (2)(eq r(x)eq f(1,r(x)2dx； (3)(sinxsin2x)dx；【定積分幾何(j h)意義的應(yīng)用】1.(1)(2012山東(shn dn)高考)由

4、曲線(qxin)yeq r(x)，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A.eq f(10,3) B 4C.eq f(16,3) D6 (2)eq avs4al()eq oal(1,0)eq r(x22x)dx_.解析(1)由yeq r(x)及yx2可得，x4，即兩曲線交于點(diǎn)(4,2)由定積分的幾何意義可知，由yeq r(x)及yx2及y軸所圍成的封閉圖形面積為 (eq r(x)x2)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)xf(1,2)x22x)eq f(16,3).(2)eq avs4al()eq oal(1,0)eq r(x22x)dx表示yeq r(x22x)與x0

5、，x1及y0所圍成的圖形的面積由yeq r(x22x)得(x1)2y21(y0)，又0 x1，yeq r(x22x)與x0，x1及y0所圍成的圖形為eq f(1,4)個(gè)圓，其面積為eq f(,4).eq r(x22x)dxeq f(,4).答案(1)C(2)eq f(,4)2.若將(1)中“yx2”改為“yx2”，將“y軸”改為“x軸”，如何求解？解：如圖所示，由yeq r(x)及yx2可得x1.由定積分的幾何意義(yy)可知，由yeq r(x)，yx2及x軸所圍成的封閉圖形(txng)的面積為f(x)dxeq r(x)dx (x2)dxeq f(2,3)xeq blc(rc)(avs4alc

6、o1(2xf(x2,2)eq f(7,6).求下列曲線(qxin)所圍成的圖形的面積；y6x，yeq r(8x)，x0。作出直線y6x，曲線yeq r(8x)的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積3. 求曲線yeq r(x)，y2x，yeq f(1,3)x所圍成圖形的面積。4. 求下列曲線所圍成的圖形的面積；y8x2，yx2。類題通法(tn f)利用定積分求平面(pngmin)圖形面積的四個(gè)步驟(1)畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致(dzh)圖像；(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和；(4)計(jì)算定積分，寫出答案提

7、醒：利用定積分求平面圖形的面積，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)，當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分情況討論針對訓(xùn)練 5. 求曲線yeq r(x)，y2x，yeq f(1,3)x所圍成圖形的面積解：由eq blcrc (avs4alco1(yr(x)，,y2x)得交點(diǎn)A(1,1)由eq blcrc (avs4alco1(y2x，,yf(1,3)x)得交點(diǎn)B(3，1)故所求面積Seq blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(1,3)x)dxeq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,3)x)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)xf(1,6)x2)eq blc(rc

8、)(avs4alco1(2xf(1,3)x2)eq f(2,3)eq f(1,6)eq f(4,3)eq f(13,6).【課堂練習(xí)】1設(shè)f(x)是一條連續(xù)的曲線，且為偶函數(shù)，在對稱區(qū)間a，a上的定積分為f(x)dx，由定積分的幾何意義和性質(zhì)，得f(x)dx可表示為()Af(x)dxB2f(x)dxC.eq f(1,2) f(x)dx D. f(x)dx解析：選B偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，故eq avs4al()eq oal(a,a)f(x)dx對應(yīng)的幾何區(qū)域關(guān)于y軸對稱，因而其可表示為2f(x)dx，應(yīng)選B.2(2014唐山模擬)已知f(x)2|x|，則f(x)dx等于()A3 B4C.eq

9、 f(7,2) D.eq f(9,2)解析(ji x)：選Cf(x)2|x|eq blcrc (avs4alco1(2xx0，,2xx0，故a1.答案：1【課后作業(yè)A】1. (ex2x)dx等于()A1 Be1Ce De1解析：選C (ex2x)dx(exx2)eq blc|rc (avs4alco1(,)eq oal(1,0)(e11)e0e.2從空中自由下落的一物體，在第一秒末恰經(jīng)過電視塔頂，在第二秒末物體落地，已知自由落體的運(yùn)動速度為vgt(g為常數(shù))，則電視塔高為()A.eq f(1,2)g BgC.eq f(3,2)g D2g解析：選C由題意知電視塔高為eq avs4al()eq o

