高中數(shù)學人教版必修四常見公式及知識點系統(tǒng)總結

1、 必修四?？脊郊案哳l考點第一部分三角函數(shù)與三角恒等變換考點一角的表示方法終邊相同角的表示方法：所有與角終邊相同的角，連同角在內可以構成一個集合：B|B=k360+a,kWZ象限角的表示方法：第一象限角的集合為a|k360ak360+90,kZ第二象限角的集合為a|k360+90ak360+180,kZ第三象限角的集合為a|k360+180ak360+270,kZ第四象限角的集合為a|k360+270ak360+360,kZ終邊在某條射線、某條直線或兩條垂直的直線上(如軸線角)的表示方法：若所求角B的終邊在某條射線上，其集合表示形式為B|B=k360+a,kZ，其中a為射線與x軸非負半軸形成的

2、夾角若所求角B的終邊在某條直線上，其集合表示形式為B|B=k180+a,kGZ，其中a為直線與x軸非負半軸形成的任一夾角若所求角B的終邊在兩條垂直的直線上，其集合表示形式為B|B=k90+a,kZ，其中a為直線與x軸非負半軸形成的任一夾角例：終邊在y軸非正半軸上的角的集合為a|a=k360+270,kWZ終邊在第二、第四象限角平分線上的集合為a|a=k180+135,kGZ終邊在四個象限角平分線上的角的集合為a|a=k90+45,kGZ易錯提醒：區(qū)別銳角、小于90度的角、第一象限角、090、小于180度的角考點二弧度制有關概念與公式弧度制與角度制互化，1=金，1弧度57302.扇形的弧長和面積

3、公式(分別用角度制、弧度制表示方法)丫n兀R廠弧長公式：i，而，R,其中為弧所對圓心角的弧度數(shù)扇形面積公式：S，：1R=2R2|I,其中為弧所對圓心角的弧度數(shù)36022易錯提醒：利用S=2R2|求解扇形面積公式時，為弧所對圓心角的弧度數(shù)，不可用角度數(shù)規(guī)律總結“扇形周長、面積、半徑、圓心角”4個量，“知二求二”，注意公式選取技巧考點三任意角的三角函數(shù)1任意角的三角函數(shù)定義設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）,那么sin=丄，cos=-，tan=工（廠TOP|=：x2y2）；rrxy化簡為sin=y,cos=x,tan=.x2三角函數(shù)值符號規(guī)律總結：利用三角函數(shù)定義或一全正、二正弦、

4、三正切、四余弦”口訣記憶象限角或軸線角的三角函數(shù)值符號3特殊角三角函數(shù)值除此之外，還需記住15o、750的正弦、余弦、正切值4三角函數(shù)線經(jīng)典結論:(0，)，貝ysinx,x,tanx2若xe貝y1,sinx+cosx2(3)IsinxI+1cosxI1例：在單位圓中分別畫出滿足sina=2、cosa=2、tana=l的角a的終邊，并求角a的取值集合考點四三角函數(shù)圖像與性質性質函數(shù).y=sinxy=cosxy=tanx圖象iy廠、.3I/;wV0-1Trn1X4-定義域RRr兀12J值域-1,1-1,1R最值當x=2k+keZ)時，ymaxl；當x=2k兀(keZ“時，yma=1；口yr曰，厶m

5、曰.訂、/古當x=2kkeZ)時ymin-1當x=2k+時，y.=-1-(kez)7min既無最大值也無最小值周期性2兀2兀兀奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調性在”2k在”2k兀數(shù).1(“上是增函數(shù)；-,2k+(kez)22n(kz)上是減函3keZ丿+,2k兀+22在（“上是增函數(shù)；bk兀一兀,2k兀（keZ“在2k兀,2k+（keZ）上是減函數(shù).在(k2,k+2J(keZ)上是增函數(shù).對稱性對稱中心(k冗,0)(kez)對稱軸x=k兀+(keZ)2對稱中心()1k+2,0l(keZ)對稱軸x=k冗(keZ)對稱中心（晉,0卜eZ）無對稱軸考點五正弦型（y二Asinx+如）余弦型函數(shù)（y=Aco

6、s（x+）正切性函數(shù)（y=Atan（sx+）圖像與性質1.解析式求法（1）y=Asin（3x+）+B或y=Acos（sx+）+B解析式確定方法字母確定途徑說明A由最值確定A最大值一最小值A=2B由最值確定r最大值+最小值B-23由函數(shù)的周期確定相鄰的最高點與最低點的橫坐標之差的絕對值為半個周期，最高點(或最低點)的橫坐標與相鄰零點差的絕對值為0.25個周期由圖象上的特殊點確定可通過認定特殊點是五點中的第幾個關鍵點，然后列方程確定；也可通過解簡單三角方程確定A、B通過圖像易求，重點講解、3求解思路:求解思路：冗代入圖像的確定點的坐標如帶入最高點(珥,“或最低點坐標W，打)，則+=込+2刼(kZ)