10、al(2,1)gtdteq f(1,2)gt2eq blc|rc (avs4alco1(,)eq oal(2,1)2geq f(1,2)geq f(3,2)g.3函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，1x0，,cos x，0 xf(,2)的圖像與x軸所圍成的封閉圖形的面積為()A.eq f(3,2) B1C2 D.eq f(1,2)解析(ji x)：選ASeq avs4al()eq oal(0,1)(x1)dxcos xdxeq blc rc|(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x2x)sin xeq blc rc|(avs4alco1(,

11、)eq f(3,2).4.(2014鄭州模擬(mn)如圖，曲線(qxin)yx2和直線x0，x1，yeq f(1,4)所圍成的圖形(陰影部分)的面積為()A.eq f(2,3)B.eq f(1,3)C.eq f(1,2)D.eq f(1,4)解析：選D由eq blcrc (avs4alco1(yf(1,4)，,yx2)xeq f(1,2)或xeq f(1,2)(舍)，所以陰影部分面積Seq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)x2)dxeq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,4)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)xf(1,3)x3)eq f(1

12、,2)0eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x3f(1,4)x)1eq f(1,2)eq f(1,4).5(2014吉林模擬)設(shè)函數(shù)f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，0 x01，則x0的值為_解析：f(x)dx (ax2c)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)ax3cx)eq blc rc|(avs4alco1(,)eq oal(1,0)eq f(1,3)acf(x0)axeq oal(2,0)c，xeq oal(2,0)eq f(1,3)，x0eq f(r(3),3).又0 x01，x0eq f(r(3),3).答案：eq f(r(3

13、),3)6(2014珠海模擬)由三條曲線yx2，yeq f(x2,4)，y1所圍成的封閉圖形的面積為_解析：解方程組eq blcrc (avs4alco1(yx2，,y1，)和eq blcrc (avs4alco1(yf(x2,4)，,y1，)得交點(diǎn)坐標(biāo)(1,1)，(1,1)，(2,1)，(2,1)則S2eq blcrc(avs4alco1(avs4al()oal(1,0)blc(rc)(avs4alco1(x2f(x2,4)dxavs4al()oal(2,1)blc(rc)(avs4alco1(1f(x2,4)dx)2eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(

14、f(1,4)x3)blc rc|(avs4alco1(,)oal(1,0)xblc rc|(avs4alco1(,)oal(2,1)blc(rc)(avs4alco1(f(1,12)x3)blc rc|(avs4alco1(,)oal(2,1)eq f(4,3).答案：eq f(4,3)7求下列定積分(1)eq avs4al()eq oal(2,1)eq blc(rc)(avs4alco1(xx2f(1,x)dx；(2)eq avs4al()eq oal(0,)(cos xex)dx.解：(1)eq avs4al()eq oal(2,1)eq blc(rc)(avs4alco1(xx2f(1,

15、x)dxeq avs4al()eq oal(2,1)xdxx2dxeq f(1,x)dxeq f(x2,2)eq blc rc|(avs4alco1(,)eq oal(2,1)eq f(x3,3)eq blc rc|(avs4alco1(,)eq oal(2,1)ln xeq blc rc|(avs4alco1(,)eq oal(2,1)eq f(3,2)eq f(7,3)ln 2ln 2eq f(5,6).(2) (cos xex)dxcos xdxexdxsin xeq blc rc|(avs4alco1(,)eq oal(0,)exeq blc rc|(avs4alco1(,)eq oal(0,)1eq f(1,e).8已知f(x)為二次函數(shù)(hnsh)，且f(1)2，f(0)0，eq avs4al()eq oal(1,0)f(x)dx2，(1)求f(x)的解析(ji x)式；(2)求f(x)在1,1上的最大值與最小值解：(1)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則f(x)2axb.由f(1)2，f(0)0，得eq blcrc (avs4alco