7、或3兀ex+，+2k兀(kZ)，求值.22易錯提醒：y=Asin(sx+),當30，且x=0時的相位(sx+=)稱為初相如果不滿足0，先利用誘導公式進行變形，使之滿足上述條件，再進行計算如y=-3sin(-2x+6O0)的初相是-60。3求解思路：利用三角函數(shù)對稱性與周期性的關系，解3相鄰的對稱中心之間的距離是周期的一半；相鄰的對稱軸之間的距離是周期的一半；相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是周期的四分之一.“一圖、兩域、四性”“一圖”：學好三角函數(shù)，圖像是關鍵。-向左y=5L11J1.-y八平旌聞卜單也尸iiu就來標査為帀來的+倩R左5腫或舊仏i也U).融邸雙1“兩域”:定義域求三角函數(shù)的定義

8、域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象或數(shù)軸法來求解.值域(最值)：直接法(有界法)：利用sinx，cosx的值域.化一法：化為y=Asin(3x+)+k的形式逐步分析x+的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調性寫出函數(shù)的值域(最值).換元法：把sinx或cosx看作一個整體，化為求一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問題.例：y=asinx2+bsinx+cy二asinx2+bsinxcosx+ccosx2y=(asinx+c)/(bcosx+d)y=a(sinxcosx)+bsinxcosx+c“四性”：單調性函數(shù)y=Asin(3x+)(A0,nn30)圖象的單調遞增區(qū)間由2kn

9、-23x+2kn+2，kGZ解得，單調遞減區(qū)間由n2kn+23x+2kn+1.5n,kZ解得;函數(shù)y二Acos(3x+)(A0,co0)圖象的單調遞增區(qū)間由2kn+n3x+2kn+2n,kWZ解得，單調遞減區(qū)間由2kn3x+2kn+n,kZ解得；nn函數(shù)y=Atan(3x+)(A0,o0)圖象的單調遞增區(qū)間由kn2ox+gkn+g,kZ解得,規(guī)律總結：注意3、A為負數(shù)時的處理技巧.對稱性n函數(shù)y=Asin(3x+)的圖象的對稱軸由x+=kn+(kZ)解得,對稱中心的橫坐標由x+=kn(kZ)解得；n函數(shù)y=Acos(sx+)的圖象的對稱軸由3x+二kn(kZ)解得,對稱中心的橫坐標由3x+二k

10、n+2(kWZ)解得；函數(shù)y=Atan(3x+)的圖象的對稱中心由x+=kn(kWZ)解得.規(guī)律總結：可以是單個角或多個角的代數(shù)式無需區(qū)分3、A符號.奇偶性n函數(shù)y=Asin(3x+),xWR是奇函數(shù)o=kn(kZ),函數(shù)y=Asin(sx+),xWR是偶函數(shù)o=kn+2(kWZ)；n函數(shù)y=Acos(3x+),xWR是奇函數(shù)o=kn+2(kWZ)；函數(shù)y=Acos(sx+),xWR是偶函數(shù)o=kn(kWZ)；kn函數(shù)y=Atan(3x+),xWR是奇函數(shù)o=一廠(kWZ).規(guī)律總結：可以是單個角或多個角的代數(shù)式無需區(qū)分3、A符號.周期性2n函數(shù)y=Asin(3x+)或y=Acos(ox+)的

11、最小正周期T=,|3|,一ny=Atan(3x+)的最小正周期T=.|3|考點六常見公式常見公式要做到“三用”：正用、逆用、變形用1.同角三角函數(shù)的基本關系sin2+cos2，1；tan=cos2 三角函數(shù)化簡思路：“去負、脫周、化銳”去負，即負角化正角：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；脫周，即將不在(0,2n)的角化為(0,2n)的角：sin(2kn+a)二sina；cos(2kn+a)二cosa；tan(2kn+a)=-tana；化銳，即將在(0,2n)的角化為銳角：6組誘導公式(l)sin(2k,a)sina，cos(2k,a)cosa，

12、tan(2k,a)tana(keZ).(2)sin(,a)一sina，cos(,a)一cosa，tan(,a)tana.(3)sin(-a)一sina，cos(-a)cosatan(一a)一tana2 #2 #(4)sin(,a)sina，cos(,a)一cosa，tan(，一a)一tana.(5)(兀sinaI2cosacosasina12丿2 #2 #,1acosa，cosf,1a2丿2丿一sina(6)sin口訣：奇變偶不變，符號看象限均化為“kn/2土a”，做到“兩觀察、一變”。一觀察：k是奇數(shù)還是偶數(shù)；二觀察：kn/2a終邊所在象限，再由kn/2土a終邊所在象限，確定原函數(shù)對應函數(shù)值

13、的正負一變：正弦變余弦、余弦變正弦、正切利用商的關系變換.其中公式(1)也可理解為終邊相同角的三角函數(shù)值相同，公式(3)也可按照函數(shù)奇偶性理解兩角和差公式sin(aP)sinacosP土cosasinP；cos(aP)cosacosPsinasinP；tan(aP)tanatanP1tanatanP二倍角公式sin2asinacosa；cos2acos2asin2a2cos2a11一2sin2a；_2tanatan2a=1一tan2a二倍角公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式，當a=B時的特殊情況倍角是相對的，如0.5a是0.25a的倍角，3a是1.5a的倍角升降冪公式cos2a=cos2asi

14、n2a=2cos2a11一2sin2a(升幕縮角).cos2a1cos2a,sm2a1一cos2a2_降幕擴角)，2 #2 #輔助角公式 #+9) asin+bcos=a2+b2sin(+,)(輔助角,所在象限由點(a,b)的象限決定，tan,=,-*,n).a22半角公式A-1-cosAsin2=廠A：1+cosAcos=22A11一cosAtan=21+cosAA1-cosAsinAtan=2sinA1+cosA #+9) # #+9) #其它公式a1+sina=(sin+cos)2；aa1-sina=(sin-cos)2萬能公式2tan2sina=1+(tan)22cosaa1-(tan

15、)22tan2t2a=；tana=1+(tan#)21-(tan#)222和差化積sina+sina+bb=2sincoscosa+costana+tana-ba+ba-b；sina-sinb=2cossin2222a+ba-ba+ba-b=2coscos；cosa-cosb=-2sinsin2222sin(a+b)cosacosb #+9) # +9) #積化和差11sinAsinB二-cos(A+B)-cos(A-B)；cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)厶厶11sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)；cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)22三

16、倍角公式sin30=3sin9一4sin39=4sin9sin(3-9)sin(3+9)13tan29cos39=4cos39-3cos9=4cos9cos(-9)cos(+9)；tan39=3tan99=tan9tan(-9)tan(331-3tan2933常見計算技巧簡單的三角方程的通解sinx=aox=k冗+(-1)karcsina(kgZ,1aI1).cosx=aox=2k土accosa(kgZ,IaI1).tanx=aa(Ial1)xg(2k,+arcsina,2k,+,-arcsina),kgZ.sinxa(IaIa(IaI1)xg(2k,-arccosa,2k,+arccosa)

17、,kgZ.cosxa(IaIa(agR)nxg(k,+arctana,k,+),kgZ.2,tanxa(agR)nxg(k,-k,+arctana),kgZ例：已知sina*、cosa*、tana一l、sina-#、cosa-*、tana2i考點二向量的線性運算向量的加法法則平行四邊形法則：共起點，指向對角線；起點相同、終點相同，首尾相連、路徑不限三角形法則：首尾相連，可理解為“條條大路通羅馬”HOA+OB，OCOA-OB，BA向量的減法原則：起點相同、指向被減2(a+b)=2OC,1(a-b)=2BA兩個向量共線只可用三角形法則；封閉圖形、首尾相連、相加為零向量的數(shù)乘運算實數(shù)與向量a的積叫做

18、向量的數(shù)乘，記作a.其幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮(1)a，|a(2)當0時，a的方向與a的方向相同；當0,P在線段PP內，X”0,12x+XxX21+Xy+Xyy=121+X2P在PP夕卜)，且12,P為PP中點時,1212xx=12y+yy=122y),C(x,y)則ABC重心G的坐標是fx1+x233,:+x2如：ABC，A(x，y),B(x,1122.三角形五“心”向量形式的充要條件設O為ABC所在平面上一點，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c,則O為ABC的外心OA2=OB2=OC2.O為ABC的重心OA+OB+OC=0.O為ABC的垂心OA-OB=OB-OC=OC

19、-OA.O為ABC的內心a甲+bOB+cOC=0.OB+cOC.(1)(2)(3)(4)(5)3.A(X,y)、B(x2，y2)、C(x3,y)三點共線0C=入0A十+uOB，且入+u=1TT呻O為ABC的A的旁心|a?A(X1-X2)(y2-y3)=(X2-X3)(yi-y2)等, +9) #向量的三角形不等式和方程11aI-Ib|Ia+bIIaI+IbI當且僅當a、b反向時，左邊取等號；當且僅當a、b同向時，右邊取等號IIaI-IbIIIa-bIIaI+IbI當且僅當a、b同向時，左邊取等號；當且僅當a、b反向時，右邊取等號記憶規(guī)律：(1)與(2)的幾何意義為三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊Ia+bI2+Ia-bI2=2(IaI2+IbI2)，該式幾何意義為平行四邊形對角線平方和等于四條邊的平方和ab0推不出a與b的夾角為銳角，可能為0；ab0推不出a與b的夾角為鈍角，可能為180點的平移公式x=x,hx=x-hOP=OP,PP.y=y，ky=y-k注：圖形F上的任意一點P(x,y)在